Lapla17

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Lapla 17 
 
La viga simplemente apoyada que se 
muestra en la figura, tiene una longitud 2L = 
8 m y se encuentra solicitada por una carga 
puntual P = 40 kN en el punto C. Calcular 
utilizando la transformada de Laplace la 
ecuación de la línea elástica y(x) si: E = 210 
GPa y I = 200 cm4. Utilizar la función delta 
de Dirac para imponer la carga puntual P. 
Luego graficar en Matlab la solución obtenida. 
 
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la carga es: 
4
4
( )
( )
d y x
EI q x
dx
  o equivalentemente ( ) ( )IVEIy x q x  
donde ( )y x representa la ecuación de línea elástica, ( )q x es una carga distribuida por unidad de 
longitud sobre la viga, EI es la rigidez de flexión siendo E el módulo de elasticidad y I el momento 
de inercia. Las condiciones de borde asociadas a la ecuación diferencial de la viga dependen de 
cómo esté vinculada. Las siguientes condiciones son las más frecuentes: 
 
 Empotrada: 0 0( ) '( ) 0y x y x  
 Simplemente soportada: 0 0( ) ''( ) 0y x y x  
 Extremo libre: 0 0''( ) '''( ) 0y x y x  
 
donde '( )y x es la pendiente de la línea elástica , ''( )y x está relacionado con el momento flector y 
'''( )y x está relacionado con el esfuerzo de corte. 
 
RESOLUCION 
 
La viga representada en la figura está solicitada por una carga puntual, por esta razón la función 
de carga ( )q x debe especificarse por medio de la delta Dirac, esto es 
 
( ) ( )q x P x L  , donde ( )q x P para x L y ( ) 0q x  para todo x L . [1] 
 
Luego, reemplazando la Ec.[1] en la ecuación de la línea elástica: ( ) ( )IVEIy x q x  , se tiene la 
siguiente ecuación 
 
4
4
( ) ( )d y x P x L
dx EI
 
  [2] 
 
Las condiciones de vínculo en los puntos A y B indican que no hay corrimiento vertical y además 
el momento flector es nulo, esto es: 
 
Punto A: corrimiento nulo: (0)y - Momento flector nulo ''(0) 0y  [3] 
Punto B: corrimiento nulo: (2 )y L - Momento flector nulo ''(2 ) 0y L  [4] 
 
Tomando la transformada de Laplace de la Ec.[2] 
 
4
4
( ) ( )d y x P x L
L L
dx EI
    
    
   
 [5] 
 
se tiene la siguiente expresión en el campo complejo 
 
 
4 3 2( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)
LsPe
s Y s s y s y sy y
EI

     [6] 
A partir de las condiciones de borde enunciadas en la Ec [3], la Ec. [6] se resulta en 
 
4 2( ) '(0) '''(0)
LsPe
s Y s s y y
EI

   [7] 
 
En la Ec.[7], las condiciones de borde '(0)y y '''(0)y asociadas a la pendiente y al esfuerzo de 
corte de la viga, respectivamente, no se las conoce a priori y por lo tanto, serán dos incógnitas del 
problema a determinar, es decir 
 
1 2'(0) '''(0)y C y C  [8] 
 
Reescribiendo la Ec.[7] junto con la Ec.[8], la transformada inversa de Laplace se obtiene de la 
siguiente manera 
 
1 2 1 24 2 1 1
1 2 2 4 4 2 4 4
( ) ( ) [ ( )]
Ls Ls LsPe C C Pe C C Pe
s Y s s C C Y s L Y s L
EI s s s EI s s s EI
  
              
 
 [9] 
 
Por medio de la tabla de transformada de Laplace, la Ec.[9]3 resulta en 
 
3 3
1 2
( )
( ) ( )
6 6
x P x L
y x C x C H x L
EI

    [10] 
 
donde ( )H x L es la función de Heaviside. Resta obtener las constantes C1 y C2 que surgen de 
considerar las condiciones de borde en 2L no utilizadas hasta el momento y enunciadas en la 
Ec.[4], esto es 
 
(2 ) 0 ''(2 ) 0y L y L  [11] 
 
Si se evalúa (2 ) 0y L  y además si se deriva dos veces ( )y x , esto es ''( )y x , para luego hacer 
''(2 ) 0y L  se tienen dos ecuaciones 
 
(2 ) 0
''(2 ) 0
y L
y L



 
 
 [12] 
 
que permiten obtener las constantes C1 y C2. Para llevar a cabo esta operación se utiliza algún 
método de resolución de ecuaciones conocido. 
Tener en cuenta que a partir de la definición de la función de Heaviside, esta es 
 [13] 
0
( )
1
x L
H x L
x L

  

 si 
 si 
 
 
en 2x L la función es ( ) 1H x L  . 
Por medio del sistema de ecuaciones de la Ec.[12], la expresión para cada constante se muestra 
a continuación, 
 
2
1 2
4 2
L P P
C C
EI EI
   [14] 
 
Finalmente, la ecuación de la línea elástica obtenida por el método de la transformada de 
Laplace, resulta en la siguiente expresión. 
 
2 3
3 ( )( ) ( )
4 12 6
L P P P x L
y x x x H x L
EI EI EI

     [15] 
 
Para graficar la función de la línea elástica utilizaremos Matlab con los comandos que se decriben 
a continuación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
syms x y_TL y_LE; 
P=40000; 
L=4; 
E=210e9; 
I=2e-6; 
%--------------------------------------------------------------------------- 
% Solución por transformada de Laplace 
%--------------------------------------------------------------------------- 
y_TL = -L^2*P*x/(4*E*I) + P*x^3/(12*E*I) - P/(6*E*I)*(x-L)^3*heaviside(x-L); 
 
%--------------------------------------------------------------------------- 
% Solución por ecuación de la línea elástica por medio de series de Fourier 
%--------------------------------------------------------------------------- 
L=8; 
y_LE = (-2*P*L^3/(E*I*pi^4))*( sin(pi/2)*sin(pi*x/L) + (1/2^4)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x/L) + 
(1/3^4)*sin(3*pi/2)*sin(3*pi*x/L)); 
 
%--------------------------------------------------------------------------- 
% Gráficas 
%--------------------------------------------------------------------------- 
x= 0:0.1:8; 
 
y_TLvec = eval(y_TL); 
y_LEvec = eval(y_LE); 
 
hold on 
plot(x,y_TLvec,'o'); 
plot(x,y_LEvec); 
axis([0 8 -1.5 0]); 
 
sizeFontA = 20; 
sizeFontB = 20; 
grid on 
 legend('Transformada de Laplace','Línea elástica',2); 
 set(gca,'Fontsize',25); 
 xlabel ('Coodernada x'); 
 ylabel ('Desplazamiento vertical y(x)'); 
 set(legend,'FontSize',25);