Ecuacion_del_calor_apunte_CA

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Ecuación del calor: El modelo 
CONCEPTOS PREVIOS 
Masa y densidad: Si V es un volumen ocupado por un material (generalmente no homogéneo) y 
Ω es una parte de V, la propiedad extensiva, masa de Ω, se obtiene por integración sobre Ω de la 
magnitud intensiva ρ(x, y, z) llamada densidad de masa en el punto (x, y, z) de Ω , es decir 
 m(Ω) = ∭ ρ�x, y, z�dxΩ dy	dz			 
Cilindro unidimensional: Si V es un cilindro de longitud L, diremos que V puede modelarse en una 
dimensión o que V es unidimensional, si todas sus propiedades físicas son constantes en cada 
sección transversal al eje del cilindro. En tal caso tendremos por ejemplo que, ρ(x, y, z) = ρ(x) y 
entonces 	m(Ω) = A
 ρ�x�dx		�� cuando Ω es la porción de cilindro comprendida entre a < x < b y 
A es una constante positiva con la cual indicamos el área de cualquier sección transversal de V. 
Calor específico y densidad de energía térmica: El calor específico es la cantidad de energía 
térmica (e.t.) necesaria para aumentar en un unidad de temperatura, una unidad de masa del 
material que constituye el cuerpo. Si denotamos con c(x) al calor específico del material que 
ocupa V en cualquier punto de la sección en x, y con u(x,t) a la temperatura en cualquier punto 
de dicha sección en el instante t , entonces la densidad de energía térmica, e(x,t), es 
e(x,t) = c(x) ρ(x) u(x,t) 
La energía térmica total en Ω en el instante t, se calcula y la denotamos de la siguiente manera: 
 					E�Ω, t� = 	� 
 c�x��� ρ�x�	u�x, t�dx				 
Vector de flujo de calor: es un campo vectorial definido dentro de V y para cada instante t, que 
denotamos con �����, �, �; ��, que mide la energía térmica que atraviesa el plano normal a ��� por el 
punto (x,y,z), por unidad de área y de tiempo. 
Ley de Fourier (1807): El flujo es un múltiplo negativo del gradiente de temperatura y siendo K0 la 
conductividad térmica del material, se cumple que 
 �����, �, �; �� = 	−!"��, �, ��∇���$��, �, �; �� 
También conocida como Ley de Ohm si u potencial electrostático y como Ley de Fick cuando u es 
concentración química. 
Caso de flujo unidimensional: Si aislamos la cara curva del cilindro unidimensional, resulta que ��� 
tiene sólo componente horizontal y denotamos con ���, �� = 	−!	"(x) %&%' ��, ��	 a la cantidad 
de energía térmica que fluye de izquierda a derecha por cualquier punto de la sección en x, por 
unidad de área y de tiempo. 
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DEL CALOR 
Balance de energía térmica: aquí se usa el Principio de Conservación de la Energía que establece 
( )*	+*�ó-	./	0*1234		�/154+*6	./	/. �. /-	Ω	/-	/6	3-8�*-�/	� 9 = 	 (
)*	/. �. :$/	/-�+*	54+	648	/��+/148	./	Ω		54+	$-3.*.	./	�3/154	/-	/6	3-8�*-�/	� 9 + (
)*	/. �. </-/+*.*	./-�+4	./	Ω		54+	$-3.*../	�3/154	/-	/6	3-8�*-�/	�9 
Reeplazando en términos de la notación introducida anteriormente, resulta 
																																						=>=? 	�Ω, �� 	= 			 @	�	��*, �� 	− 	�	��2, ��	A 				+ 					�	 
 B��, ��.��� 
donde la función Q(x,t) representa la fuente interna de calor por unidad 
 de área en el instante t, que puede deberse a reacciones químicas o calentamiento por medio de 
electricidad. 
Luego, reemplazando la e.t. total E y aplicando el teorema fundamental del cálculo para los 
términos en � (suponiendo que %C%' es continua para � ∈ @*, 2A	) tenemos, 
�	E 0���F����
�
G$G� ��, ��.�	 = 	−�	 H		E G�G� ��, ��.�
�
�
	I 				+ 					�	 EB��, ��.��
�
 
Simplificando A, reemplazando el flujo � y escribiendo una sola integral en el 2do miembro, 
queda 
	E 0���F����
�
G$G� ��, ��.�	 = 	E J GG� J!	"���G$G� ��, ��K + 	B��, ��K .�
�
�
					 
Como esta igualdad de integrales es válida toda elección que se haga de a y b con 0 < a < b < L , 
podemos concluir que necesariamente los integrandos deben ser iguales, es decir 
0���F��� G$G� ��, �� = 	 GG� J!	"���G$G� ��, ��K 	+ 	B��, �� 
 ecuación unidimensional del calor 
El caso más simple para esta ecuación ocurre en un medio homogéneo (propiedades físicas 
constantes en V) y sin fuentes internas, es decir 0��� = 0	, F��� = F	, !	"��� = !	"	 y B��, �� = 0. 
Así la ecuación se puede escribir, denotando con k = 
MNOP	 a la llamada constante de difusividad 
térmica, como 	%&%? ��, �� = Q	 %R&%'R ��, �� (*) 
Nota: La ecuación del calor también se llama ecuación de difusión cuando u representa la 
concentración de alguna sustancia química o ecuación del telégrafo cuando u es potencial 
eléctrico. 
Observación: Notemos que la ecuación del calor (*) tiene infinitas soluciones, por ejemplo 
u(x,t) = 0 , u(x,t) = x , u(x,t) = 2x + 1 , u(x, t) = a.x + b , u(x, t) = t + x2/(2k) , etc . Por lo cual para 
obtener unicidad de la solución es necesario imponer condiciones en los bordes y una condición 
inicial (3 condiciones deben agregarse puesto que la suma de los órdenes de las derivadas que 
 intervienen en la ecuación diferencial parcial es 3) 
CONDICIONES DE BORDE: Hay tres tipos de condiciones de borde (frontera o contorno) 
1) Condición de Dirichlet, cuando se prescribe en los bordes la variable dependiente u. 
Ejemplo: Si u(0,t) = A(t) y u(L, t) = B(t) , se dice que las temperaturas prescritas en los bordes 
izquierdo y derecho del cilindro V son respectivamente, A(t) y B(t). 
2) Condición de Neuman, cuando se prescribe en los bordes el flujo. 
En el caso unidimensional, es suficiente con dar el valor de la derivada parcial de u con respecto a 
x en x = 0 y x = L, por ejemplo 
%&%' �0, �� = 	�"	 , %&%' �), �� = 	0	. En este último caso se dice que 
el borde derecho está aislado ya que el flujo resulta ser 0. 
3) Condición de Robin, es una combinación de las anteriores. 
 Por ejemplo, si los extremos del cilindro V están en contacto con un fluido (o aire) corresponde 
modelar la situación con la Ley de enfriamiento de Newton que establece “el flujo de calor que 
sale por cada extremo es proporcional a la diferencia entre la temperatura en el extremo y la 
temperatura del medio externo (fluido o aire)”. Así las ecuaciones para x=0 y x= L resultan ser, 
−!	"�0� G$G� �0, �� =	−S@$�0, ��− $T���A	 y −	!	"�)� G$G� �), �� 	= 		S@$�), ��− $T���A . 
La constante positiva H se llama coeficiente de transferencia de calor o de convección. Notar que 
el signo menos en el extremo izquierdo, responde al hecho de que si el cilindro está más caliente 
que el medio, pierde calor por los extremos, por lo cual en x = 0 la dirección del flujo saliente es de 
derecha a izquierda (o sea � < 0�. 
BIBLIOGRAFÍA: Haberman,R. “Applied Partial Differential Equations” Prentice-Hall (2004) 
Zill y Cullen “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de valores en la frontera” Thomson (2006) 
Material elaborado por Adriana Frausin (2013)