Ecuaciones_unidimensional_de_calor

Vista previa del material en texto

1
Ecuación unidimensional de calor
FAS – CA
FRSF – UTN
2014
Ecuación unidimensional de calor
Sea u(x, y, z, t) la temperatura en el tiempo t, en el lugar 
(x,y,z), u satisface la eddp:
∂ ∂ ∂ ∂µδ = + + + ∇ • ∇
∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2
u u u u
K( ) K u
t x y z
Donde:
K(x,y,z): es la conductividad térmica del medio
µ(x,y,z) es el calor específico y 
δ(x,y,z): densidad.
∇K.∇u: producto punto de los gradientes de K y u
2
Ecuación unidimensional de calor
Si la conductividad del medio es constante, ∇K es el vector 
nulo.
2 2 2
2 2 2
u u u u
K( )
t x y z
∂ ∂ ∂ ∂µδ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
Si lo que se tiene es una barra delgada o un alambre cuya 
longitud es mayor que las otras dimensiones, se tiene la 
ecuación unidimensional de calor de un cuerpo de 
material homogéneo .
2
2
K u(x,t) u(x,t)
x t
∂ ∂=
µδ ∂ ∂
Ecuación unidimensional de calor
Consideremos el caso de una barra recta y delgada de 
longitud L, aislada lateralmente, 
de densidad δ, área A, calor específico µ y conductividad 
térmica k, constantes; 
colocada a lo largo del eje x desde 0 a L.
Los extremos de la barra están aislados (no hay ingreso ni 
pérdida de calor) y no se genera calor dentro de ella.
La temperatura en la sección transversal de la barra, 
perpendicular al eje, es u(x,t) y el calor solo tiene sentido 
en x.
3
u(x,t) = temperatura en la sección 
transversal x en el tiempo t.
Consideremos un segmento de la barra entre x=α y x=β.
Para la deducción, necesitamos dos leyes empíricas:
1- La cantidad de calor Q de un elemento de masa m es: 
Q .m.u= µ
2 -La tasa del flujo de calor Q a través de la sección transversal es 
proporcional al área A y a la derivada parcial de la temperatura u 
respecto a x: 
t xQ k.A.u= −
Como el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente el signo 
menos se pone para asegurar que Qt sea positivo para u < 0 (flujo de calor 
hacia la derecha) y negativo para u > 0 (flujo de calor hacia la izquierda).
Si el corte circular de la varilla de la varilla es entre α y β = α + ∆x es muy 
delgado se puede suponer que u(x, t) es la temperatura aproximada en 
todo punto del intervalo. 
La masa del corte es m = (δ.A.∆x),entonces la cantidad calor en él es:
Q .m.u .( A x).u= µ = µ δ ∆
4
Cuando el calor fluye hacia la dirección de las x positiva, ese calor 
se acumula en el corte con la razón neta:
Diferenciando la cantidad de calor Q en el segmento de 
barra con respecto a t, nos queda: 
u u( ,t) u( ,t)
. .A. x KA
t x x
∂ ∂ β ∂ α µ δ ∆ = − ∂ ∂ ∂ 
[ ]t x x x xQ k.A.u ( ,t) k.A.u ( ,t) k.A.u ( ,t) k.A.u ( ,t)= − α − − β = β − α
t
u
Q Q .( A x).
t t
∂ ∂= = µ δ ∆
∂ ∂
Igualando, nos queda: 
x o x o
u( ,t) u( ,t)
u K x xlim ( ) lim ( )
t . x∆ → ∆ →
∂ β ∂ α−∂ ∂ ∂=
∂ µ δ ∆
Ecuación unidimensional de calor
La última expresión que hallamos, es válida para cualquier 
α, β, talque que 0 ≤ α < β ≤ L.
Operando algebraicamente y haciendo 
finalmente nos queda 
2
2
2
u u
c
t x
∂ ∂=
∂ ∂
2k c 0= >
µδ
Que no determina de manera única a u(x,t), para ello hay que 
fijar condiciones iniciales y de frontera.
5
Ecuación unidimensional de calor
� La solución de la eddp planteada es una función u(x,t) 
que modela la temperatura en cada punto x ∈ [o; L] y t ≥ 0
� En este caso, como en la ecuación unidemensional de 
onda, proponemos la solución u(x,t) = X(x).T(t) que cumple 
con:
� Condiciones de frontera: u(0,t)= u(L,t) = 0 (bordes a 
temperatura 0)
� Condición inicial: u(x, 0)= f(x) (temperatura inicial)
� Derivando respecto a t y a x, y reemplazando en la eddp
Ecuación unidimensional de calor
)(
''
)()()( .).(2
2
txtxx
TXTX =
∂
∂
)()()()( .).( txtxt TXTX
•
∂
∂ =
•
= )()()(
''
)(
2
txtx TXTXc
''
( ) ( )
12
( ) ( )
•
= =x t
x t
X T
k
X c T Con k1 una constante
Quedan dos edo, una que depende de x y otra de t
''
( ) 1 ( ).=x xX k X 2( ) 1 ( )
•
=t tT k c T
6
Ecuación unidimensional de calor
Que tienen soluciones no triviales si la constante k, es 
negativa, para asegurarnos de esto hacemos k1 = -p2, 
reemplazando esto en las edo
(1) 0. )(
2''
)( =+ xx XpX 0)(
22
)( =+
•
tt TcpT(2)
La solución general de la edo (1), con raíces complejas 
conjugadas x=±pi, nos quedan
)()cos( 21)( pxsenCpxCF x +=
2 2
( ) 3
−= c p ttT c eLa solución general de la edo (2) es:
Ecuación unidimensional de calor
L
n
pnpL
π=∴π=
Que debe satisfacer las condiciones de frontera u(0, t) = 
u(L,t) = 0
De donde surge que:
00)0()0cos( 121)0( =⇒=+== CpsenCpCX x
0)(00)( 22)( =⇒≠=== pLsenCsipLsenCX Lx
Sin pérdida de generalidad hacemos C2=1, la solución 
buscada, depende de n, entero,queda:
)()( xsenX L
nn
x
π=
7
Ecuación unidimensional de calor
Volviendo a la eddp original, la temperatura en la barra, 
para cada n entero es
)(
2
222
)()(),( xseneBTXu L
n
t
L
nc
n
n
t
n
x
n
tx
π
π−
==
Si queremos la solución para cualquier n, surge:
∑∑
∞
=
π
π−∞
=
==
11
)()(),( )(
2
222
n
L
n
t
L
nc
n
n
n
t
n
xtx xseneBTXu
Que satisface las condiciones de frontera, falta determinar 
los Bn, para que la u(x,t) hallada también satisfaga las 
condiciones iniciales
Ecuación unidimensional de calor
Entonces: 
Vemos entonces que los Bn deben ser los coeficientes 
del desarrollo senoidal de Fourier de f(x).
)()(
1
0
1
)0()()0,(
2
222
xfxseneBTXu
n
L
nL
nc
n
n
nn
xx === ∑∑
∞
=
π
π−∞
=
)()(
1
xfxsenB
n
L
n
n =∑
∞
=
π
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
8
Ecuación unidimensional de calor
Resumiendo, la solución de 
Con extremos a temperatura 0, u(0, t)=u(L,t) = 0 t con 
temperatura inicial u(x,0)= f(x) es:
),(),(2
22 txutxuc
tx ∂
∂
∂
∂ =
Con
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
2 =
µδ
k
c 0≤ x ≤ L ; t ≥ 0
∑
∞
=
π
π−
=
1
),( )(
2
222
n
L
n
t
L
nc
ntx xseneBu
Ecuación unidimensional de calor
Con 2
0
100 ( )
π
π= ∫nB sen nx dx
Ejemplo: hallar la temperatura u(x,t) de una varilla de 
longitud L=π, extremos y superficie lateral aislados, c=1, 
con u(x, 0) = 100.
2
( , )
1
( )
∞
−
=
=∑ n tx t n
n
u B e sen nx
2(2 1)
( , )
1
400 1
(2 1)
(2 1)
∞
− −
=
= −
π −∑
n t
x t
n
u e sen n x
n
Finalmente la función buscada es: