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Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 1 INFORME PRÁCTICA 8 – FUERZA CENTRÍPETA Claudia Marcela Hurtado Franco e-mail: cmhurtado@unicauca.edu.co Angela Dayana Mejía Mejía e-mail: admejia@unicauca.edu.co Angélica María Patiño Sarria e-mail: ampatino@unicauca.edu.co Carlos David Vallejo Ruiz e-mail: cardav@unicauca.edu.co Abstract: On February 7, 2022, the laboratory practice was carried out in the facilities of the University of Cauca in the morning hours, this practice was guided by the teacher Lissy Yohana Hurtado Meneses. This was called "Centipetal Force" because that is the name of the main force that we were going to interact with and observe. We began with the detailed explanation by the teacher and accompanied by the laboratory technicians, in this explanation we were informed that in this practice materials were going to be shared, therefore the four groups would merge to end up being two. Continuing, we were presented with the objectives to meet and the methods by which we would need the participation of all the members of the group, in this way we created a synergy to speed up the test. What we used was an electric motor, timer, weight box, adjustable spring attachment and indicator needle to perform this test. PALABRAS CLAVE: Dinámico, elasticidad, estático, fuerza. INTRODUCCIÓN El día 07 de febrero de 2022 se llevó a cabo la práctica de laboratorio llamada fuerza centrípeta, este laboratorio fue orientado por la docente Lissy Yohana Hurtado Meneses, donde empezamos con una explicación acerca de cómo utilizar los instrumentos que se nos darían tiempo después para que el equipo pudiera conocer acerca de esta fuerza y como se calcula. Lo primero que como equipo tuvimos que tener fue la experiencia en utilizar el motor eléctrico con regulador de velocidad, aditamento con resorte graduable y aguja indicadora, cronometro, juego de pesas, porta pesas, torre en pedestal de madera y balanza digital. Teniendo esto procedimos a indicar roles, para poder aprovechar al máximo el tiempo y agilizar la practica; donde todos aportaríamos y nos veríamos involucrados al hacer trabajo en equipo y generar una sinergia en la cual todos nos empaparíamos del proceso de medición de la fuerza centrípeta. En la práctica mientras observamos los materiales que se nos habían suministrado teníamos que aprender a utilizarlos de forma segura y adecuada para obtener los mejores resultados y no ir a dañar estos mismos. Durante la prueba se nos presentaron diferentes pruebas como por ejemplo fue, por medio de nuestra observación mirar que la aguja de nuestro aditamento con resorte graduable llegara a cierta medida, es decir, por medio de nuestros ojos teníamos que mirar el cambio de posición de la aguja mientras cambiábamos la velocidad en nuestro regulador; a parte en la segunda parte de nuestra prueba donde teníamos que observar el cambio de nuestra misma aguja en el método estático; este método constaba de poner a prueba nuestro resorte sujetado de unas cuerdas sencillas y que este sostuviera nuestro porta pesas en el cual agregaríamos peso con respecto a la graduación de nuestro resorte. La prueba que se nos presentaba fue que necesitábamos comprobar el peso real que había generado que la aguja cambiara, por tanto, el peso lo llevamos a nuestra balanza digital y supimos Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 2 cuál era el peso exacto; cabe resaltar que mientras intentábamos saber el peso real, el viento jugo un valor importante, pues este interfería en nuestra medición ya que nuestra balanza resulto ser bastante sensible. En este informe, usted encontrara los datos suficientes y necesarios, gráficas y análisis de resultados de la práctica realizada con éxito, así mismo nuestro equipo de trabajo pudo darse una idea más argumentada de lo que es la fuerza centrípeta. OBJETIVOS - Estudiar el movimiento de un cuerpo que recorre con velocidad constante una trayectoria circular. - Calcular la frecuencia de rotación. - Calcular el valor de la fuerza centrípeta. MARCO TEÓRICO Supongamos un cuerpo de masa m girando en una trayectoria circular de radio r. Fig. 1 En un instante dado, en el punto A, el cuerpo tiene una velocidad v1 tangente al círculo y mantendrá esta velocidad lineal, de acuerdo con la primera Ley de Newton, sino sobre él ninguna fuerza externa. La aplicación de una fuerza a lo largo de su trayectoria (tangente al círculo) aumentaría la velocidad del cuerpo, en tanto que una fuerza obrando normalmente a la trayectoria (a lo largo del radio) producirá un cambio constante en la dirección del movimiento, sin afectar el valor numérico de la velocidad. Supongamos que el cuerpo esté recorriendo su trayectoria circular con velocidad constante en valor absoluto. No tendrá aceleración a lo largo de su trayectoria, pero la dirección de su movimiento estará cambiando constantemente y por tanto su velocidad (como cantidad vectorial), no será uniforme y deberá tener una aceleración normal a la trayectoria, que es la que hace cambiar la dirección de la velocidad. Esta aceleración radial está dirigida hacía el centro de la trayectoria circular y se llama aceleración centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza F necesaria para darle a una masa a, es: 𝐹 = 𝑘 ∗ 𝑚 ∗ 𝑎 (1) Siendo k una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades. El sistema C.G.S. que es el utilizado en esta experiencia, 𝑘 = 1. La fuerza 𝐹 sobre la masa 𝑚 dirigida hacia el centro, se llama fuerza centrípeta. De acuerdo con la tercera Ley de Newton, existe una fuerza igual y contraria: la fuerza centrífuga. Deduzcamos una expresión de la fuerza centrípeta. En un pequeño intervalo de tiempo 𝛥𝑡, el cuerpo a lo largo del arco 𝐴𝐵 se moverá una distancia 𝛥𝑠 = 𝑣 ∗ 𝛥𝑡. La velocidad lineal 𝑣 tiene la misma magnitud en 𝐴 y en 𝐵, pero al ir de 𝐴 a 𝐵 , como la dirección del movimiento ha cambiado, el vector diferencia se ve en la figura1. Entonces considerando triángulos semejantes tendremos: ∆v ∆s = 𝑎∗∆t 𝑣∗∆t = 𝑣 𝑟 (2) De donde: 𝑎 = 𝑣2 r (2) Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 3 La aproximación de tomar la cuerda 𝐴𝐵 como igual al arco, se justifica plenamente cuando 𝛥𝑡 se hace infinitamente pequeña. Además, cuando 𝛥𝑡 se aproxima a cero, 𝛥𝑣 viene a ser prácticamente paralelo a 𝑟 . Por tanto, la aceleración, la cual está en la dirección del cambio de velocidad, estará dirigida hacia el punto 𝑂 , es decir hacia el centro del círculo. Sustituyendo 𝑎 de la ecuación (2) en la ecuación (1), tendremos la expresión para la fuerza centrípeta. 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑟 (3) En la ecuación (3) la fuerza centrípeta, está expresada en función de la velocidad lineal 𝑣. del cuerpo. Si la expresamos en función de la velocidad angular 𝑤 y sabiendo que 𝑣 = 𝑤 ∗ 𝑟 . Entonces, se reemplaza 𝑣 en (3), obteniendo: 𝐹𝑐 = 𝑚 ( 𝑤∗ 𝑟)2 𝑟 (4) 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑤2∗𝑟2 𝑟 (4) 𝐹𝑐 = 𝑚 ∗ 𝑤 2 ∗ 𝑟 (4) Estando 𝑤 en radianes por segundo. Pero como de ordinario es más fácil encontrar la frecuencia de rotación 𝑓 ó número de revoluciones por segundo, hacemos una relación, como sigue: 𝑤 = 2𝜋 𝑇 = 2𝜋𝑓 Anteriormente ya vimos que 𝑣 = 𝑤 ∗ 𝑟 , entonces reemplazamos 𝑤 en 𝑣. Así 𝑣 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑟 , la ecuación (4) nos quedará finalmente: 𝐹𝑐 = 4𝜋 2 ∗ 𝑓2 ∗ 𝑟 ∗ 𝑚 (5) Por otra parte, hay que recordar que la ley de Hooke, establece que la fuerza 𝐹 necesariapara producir una deformación d en un cuerpo elástico, está dada por la ecuación: 𝐹 = 𝑘 ∗ 𝑑 (6) En la cual 𝑘 se define numéricamente como la fuerza necesaria para producir la unidad de deformación. El valor de 𝑘 depende de la forma y naturaleza del cuerpo. La relación entre la fuerza en el resorte y la frecuencia de rotación puede encontrarse gráficamente. Despejando 𝑓2 en la ecuación (5), tenemos: 𝑓2 = 1 4π2∗𝑟∗𝑚 𝐹𝑐 (7) Ecuación en la cual la fuerza 𝐹𝑐 satisface la ecuación (6). En este experimento el radio 𝑟 se mantiene constante y la extensión del resorte varía por medio del collar colocado en una de las extremidades del resorte. Como el paso del tornillo solidario del collar es constante, la fuerza en el resorte es directamente proporcional al número de vueltas 𝑁 del collar. Por tanto: 𝐹𝐶 = 𝐹0 + 𝑘 ′𝑁 (8) Donde 𝐹0 es la fuerza inicial del resorte correspondiente al “cero” (arbitrario) de una posición del collar; 𝑘’ es una constante del resorte, llamada la fuerza en el resorte para una vuelta en el collar. Debe notarse que 𝑘’ de la ecuación (8) y 𝑘 de la ecuación (6) están simplemente relacionadas siendo solamente dos maneras equivalentes de expresar la fuerza constante del resorte. Sustituyendo 𝐹𝐶 de la ecuación (8) en la ecuación (7) tenemos: 𝑓2 = 1 4π2𝑚𝑟 (𝐹0 + 𝑘 ′𝑁) (9) O 𝑓2 = 𝐶(𝐹0 + 𝑘 ′𝑁) (10) Siendo: 𝐶 = 1 4π2𝑚𝑟 (11) Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 4 Analizando la ecuación (10) se ve que un gráfico de valores experimentales de 𝑓2 y de 𝑁 da el valor de fuerza constante 𝑘’ del resorte. Esto puede llamarse método dinámico para determinar 𝑘’ .un método estático diferente para determinar 𝑘’consiste en medir el peso no necesario para balancear la fuerza la fuerza elástica en el resorte para cada vuelta del collar. Análisis de datos: dibujar un gráfico como el de la figura 2, llevando el cuadrado de la frecuencia 𝑓2 en la ordenada y 𝑁 número de vueltas en las abscisas. La ecuación (10) nos muestra que cuando 𝑁 = 0, 𝐹0 = − 𝑓0 2 𝐶 Donde f0 es la frecuencia correspondiente a la posición inicial del resorte. Volviendo a la ecuación (10) si 𝑓 = 0, 𝑁0 = −𝐹0 𝑘′ Donde 𝑁0 es el número negativo de vueltas desde el comienzo necesarias para causar fuerza cero con el resorte. Conociendo 𝑁0 y 𝐹0 podemos conocer la constante 𝑘’ del resorte. Fig.2 El aparato costa de un motor eléctrico con un rotor de velocidad variable provisto de un contador de revoluciones. Al rotor se acopla la unidad de fuerza centrípeta el cual consiste de un soporte metálico en el cual está montado una masa cilíndrica adherida a un resorte (ver esquema) cuya tensión es regulable por medio de un tornillo de paso 𝑁 constante. El aditamento completo gira sobre el eje vertical a través de su centro de gravedad. La posición del tornillo que regula la tensión del resorte puede ser controlada por una escala graduada. Cuando el aparato gira la masa produce una extensión del resorte y se tiene un sistema de señalización consistente en una aguja P pivoteada en 0 de tal forma que cuando la masa m toca el punto Q se levanta unos cinco milímetros en el punto I lo cual es visible por el observador que mire paralelamente el objeto cuando está girando. Midiendo desde el eje de rotación hasta el centro de la masa en esa posición se tiene el radio r. Luego si medimos la fuerza necesaria para mover la masa a esa posición (puede ser colgado el aditamento vertical y añadiendo pesas hasta que la masa toque justamente el punto Q) se comprueba la ecuación de la fuerza centrípeta. Adicionalmente, contamos con dos ecuaciones para hacer uso del método de mínimos cuadrados: 𝑚 = ∑ 𝑥𝑦+ ∑ 𝑥 ∑ 𝑦 𝑛 ∑ 𝑥2− (∑ 𝑥)2 𝑛 (12) 𝑏 = ∑ 𝑦 𝑛 − 𝑚 ∑ 𝑥 𝑛 (13) LISTA DE MATERIALES - Motor eléctrico con regulador de velocidad. - Aditamento con resorte graduable y aguja indicadora. - Cronometro. - Calibrador. - Caja de pesas completa. - Porta pesas de 1Kg. - Juego de pesas con ranuras. - Torre en pedestal de madera. Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 5 DESARROLLO PROCEDIMENTAL Verificamos el estado y funcionamiento de cada uno de los materiales entregados por el laboratorista, y se sigue: - EI profesor Ie explicará previamente Ia manera como debe manejar eI aparato de fuerza centrípeta. - Una vez haya aprendido el funcionamiento del aparato, coloque el collar del resorte en frente del cero de la escala graduada. - Monte el aditamento sobre el eje de rotación y ajústelo; tenga cuidado que el eje de rotación esté vertical. - Ponga el motor eléctrico en funcionamiento cerrando el interruptor. - Por medio del tornillo colocado en la parte inferior del regulador de velocidad varié esta hasta que mirando paralelamente la masa giratoria vea que la aguja del esquema se levantó. - Baje un poco la velocidad y vuelva aumentar lentamente hasta determinar con exactitud el punto donde la aguja del esquema se levanta. - En esa posición fije el tornillo. - Anote la lectura del contador de revoluciones o tacómetro. - Engránelo al rotor durante veinte segundos. Suéltelo y por diferencia de las dos anotaciones determine el número de revoluciones, lleve estos datos a la tabla No. 1. - Calcule la frecuencia de rotación y llévela a la tabla No. 1. - Mida la resistencia r desde el eje de rotación hasta el centro de gravedad de la masa cuando se encuentra en el extremo del soporte, r = 5.655 cm. - Tenga en cuenta la masa del cilindro que se desplaza, m = 152.2 g - Con los datos anteriores calcule el valor de la fuerza centrípeta. - Complete la tabla No. 1. y haga los cálculos del caso. - Coloque el collar en la graduación 5 y repita los pasos anteriores. - Varié N de 5 cm. 5 hasta llegar a la marca 20 de la escala y repita los pasos anteriores. - Retire el aparato del rotor y suspéndalo de un soporte con la masa cilíndrica hacia abajo. - En la parte inferior suspenda un porta- pesas y coloque pesas hasta que el extremo del indicador quede frente al índice I. - Anote el peso total, incluyendo el del porta-pesas y el cuerpo cilíndrico. - Determine el valor de la fuerza gravitatoria necesaria p a r a producir el alargamiento en cada posición de la graduación de la escala y compare cada uno de estos con la fuerza centrípeta encontrada anteriormente y explique. - Dibuje una gráfica de f2 vs. N, encuentre k’; haga el análisis del caso. - Dibuje una gráfica de W (peso) como ordenada y N cono abscisa. Encuentre k’ y analice- Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 2 Tabla. 1 Datos método dinámico N° Observaciones Graduación del collar Radio de giro (𝑐𝑚) Tiempo (𝑠) Lectura Tacómetro Frecuencia 𝑓 𝑟𝑒𝑣/𝑠 𝑓2 𝑟𝑒𝑣2/𝑠2 Inicial Final #Revoluciones 1 0 5,655 20 18474 18381 93 4,65 21.62 2 5 5,655 20 18381 18268 113 5,65 31.92 3 10 5,655 20 18268 18444 176 8,8 77.44 4 15 5,655 20 18444 18628 184 9,2 84.64 5 20 5,655 20 18628 18814 186 9,3 86.49 Tabla. 2 Datos método estático Nº de observaciones Graduación del collar Gravedad 𝑚/𝑠2 Masas (g) Cabezote Suspendidas 1 0 9,78 152,2 2051 2 5 9,78 152,2 2199,1 3 10 9,78 152,2 2338,12 4 15 9,78 152,2 2496,47 5 20 9,78 152,2 2634,5 Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 3 RESULTADOS Para hallar la fuerza centrípeta en el método dinámico, hacemos uso de la ecuación (5) con cada valor de N: - Para 𝑁= 0 Fc = 4π 2 ∗ 21.62(rev/s)2 ∗ 5.655cm ∗ 152.2g Fc = 4π 2 ∗ (18608.1 g cm s2⁄ ) Fc = 734619.9 dinas - Para 𝑁 = 5 Fc = 4π 2 ∗ 31.92(rev/s)2 ∗ 5.655cm ∗ 152.2g Fc = 4π 2 ∗ (27473.26 g cm s2⁄ ) Fc = 1084600.7 dinas - Para 𝑁 = 10 Fc = 4π 2 ∗ 77.44(rev/s)2 ∗ 5.655cm ∗ 152.2g Fc = 4π 2 ∗ (66651.9 g cm s2⁄ ) Fc = 2631312 dinas - Para 𝑁 = 15 Fc = 4π 2 ∗ 84.64(rev/s)2 ∗ 5.655cm ∗ 152.2g Fc = 4π 2 ∗ (72848.9 g cm s2⁄ ) Fc = 2875958.8 dinas - Para 𝑁 = 20 Fc = 4π 2 ∗ 86.49(rev/s)2 ∗ 5.655cm ∗ 152.2g Fc = 4π 2 ∗ (74441.2 g cm s2⁄ ) Fc = 2938819.4 dinas Por otro lado, graficamos 𝑓2 𝑣𝑠. 𝑁 Gráfica, 1 𝑓2 𝑣𝑠. 𝑁 Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 4 Dado que obtenemos un gráfico de dispersión, aplicaremos el método de mínimos cuadrados, para hallar la mejor ecuación de la recta que se aproxime a los datos ya obtenidos, así, en la Tabla 3. Tendremos los datos que utilizaremos para hacer uso de este método. De esta forma, también realizaremos un cambio de variable, para poder relacionar la ecuación (10) con la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Haciendo: y = f^2 m = C * k’ x = N b = C * F0 Tabla. 3 Datos mínimos cuadrados x Sustituye a N y Sustituye a f^2 x*y Sustituye a N * f^2 x^2 Sustituye a N^2 0 21.62 0 0 5 31.92 159.6 25 10 77.44 774.4 100 15 84.64 1269.6 225 20 86.49 1729.8 400 ∑= 50 ∑=302.11 ∑=3933.4 ∑=750 Usando la ecuación (12): 𝑚 = 3933.4 − 50∗302.11 5 750 − 50∗50 5 = 3933.4 − 3021.1 750 − 500 𝑚 = 912.3 250 = 3.6492 Usando la ecuación (13): 𝑏 = 302.11 5 − (3.6492) 50 5 𝑏 = 60.422 − 36.492 = 23.93 De lo anterior, tenemos que 𝑦 = 3.6492 𝑥 + 23.93 Donde la pendiente 𝑚 = 3.6492 Para hallar la constante de elasticidad del resorte, usaremos la ecuación (11), con la ecuación que nos resultó de hacer el cambio de variable (𝑚 = 𝐶 ∗ 𝑘’) y despejamos 𝑘’ 𝑘’ = 𝑚/𝐶 𝑘’ = 3.6492 1 4𝜋2𝑚𝑟 = 3.6492 1 4𝜋2(152.2)(5.655) 𝑘 = 123995.14 Por tanto, la constante de elasticidad del resorte es 𝑘 = 123995.14 Ahora, para lograr observar el cambio de la posición de la aguja, en el método estático, fue necesario aplicar una fuerza F que en este caso, hace las veces de W (peso), como sigue: - Para 𝑁 = 0 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2203.2 𝑔 ∗ 978 𝑐𝑚/s2 𝑤 = 2154729.6 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝐹 - Para 𝑁 = 5 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2351.3 𝑔 ∗ 978 𝑐𝑚/s2 Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 5 𝑤 = 2299571.4 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝐹 - Para 𝑁 = 10 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2490.32 𝑔 ∗ 978 𝑐𝑚/s2 𝑤 = 2435532.26 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝐹 - Para 𝑁 = 15 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2648.67 𝑔 ∗ 978 𝑐𝑚/s2 𝑤 = 2590399.26 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝐹 - Para 𝑁 = 20 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2786.7 𝑔 ∗ 978 𝑐𝑚/s2 𝑤 = 2725392.6 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝐹 ANÁLISIS DE RESULTADOS Una vez finalizada la práctica de Fuerza Centrípeta, logramos analizar la gran diferencia que se presenta en tanto a fuerzas respecto al método dinámico y al estático, ya que evidentemente, las fuerzas que fueron necesarias ejercer en el método estático para poder cambiar de posición la aguja a nivel del tornillo, son mayores que la fuerza centrípeta experimentada donde se intentaba levantar la misma aguja. CONCLUSIONES El objetivo de esta práctica fue determinar la fuerza centrípeta, cuando una partícula se mueve en una trayectoria circular su velocidad es vectorial y la partícula presenta dos aceleraciones, la centrípeta, que permite que está se mueve en trayectoria circular y no lineal, y la tangencial; la magnitud de esa velocidad va a permanecer constante pero la dirección va a estar cambiando. Además, también existe una fuerza llamada centrífuga, esta fuerza de cierta manera se puede decir que no es real, técnicamente no existe y no se toma mucho en cuenta porque esta fuerza centrífuga la siente únicamente la partícula desde el marco de referencia no inercial. Lo que le genera la sensación de salir expulsado. En la práctica de laboratorio trabajamos dos casos, el primero, el caso dinámico lo que quiere decir con el equipo de trabajo en movimiento, y el segundo caso, el estático, en el cual se encontró la fuerza que se requiere para poder levantar la punta de la aguja, hasta la cabeza de la aguja, con lo realizado anteriormente se compara el resultado dinámico y el estático. Finalmente, la práctica fue de mucho interés porque aprendimos sobre la fuerza centrípeta, que es una fuerza muy elemental que trabajan algunos electrodomésticos de nuestro hogar como lo es la lavadora. ANEXOS 1) ¿Cómo se afecta la fuerza centrípeta de un cuerpo en rotación? ¿Duplicando el radio, y manteniendo la velocidad lineal constante? Rta/ Sí, ya que, a mayor radio, menor será la fuerza centrípeta, debido a que son inversamente proporcionales. 2) ¿Qué fuerza centrípeta experimenta una persona en la rotación de la tierra en el ecuador? ¿Influye la latitud? Rta/ Teniendo en cuenta la respuesta del inciso anterior, y sabiendo que la tierra no es totalmente redonda, sino que es más ancha en el ecuador que en los polos, así que la fuerza centrípeta que experimenta una persona en el ecuador es menor que en los polos. 3) ¿Una curva circular de carretera está proyectada para vehículos moviéndose a 64,4km/h? - a) Si el radio de la curva es de 122m cuál es el Angulo adecuado del peraltado de la carretera? - b) si la curva no está peraltada cual es el mínimo coeficiente de rozamiento para Universidad del Cauca – Laboratorio de Fuerza Centrípeta . 6 evitar que los vehículos se deslicen a esa velocidad? Solución: 𝑉2 = 127 × 𝑟 × (𝜇𝑖 + 𝑃 100 ) FORMULA DEL PERALTADO V= velocidad r= radio 𝜇𝑖= coeficiente de rozamiento P = inclinación de la pendiente en porcentaje Entonces 64,4 = 127 × 122 × (0 + 𝑃 100 ) Despejando P (64,4)2 15494 × 100 = 𝑃 26,76 = 𝑃 Ángulo=15° BIBLIOGRAFÍA - Selective experiments in physics. Cenco. Chicago. - SEARS y SEMANSKY. Física. Madrid, Editorial Aguilar S.A.1970. - RESNICK y HALLIDAY. Física, Fondo Educativo Interamericano.1976 - Guía de laboratorio de Física. Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. - Guía de laboratorio de Física. Departamento de Física Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga. - VALERO, Michel. Física 1. Bogotá, Editorial Norma 1976.
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