Introduccion

Vista previa del material en texto

Introduccion
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docentes: Cavalieri Federico - Contini Liliana
Ayudantes: Tibaldo Fabio - Maciel Martı́n
Introducción
August 9, 2014
1 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
mailto:cavafede@gmail.com
Introduccion
¿Qué son los Métodos Numéricos (MN)?
Técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que pueden resolverse usando operaciones
aritméticas.
Como los MN requieren de un elevado número de cálculos aritméticos,
con el avance de la tecnologı́a informática han mejorado mucho, y hoy
en dı́a son utilizados con cotidianidad en cálculos de ingenierı́a.
¿Por qué usar MN en Ingenierı́a?
Permiten encontrar soluciones aproximadas a problemas donde no es
posible usar un método analı́tico o es muy difı́cil.
Refuerzan la comprensión de conceptos matemáticos porque convierte
temas de Matemática avanzada en operaciones aritméticas básicas.
Nos permiten focalizar nuestra atención al estudio conceptual del
problema que queremos resolver, sin preocuparnos demasiado en
cómo lo vamos a resolver.
2 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
El conocimiento y la comprensión de las herramientas que se utilicen
para resolver un determinado problema, son pre-requisitos para
utilizarlas eficazmente.
Esto es particularmente cierto cuando se usan computadoras. Aunque
éstas son de gran utilidad, son prácticamente inútiles si no se
entiende el funcionamiento del sistema en ingenierı́a.
Las métodos numéricos se pueden aplicar al diseño en ingenierı́a
con base en los principios que se muestran en la siguiente Tabla 1.
Principio Variable dependiente Variable independiente
Balance de calor Temperatura Tiempo y posición
Balance de masa Cantidad de masa Tiempo y posición
Leyes de Newton Acele., velo., despla. Tiempo y posición
Leyes de Kirchhoff Corriente y voltaje Tiempo
Table: Algunos de los principios fundamentales usados en la Ingenierı́a.
3 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
¿Qué temas vamos a desarrollar en el
curso?
VII Errores.
VIII Raı́ces de ecuaciones no lineales.
IX Sistemas de ecuaciones lineales.
X Aproximación de funciones.
XI Integración numérica.
XII Ecuaciones diferenciales ordinarias.
XIII Métodos de diferencia finitas.
XIV Método de los elementos finitos.
Bibliografı́a: ver en planificación de la materia.
4 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
¿Qué es un modelo matemático?
Fórmula, ecuación, expresión que expresa las caracterı́sticas
esenciales de un sistema fı́sico o quı́mico o un proceso en términos
matemáticos.
Variable dependiente = f( Variables independientes, parámetros,
leyes matemáticas )
1 Variable dependiente: Caracterı́stica que refleja el comportamiento o
estado de un sistema.
2 Variable independientes: No se pueden controlar, por ejemplo:
espacio, tiempo.
3 Variable parámetros: Propiedades o composición del sistema en
análisis.
4 Leyes matemáticas: Influencias externas que actúan en el sistema.
5 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Ejemplo
La segunda Ley de Newton expresa:
F = m a→ a = F
m
Esta ecuación posee las caracterı́sticas de un modelo
matemático, porque:
1 Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2 Es una idealización o simplificación de la realidad.
3 Conduce a resultados reproducibles o se los puede usar para predecir,
dentro de sus hipótesis de desarrollo.
Por ejemplo, usemos este modelo para predecir la velocidad final de
un cuerpo en caı́da libre cerca de la superficie de la tierra (un
paracaidista).
F = m
dv(t)
dt
6 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Fv: puede modelarse como proporcional a la velocidad:
Fv(t) = −c v(t)
donde c es el coeficiente de resistencia del aire y Fg = m g
7 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Planteando sumatoria de fuerzas
F =
2∑
i=1
Fi = Fg + Fv = m g − c v(t)
Luego,
m
dv(t)
dt
= m g − c v(t)
dv(t)
dt
= g − c v(t)
m
v̇(t) +
c
m
v(t) = g con v̇(t) =
dv(t)
dt
Comparando
v̇(t) +
c
m
v(t) = g Equivalentemente ẏ(t) + P (t)y(t) = Q(t)
La última expresión es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)
lineal de primer orden.
8 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
¿Cómo resolvı́amos este problema
tradicionalmente en Análisis Matemático?
Usamos la resolvente de este tipo de EDO.
y(t) = v(t) = e−
∫
P (t)dt
[∫
Q(t)e−
∫
P (t)dtdt + cte
]
con P (t) =
c
m
Q(t) = g
Integrando
v(t) = g
m
c
+ cte e−
c
m t
Como es caı́da libre, la condición inicial v(0) = 0, entonces la
constante resulta igual a
cte = −gm
c
9 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Si en particular m = 68, 1[kg], g = 9, 81[kg/seg2] y c = 12, 5[kg/s]. La
solución analı́tica o exacta (pues satisface con exactitud la ecuación
diferencial original) es:
v(t) = 53, 39(1− e−0,18355 t)
10 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Como ya se mencionó
Los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el
problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones
aritméticas.
Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton,
observando que a la razón de cambio de la velocidad con respecto al
tiempo
se puede aproximar mediante
dv(t)
dt
∼=
∆v
∆t
=
v(ti+1)− v(ti)
ti+1 − ti
donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y en el tiempo,
respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos.
dv(t)
dt
∼=
∆v
∆t
=
v(ti+1)− v(ti)
ti+1 − ti
= g − c
m
v(ti)
o bien
v(ti+1) = v(ti) +
[
g − c
m
v(ti)
]
(ti+1 − ti)
11 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Método de Euler
12 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Estrategias de cálculo
Este tipo de problemas se pueden resolver de tres maneras
diferentes: i) en forma gráfica, ii) en forma manual y iii) con
programas de computación.
En particular en este curso se utilizarán la forma manual y
estrategias computacionales.
Algunas definiciones para las estrategias computacionales
Algoritmo: es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una
serie finita de pasos a realizar en un orden especı́fico.
Iteración: Repetición de un procedimiento hasta obtener un resultado.
13 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Resolución del problema del paracaidista en
forma manual.
A partir de la siguiente ecuación, calcule la velocidad cada dos
segundos si v(t0 = 0) = 0.
v(ti+1) = v(ti) +
[
g − c
m
v(ti)
]
(ti+1 − ti)
Iteración 1 t1 = 2 seg.
v(t1) = v(0)+
[
g − c
m
v(0)
]
(t1−t0) = 0+
[
9, 8− 12, 5
68, 1
0
]
(2−0) = 19, 6
Iteración 2 t2 = 4 seg.
v(t2) = v(2)+
[
g − c
m
v(2)
]
(t2−t1) = 19, 6+
[
9, 8− 12, 5
68, 1
19, 6
]
(4−2) = 32
Iteración 3 t3 = 6 seg.
v(t3) = v(4)+
[
g − c
m
v(4)
]
(t3−t2) = 32+
[
9, 8− 12, 5
68, 1
32
]
(6−4) = 39, 85
14 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Resumen
1 Desarrollamos un modelo matemático a partir de la fuerza total para
predecir la velocidad de caı́da de un paracaidista. Este modelo tenı́a la
forma de una ecuación diferencial.
dv(t)
dt
= g − c
m
v(t)
2 También vimos que se obtenı́a una solución de esta ecuación utilizando
un método numérico simple: método de Euler.
v(ti+1) = v(ti) +
[
g − c
m
v(ti)
]
(ti+1 − ti)
3 Sin embargo, para obtener una buena precisión serı́a necesario
desarrollar muchos pasos pequeños. Hacerlo a mano serı́a muy
laborioso y tomarı́a mucho tiempo; pero, con la ayuda de las
computadoras tales cálculos pueden realizarse fácilmente.
15 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos parael Análisis de Señales
Introduccion
Algoritmo programado en Matlab
1 %El problema del paracaidista
2 %-------------------------------------------
3 %Datos
4 c=12.5; m=68.1; g=9.8;
5 %Condicion Inicial
6 v=0; t=0;
7 %Bucle
8 for i=1:20
9 tf = t +2;
10 v = v + (g- (c/m)*v)*(tf-t)
11 t=tf;
12 end
16 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
Introduccion
Comparación entre la solución numérica y la
analı́tica
17 / 17
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
	Introduccion