Laplace2014

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CALCULO AVANZADO - AÑO 2014
Ingenierı́a Mecánica-Eléctrica
Módulo III - Transformada de Laplace - Guı́a de Aplicaciones
Docentes: Contini L., Torres J.L y Cavalieri F.J - Ayud.: Tibaldo F., Maciel M.
Problema 1 - (Lapla1)
El circuito RLC de la Figura 1 está formado por un resistor R,
un capacitor C y un inductor L conectados en serie a una fuente
de tensión e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t =
0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en
el circuito son cero. Determinar la carga q(t) en el capacitor y
la corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo
que: R = 160 Ω; L = 1 H; C = 10−4F y e(t) = 20 V.
Figura 1: Circuito eléctrico.
Problema 2 - (Lapla2)
Suponer que el capacitor en el circuito de la Figura 2 inicial-
mente tiene una carga igual a cero (q(0) = 0) y que no existe
corriente inicial (i(0) = 0). Para el tiempo t = 2 seg, el interrup-
tor pasa de la posición B a la posición A, se mantiene por un
segundo y luego regresa a la posición B. Encontrar la tensión
de salida esal del capacitor.
Figura 2: Circuito eléctrico.
Problema 3 - (Lapla3)
El circuito de la Figura 3 está compuesto por tres resistencias
(R1 = 4Ω, R2 = 2Ω y R3 = 3Ω), un inductor (L = 1,6 H), un
capacitor (C = 0,25 F) y una fuente de tensión E = sen(t) en
Volts. Aplicando las leyes de resolución de circuitos eléctricos
se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
dI1
dt
+
R2
L
dq
dt
=
R1 −R2
L
i1
dq
dt
=
1
R3 + R2
(
e− q
C
)
+
R2
R2 + R3
i1
Resolver el sistema aplicando Laplace y teniendo en cuenta que
i1(0) = 15 A y q(0) = 2 A/seg.
Figura 3: Circuito eléctrico.
Problema 4 - (Lapla4)
La masa del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura
4 esta sometida a una fuerza periódica externa F(t) = 4 sen(ωt)
aplicada en el tiempo t=0. Para K = 25 N/m, M = 1 kg y B
= 6 N seg/m, calcular el desplazamiento resultante x(t) de la
masa en el tiempo t suponiendo que x(0) = x′(0) = 0 para los
siguientes casos:
1. cuando ω = 2.
2. cuando ω = 5.
3. cuando ω = 5 y B = 0.
Figura 4: Sistema mecánico.
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CALCULO AVANZADO GTP: Transformada de Laplace
Problema 5 - (Lapla5)
El sistema mecánico de la Figura 5 consiste de dos masas
M1 = 1 kg y M2 = 2 kg, cada una sujetada a una base fija por
medio de un resorte, con constantes K1 = 1 N/m y K3 = 2 N/m,
respectivamente. A su vez ambas masas se encuentran conec-
tadas entre sı́ por un tercer resorte con constante K2 = 2 N/m.
El sistema es soltado desde el reposo en un tiempo t = 0 en una
posición en la cual M1 está desplazada un metro a la izquierda
de su posición de equilibrio y M2 está desplazada 2 metros a
la derecha de su posición de equilibrio. Despreciando todos los
efectos de fricción, determinar las posiciones de las masas en
el tiempo t.
Figura 5: Sistema mecánico.
Problema 6 - (Lapla6)
En una fábrica automotriz se probó el sistema de suspensión
de un vehı́culo del tipo todo terreno. Los ensayos más exigentes
consistieron en pruebas de caı́da libre. La Figura 6 representa
un modelo esquemático de la unidad ubicado a una altura h des-
de donde se lo dejó caer. M1 representa la masa del vehı́culo,
K1 y B, la constante de rigidez y amortiguamiento del sistema
de suspensión, respectivamente. Se pide calcular:
1. La ecuación que representa el desplazamiento de la masa
en el instante t>0 cuando M = 500 kg, B = 180 N s/m y K
= 474,5 N/m.
2. Obtenga los efectos de caı́das para distintas alturas h.
Graficar con Matlab la respuesta x1(t).
Figura 6: Sistema mecánico.
Problema 7 - (Lapla7)
Una versión muy simplificada del sistema de suspensión de
un automóvil es el que se muestra en la Figura 7, donde M2 rep-
resenta la masa del automóvil, K2 y B la constante de rigidez
y amortiguamiento del sistema de suspensión, respectivamente,
K1 y M1 la constante de rigidez y masa del neumático, respecti-
vamente. Calcular y graficar con Matlab a través del commando
Figura 7: Sistema mecánico.
step(num,den), cuál será la variación en el tiempo de la coor-
denada x2(t) si el desplazamiento u(t) es un escalón unitario.
Datos. M1 = 50 kg, M2 = 500 kg, B = 180 N s/m, K1 = 475
N/m y K2 = 1000 N/m.
Problema 8 - (Lapla8)
La estructura que se muestra en la Figura 8 corresponde a
una barra solicitada por una carga P = 1000 kgf en el extremo
B y empotrada en el extremo A. Es de acero con un módulo de
elasticidad de E = 2.100.000 kgf/cm2, tiene una longitud L = 4
m y un área transversal de 4 cm2. Si la ecuación que representa
el corrimiento de los puntos está dada por
EAd2u(x)
dx2
= 0
donde u(x) es el campo de desplazamientos, encontrar utilizan-
do la transformada de Laplace el campo de desplazamiento
u(x). Luego graficar la solución en Matlab para P1 = 2P y P2 =
3P. Nota. Recuerde que la deformación es :
εx =
∂u(x)
∂x
Figura 8: Elemento de barra.
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CALCULO AVANZADO GTP: Transformada de Laplace
Problema 9 - (Lapla9)
La estructura que se muestra en la Figura 9 corresponde a
una barra solicitada por un desplazamiento impuesto Ū = 1 cm
en el extremo B y empotrada en el extremo A. Es de acero con
un módulo de elasticidad de E = 2.100.000 kgf/cm2, tiene una
longitud L = 4 m y un área transversal de 4 cm2. Si la ecuación
que representa el corrimiento de los puntos está dada por
EAd2u(x)
dx2
= 0
donde u(x) es el campo de desplazamientos, encontrar utilizan-
do la transformada de Laplace el campo de desplazamiento
u(x). Luego graficar en Matlab la solución obtenida. Nota. Re-
Figura 9: elemento de barra.
cuerde que la deformación es :
ε =
∂u(x)
∂x
Problema 10 - (Lapla10)
La viga simplemente apoyada que se muestra en la Figura 10
se encuentra solicitada por una carga uniformemente distribui-
da q = 30 kN/m. Calcular utilizando la transformada de Laplace
la ecuación de la lı́nea elástica y(x) si: E = 210 GPa, Ix = 200
cm4, L = 4 m. Luego graficar en Matlab la solución obtenida.
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la
carga es:
EIx
d4y(x)
dx4
= −q(x)
Las condiciones de borde asociadas a la ecuación diferencial de
la viga dependen de como esté soportada la viga. Las siguientes
condiciones son las más comunes:
Empotrada: y(x) = y′(x) = 0
Simplemente soportada: y(x) = y′′(x) = 0
Extremo libre: y′′(x) = y′′′(x) = 0
Figura 10: Viga isostática.
Problema 11 - (Lapla11)
La viga que se muestra en la Figura 11 de longitud L = 4 m se
encuentra solicitada por una carga uniformemente distribuida q
= 15 kN/m hasta una longitud igual x = a = 2 m. Se encuentra
empotrada en el extremo izquierdo y libre para la coordenada x
= L. Calcular utilizando la transformada de Laplace la ecuación
de la lı́nea elástica y(x) si: E = 210 GPa, Ix = 200 cm4. Uti-
lizar la función de Heaviside para generar la función de carga
q. Luego graficar en Matlab la solución obtenida.
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la
carga es:
EIx
d4y(x)
dx4
= −q(x)
Las condiciones de borde asociadas a la ecuación diferencial de
la viga dependen de como esté soportada la viga. Las siguientes
condiciones son las más comunes:
Empotrada: y(x) = y′(x) = 0
Simplemente soportada: y(x) = y′′(x) = 0
Extremo libre: y′′(x) = y′′′(x) = 0
Figura 11: Viga isostática.
Problema 12 - (Lapla12)
La viga que se muestra en la Figura 12 de longitud L = 4 m
es solicitada por una carga puntual P = 40 kN en el punto C.
Se encuentra empotrada en un extremo y simplemente apoya-
da en x = L. Calcular utilizando la transformada de Laplace la
ecuación de la lı́nea elástica y(x) si: E = 210 GPa, Ix = 200
cm4. Utilizar la función delta de Dirac para imponer la carga
puntual P. Luego graficar en Matlab la solución obtenida.
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la
carga es:
EIx
d4y(x)
dx4
= −q(x)
Las condiciones de borde asociadas a la ecuación diferencial de
la viga dependen de como esté soportada la viga. Las siguientes
condiciones son las más comunes:
Empotrada: y(x) = y′(x) = 0
Simplemente soportada:y(x) = y′′(x) = 0
Extremo libre: y′′(x) = y′′′(x) = 0
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CALCULO AVANZADO GTP: Transformada de Laplace
Figura 12: Viga hiperestática.
Problema 13 - (Lapla13)
La viga que se muestra en la Figura 13, de longitud L = 4 m
se encuentra solicitada por una carga uniforme q = 20 kN/m. Se
encuentra empotrada en ambos extremos. Calcular utilizando
la transformada de Laplace la ecuación de la lı́nea elástica y(x)
si: E = 210 GPa, Ix = 200 cm4. Luego graficar en Matlab la
solución obtenida.
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la
carga es:
EIx
d4y(x)
dx4
= −q(x)
Las condiciones de borde asociadas a la ecuación diferencial de
la viga dependen de como esté soportada la viga. Las siguientes
condiciones son las más comunes:
Empotrada: y(x) = y′(x) = 0
Simplemente soportada: y(x) = y′′(x) = 0
Extremo libre: y′′(x) = y′′′(x) = 0
Figura 13: Viga hiperestática.
Problema 14 - (Lapla14)
La viga que se muestra en la Figura 14, de longitud L = 4 m
se encuentra solicitada por una carga uniforme q = 30 kN. En el
extremo A tiene un vı́nculo doble, en el extremo B un vı́nculo
simple y en el centro, punto C, se encuentra ubicado un se-
gundo vı́nculo simple, lo que constituye una viga hiperestática.
Calcular utilizando la transformada de Laplace la ecuación de
la lı́nea elástica y(x) si: E = 210 GPa, Ix = 200 cm4. Luego
graficar en Matlab la solución obtenida. Reemplazar el vı́nculo
simple del punto C por una carga puntual R incógnita.
Nota. La expresión que define la elástica en términos de la
carga es:
EIx
d4y(x)
dx4
= −q(x)
Empotrada: y(x) = y′(x) = 0
Simplemente soportada: y(x) = y′′(x) = 0
Extremo libre: y′′(x) = y′′′(x) = 0
Figura 14: Viga hiperestática.
Problema 15 - (Lapla15)
La Figura 15 muestra un sistema mecánico rotacional que
incluye una carga inercial J y un amortiguador de fricción vis-
cosa. Suponiendo que el eje tiene rigidez infinita, se pide cal-
cular:
Ecuación del sistema en función del ángulo de giro θ(t).
Si se le aplica un par T en forma de escalón unitario,
se pide calcular cuál será la respuesta del sistema θ(t).
Graficar los resultados en Matlab a través del commando
step(num,den).
Datos. Momento de Inercia de la carga es J = 300 kg m2 y
coeficiente de fricción viscosa B = 10 Nm/rad/seg.
Figura 15: Sistema mecánico rotacional.
Problema 16 - (Lapla16)
Los engranes se utilizan para reducir o aumentar la veloci-
dad o par obtener la mejor transferencia de potencia al acoplar
alguna carga a un elemento motriz. Suponiendo que los ejes
poseen rigidez infinita, que T1N2 = T2N1, donde Ti es el par
de la carga en el engranaje i y Ni es el número de dientes de
la rueda dentada i y además θ1N1 = θ2N2, obtener una única
ecuación de la dinámica equivalente a todo el sistema de en-
granajes en función del ángulo θ1. Luego graficar en Matlab a
través del commando step(num,den), la respuesta θ1(t) cuan-
do la carga es TL es de 200 Nm y el par de entrada Tm es un
escalón unitario.
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CALCULO AVANZADO GTP: Transformada de Laplace
Figura 16: Sistema mecánico de engranajes.
U.T.N Facultad Regional Santa Fe
Carrea: Ingenierı́a Mecánica
Asignatura: CALCULO AVANZADO
Guı́a de Aplicaciones: Transformada de Laplace
Profesor: Dr. Federico J. Cavalieri
Ayudante: Fabio Tibaldo
Abril de 2014
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