1-Ecuación del calor_modelo y sol estacionaria2016

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CAPÍTULO 1: Ecuación del calor y problemas estacionarios. 
1.1 El modelo unidimensional. 
CONCEPTOS PREVIOS 
Masa y densidad: Si V es un volumen ocupado por un material (generalmente no homogéneo) y 
Ω es una parte de V, la propiedad extensiva, masa de Ω, se obtiene por integración sobre Ω de la 
magnitud intensiva ρ(x, y, z) llamada densidad de masa en el punto (x, y, z) de Ω , es decir 
 m(Ω) = ∭ ρ�x, y, z�dxΩ dy	dz			 
Cilindro unidimensional: Si V es un cilindro de longitud L, diremos que V puede modelarse en una 
dimensión o que V es unidimensional, si todas sus propiedades físicas son constantes en cada 
sección transversal al eje del cilindro. En tal caso tendremos por ejemplo que, ρ(x, y, z) = ρ(x) y 
entonces 	m(Ω) = A
 ρ�x�dx		�� cuando Ω es la porción de cilindro comprendida entre a < x < b y 
A es una constante positiva con la cual indicamos el área de cualquier sección transversal de V. 
Calor específico y densidad de energía térmica: El calor específico es la cantidad de energía 
térmica (e.t.) necesaria para aumentar en un unidad de temperatura, una unidad de masa del 
material que constituye el cuerpo. Si denotamos con c(x) al calor específico del material que 
ocupa V en cualquier punto de la sección en x, y con u(x,t) a la temperatura en cualquier punto 
de dicha sección en el instante t , entonces la densidad de energía térmica, e(x,t), es 
e(x,t) = c(x) ρ(x) u(x,t) 
Que la densidad de energía térmica dependa de x (además de t) significa que el cilindro no se 
calienta de manera uniforme. 
La energía térmica total en Ω en el instante t, se calcula y la denotamos de la siguiente manera: 
 					E�Ω, t� = 	� 
 c�x��� ρ�x�	u�x, t�dx				 
Vector de flujo de calor: es un campo vectorial definido dentro de V y para cada instante t, que 
denotamos con �����, �, �; ��, que mide la energía térmica que atraviesa el plano normal a ��� por el 
punto (x,y,z), por unidad de área y de tiempo. 
Propiedades cualitativas del fujo de calor: 
1. Si la temperatura es constante en una región, la e.t. no fluye. 
2. Si hay diferencia de temperaturas, la e.t. fluye de la región más caliente a la más fría. 
3. A mayor diferencia de temperatura (para un mismo material) mayor es el flujo de e.t. 
4. El flujo de e.t. es diferente para distintos materiales. 
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Teniendo en cuenta estas propiedades podemos formular la siguiente relación entre flujo y 
temperatura, conocida como Ley de Fourier (1807): 
El flujo es un múltiplo negativo del gradiente de temperatura, y siendo K0 la conductividad 
térmica del material, se cumple que �����, �, �; �� = 	−!"��, �, ��∇���$��, �, �; �� . 
Esta relación también se conoce como Ley de Ohm si u potencial electrostático y como Ley de 
Fick cuando u es concentración química. 
Caso de flujo unidimensional: Si aislamos la cara curva del cilindro unidimensional, para que la e.t. 
no atraviese la superficie lateral, resulta que el campo vectorial ��� tendrá sólo componente 
horizontal y podemos denotarlo ���, �� = 	−!	"(x) %&%' ��, ��	 
Este campo escalar representa la cantidad de energía térmica que fluye por cualquier punto de la 
sección en x, por unidad de área y de tiempo. Si ∅	��, �� > 0,	 la dirección del flujo es de izquierda 
a derecha y si ∅	��, �� < 0, entonces la e.t. fluye de derecha a izquierda. 
 
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DEL CALOR 
Balance de energía térmica: aquí se usa el Principio de Conservación de la Energía que establece 
, -.	/.�ó1	23	4.5678		�3598/.:	23	3. �. 31	Ω	31	3:	71<�.1�3	� = = 	 ,
-.	3. �. >$3	31�/.	98/	:8<	3��/358<	23	Ω		98/	$172.2	23	�73598	31	3:	71<�.1�3	� = + ,
-.	3. �. @313/.2.	231�/8	23	Ω		98/	$172.223	�73598	31	3:	71<�.1�3	�= 
Simbólicamente y en términos de la notación introducida resulta que 
																																						ABAC 	�Ω, �� 	= 			 D	�	��., �� 	− 	�	��6, ��	E 				+ 					�	 
 F��, ��2��� 
donde la función Q(x,t) representa la fuente interna de calor por unidad de área en el instante t, 
que puede deberse a reacciones químicas o calentamiento por medio de electricidad. 
Luego, reemplazando la e.t. total E y aplicando el teorema fundamental del cálculo para los 
términos en � (suponiendo que %G%' es continua para � ∈ D., 6E	) tenemos, 
�	I 4���J�����
K$K� ��, ��2�	 = 	−�	 L		I K�K� ��, ��2�
�
� 	M 				+ 					�	 IF��, ��2�
�
� 
Simplificando A, reemplazando el flujo � y escribiendo una sola integral en el 2do miembro, nos 
queda 
	I 4���J�����
K$K� ��, ��2�	 = 	I N KK� N!	"���K$K� ��, ��O + 	F��, ��O 2��� 					 
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Como esta igualdad de integrales es válida para toda elección que se haga de a y b con 0<a < b< L, 
podemos concluir que necesariamente los integrandos deben ser iguales, es decir 
4���J��� K$K� ��, �� = 	 KK� P!	"���K$K� ��, ��Q	+ 	F��, �� 
Esta ecuación se conoce como ecuación unidimensional del calor. 
El caso más simple para esta ecuación ocurre en un medio homogéneo (propiedades físicas 
constantes en V) y sin fuentes internas, es decir 4��� = 4	, J��� = J	, !	"��� = !	"	 y F��, �� = 0. 
Así la ecuación se puede escribir, denotando con k = 
RSTU	 a la llamada constante de difusividad 
térmica, como 	%&%C ��, �� = V	 %W&%'W ��, �� (*) 
Nota: La ecuación del calor también se llama ecuación de difusión cuando u representa la 
concentración de alguna sustancia química o ecuación del telégrafo cuando u es potencial 
eléctrico. 
Observación: Notemos que la ecuación del calor (*) que también se escribe como $C = V. $'' 
tiene infinitas soluciones, por ejemplo: 
u(x,t) = 0 , u(x,t) = x , u(x,t) = 2x + 1 , u(x, t) = a.x + b , u(x, t) = t + x2/(2k) , etc . 
Por lo cual para obtener unicidad de la solución es necesario “completar” el problema imponiendo 
otras ecuaciones. Como la EDP (*) tiene K$/K�, hay que dar la temperatura inicial u(x,0) así 
también conocemos la temperatura de V al “inicio”. Y dado que (*) tiene KY$/K�Y hay que saber 
qué pasa con la temperatura u en ambos extremos () del cilindro. Es decir, hay que imponer una 
condición inicial y dos condiciones de borde (en x=0 y x=L ). 
Veamos qué tipo de condiciones de borde (de frontera o de contorno) consideraremos. 
CONDICIONES DE BORDE: 
1) Condición de Dirichlet: cuando se prescribe en los bordes la variable dependiente u. 
Ejemplo: 
Si u es temperatura y u(0,t) = A(t) y u(L, t) = B(t) , se dice que las temperaturas impuestas en los 
bordes izquierdo y derecho del cilindro V son A(t) y B(t) respectivamente. 
2) Condición de Neuman: cuando se prescribe en los bordes el flujo. 
En el caso unidimensional, es suficiente con dar el valor de la derivada parcial de u con respecto a 
x en x = 0 y x = L, por ejemplo 
%&%' �0, �� = 	�"	 , %&%' �-, �� = 	0	. En este último caso se dice que 
el borde derecho está aislado ya que el flujo resulta ser 0. 
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3) Condición de Robin: es una combinación de las anteriores. 
 Por ejemplo, si los extremos del cilindro V están en contacto con un fluido (o aire) corresponde 
modelar la situación con la Ley de enfriamiento de Newton que establece “el flujo de calor que 
sale por cada extremo es proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese extremo y la 
temperatura del medio externo (fluido o aire)”. Así las ecuaciones en x=0 y x= L serán, 
−!	"�0� K$K� �0, �� =	−ZD$�0, ��− $[���E	 y −	!	"�-� K$K� �-, �� 	= 		ZD$�-, ��− $[���E . 
La constante positiva H se llama coeficiente de transferencia de calor o de convección. Notar que 
el signo menos en el extremo izquierdo, responde al hecho de que si el cilindro está más caliente 
que el medio, pierde calor por los extremos, por lo cual en x = 0 la dirección del flujo saliente es de 
derecha a izquierda (o sea � < 0�. 
4) Contacto térmico perfecto: Se dice que dos cilindros unidimensionales de materiales 
diferentes, unidos en x= x0 , están en contacto térmico perfecto cuando la temperatura es continua 
en x = x0 , es decir u(x0
-, t) = u(x0
+, t), y no se pierde calor en x = x0 (o sea, el flujo de calor que sale 
de uno fluye dentro del otro). Esto último, se modela con ��	x"\, �� = 	��	x"], ��	. 
PROBLEMAS CON VALORES EN EL BORDE. 
Un problema de valores en el borde (PVB) para la temperatura en un cilindro unidimensional 
homogéneo, sin fuentes internas de calor, con temperaturas prescritas en los bordes y 
distribución inicial de temperatura dada por la función f(x), puede escribirse como 
�^_[� ∶ 	 a bc^:				$C = 	V. $''				,						9./.			0	 < 	� < 	-e[:		$�0, �� = ����	; 	$�-, �� = [���	; 	�	 ≥ 0eg:			$�	�, 0� = 	h���		,									9./.		0	 ≤ �	 ≤ -j 
Antes de abordar un método analítico para resolver estos problemas de valores en el borde con 
ecuaciones en derivadas parciales (EDP) y valor inicial (CI) analizaremos una cuestión física 
relacionada con las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). 
 
 
1.2 Problemas estacionarios: Distribución de temperaturas en equilibrio. 
 
Cuando transcurre cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de 
material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada 
punto de la barra cilíndrica no varía con el tiempo, matemáticamente esto se expresa de la 
siguiente manera: limC→o $��, �� = $���. Entonces 	$C = 0 pues u ahora no depende de t, es u 
= u(x) y la condición inicial poco importa ya que ha pasado mucho tiempo. 
En estos casos, si se conocen las temperaturas en los bordes, corresponde considerarlas 
constantes y el PVB puede formularse de la siguiente manera: 
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�PVB� ∶ 	
stu
tvbcw:		 2Y$2�Y = −F���!" 		 , 0 < � < -			e[1:			$�0� = 	yz																															e[2:			$�	-� = 	yY																															
j 
siendo Q(x) el término fuente y K0 la conductividad térmica. 
Llamaremos solución en estado estacionario o estado de equilibrio a la función u(x) solución de 
cualquier PVB independiente del tiempo. 
EJEMPLO 1: Cuando no hay fuentes internas y las temperaturas están prescritas en los extremos. 
|	AW&A'W = 0								$�0� = 	yz		$�	-� = 	yY	 j Integrando 2 veces la EDO obtenemos la solución general de este problema, 
u(x) = a x + b , donde los coeficientes a y b se obtienen aplicando las condiciones de borde, 
u(0)= b ⇒ b = yz y u(L) = a L + yz =	yY ⇒ a =�yY − 	yz)/L . Por lo tanto , 
	$��� = yz +	~W\	~�� � es la solución estacionaria (ÚNICA) cuando las temperaturas están 
prescritas en los extremos x = 0 y x = L. 
 
EJEMPLO 2: ¿Cuál será la solución cuando los bordes están aislados? (HACER) 
 
a) Plantear el problema y resolver. 
b) Notar que hay infinitas soluciones de equilibrio, u(x) = b (b constante). ¿Es razonable que b sea 
cualquier constante? 
Interpretación y análisis del resultado del EJEMPLO 2: 
 Luego de un tiempo suficientemente largo, cuando los bordes también están aislados (o sea, la 
varilla está totalmente aislada) la temperatura en la barra será constante, sin embargo no es 
razonable que sea cualquier constante. 
 En efecto, sabemos que limC→o $��, �� = $��� = b y como la energía térmica total es 
constante, pues 
ABAC = ����0� − 	��-�� = 0	, podemos escribir E(0) = E (∞ ) = limC→o b���. 
Resolviendo esta igualdad a partir de la fórmula para la energía térmica total,			E�	t� =	� 
 c�x��" ρ�x�	u�x, t�dx		,		siendo el calor específico y la densidad constantes, resulta que en t =0 
y t = ∞	 tenemos la siguiente igualdad, 			�4ρ 
 u�x, 0�dx	�" 	=			 �4ρ
 limC→ou�x, t�dx	�" . 
Cancelando los factores comunes y reemplazando limC→ou�x, t�	 por el valor constante b de la 
solución estacionaria, obtenemos 
 u�x, 0�dx	 =�" 6	L. 
6 
 
Con lo cual la solución de equilibrio para bordes aislados, $��� = 6 = 	 z� 	
 u�x, 0�dx	�" 	 , también 
es ÚNICA y es el promedio de la temperatura inicial. 
Podemos concluir que, cuando la barra está totalmente aislada y ha transcurrido cierto tiempo, 
la barra “no se olvida” por completo de la condición inicial. 
 
Ejercicios propuestos de la Guía de Problemas EDP (Cap 1 y 2): Ejercicios 1 a 7 . 
 
 
Material elaborado por Adriana Frausin (2014/2016) 
 
BIBLIOGRAFÍA (existente en biblioteca): 
Haberman,R. “Applied Partial Differential Equations” Prentice-Hall (2004) - Capítulo 1 
Zill y Cullen “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de valores en la frontera” Thomson (2006)