GTPIntegracion

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CALCULO AVANZADO - AÑO 2014
Ingenierı́a Mecánica-Eléctrica
Integración Numérica
Docentes: Cavalieri F.J y Contini L. - Ayud.: Tibaldo F. y Maciel M.
Problema 1 - (Integer1)
Una barra sujeta a una carga axial se deformará como se ilus-
tra en la curva esfuerzo tensión de la figura. El área bajo la cur-
va desde el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina
módulo de rigidez del material. Proporciona una medida de la
energı́a por unidad de volumen que se requiere para hacer que
el material se rompa. Por ello, es representativo de la capacidad
del material para superar una carga de impacto. Use integración
numérica por medio del método de trapecios para calcular el
módulo de rigidez para la curva esfuerzo-tensión que se apre-
cia en la figura. Verificar el resultado empleando el programa
desarrollado por la cátedra.
Figura 1: Barra sujeta a carga axial.
Problema 2 - (Integer2)
Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a
través de un tubo, la tasa de flujo Q , es decir, el volumen de
agua que pasa por el tubo por unidad de tiempo, se calcula por
medio de Q =
∫
vdA, donde v es la velocidad y A es el área
de la sección transversal del tubo. Para entender el significado
fı́sico de esta relación, recuerde la estrecha conexión que hay
entre la suma y la integración. Para un tubo circular, A = πr2
y dA = 2πrdr. Por lo tanto, Q =
∫ r
0
v(2πr)dr, donde r es
la distancia radial medida hacia fuera a partir del centro del
tubo. Si la distribución de la velocidad está dada por v = 2(1−
r/r0)1/6 donde r0 es el radio total, en este ejercicio igual a 3
[m], calcule Q con el empleo de la regla de Simpson. Analice
Figura 2: Velocidad de un fluido a través de un tubo.
los resultados y verifique los resultados mediante el programa
desarrollado por la cátedra.
Problema 3 - (Integer3)
Un flujo desarrollado por completo que pasa a través de un
tubo de 40 [cm] de diámetro tiene el perfil de velocidad sigu-
iente: Encuentre la tasa de flujo volumétrico, Q, con la relación
Radio [cm] | 0 2.5 5.0 7.5 . . .
Velocidad [m/s] | 0.914 0.89 0.847 0.795 . . .
. . . 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0
. . . 0.719 0.543 0.427 0.204 0
Q =
∫ R
0
2πrvdr, donde r es el eje radial del tubo, R es el
eje radial del tubo, R es el radio del tubo, y v es la velocidad.
Resuelva el problema con dos enfoques diferentes.
1. Ajuste una curva polinomial a los datos de velocidad e
intégrela en forma analı́tica.
2. Para la integración utilice una aplicación múltiple de la
regla de cuadratura de Gauss de 4 puntos.
3. Encuentre el error porcentual con el uso de la integral del
ajuste polinomial como el valor más correcto.
4. Analice los resultados y verifique los resultados mediante
el programa desarrollado por la cátedra.
Problema 6 - (Integer4)
Se presentan corrientes con las siguientes especificaciones:
i(t) = 5e−1,25t sen(2πt) para 0 ≤ t ≤ T/2
i(t) = 0 para T/2 ≤ t ≤ T
1
CALCULO AVANZADO GTP: INTEGRACION
donde T=1 seg. Utilice la cuadratura de Gauss de cinco puntos
para estimar la corriente IRMC , dada por la siguiente ecuación.
IRMC =
√
1
T
∫ T
0
i(t)2dt
Utilice los programas desarrollados por la cátedra para verificar
los resultados.
Problema 7 - (Integer5)
Suponga que la corriente a través de una resistencia está de-
scrita por la función:
i(t) = (60− t)2 + (60− t) sen(
√
t)
y que la resistencia es función de la corriente:
R = 12i + 2i2/3
Calcule el voltaje promedio
VRMC =
√
1
T
∫ T
0
v(t)2dt
desde t = 0 hasta T= 60, con el uso de la regla de Simpson.
Utilice los programas desarrollados por la cátedra para verificar
los resultados.
Problema 8 - (Integer6)
Si inicialmente un capacitor no tiene carga, el voltaje a través
de él como función del tiempo se calcula por medio de:
V (t) =
1
C
∫ t
0
i(t)dt
Si C=10−5 faradios, use los datos de corriente que siguen para
elaborar una gráfica del voltaje versus el tiempo:
t [seg] 0 0.2 0.4. . .
i [mA] 0.2 0.3683 0.3819. . .
. . . 0.6 0.8 1.0 1.2
. . . 0.2282 0.0486 0.0082 0.1441
U.T.N Facultad Regional Santa Fe
Carrea: Ingenierı́a Mecánica-Eléctrica
Asignatura: Cálculo Avanzado-Fund. Ana. de Señales
Profesores: Federico J. Cavalieri y Liliana Contini
Ayudante: Fabio Tibaldo y Martı́n Maciel
Agosto de 2014
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