Apunte Analisis Cuantitativo

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Asignatura: Análisis Cuantitativo 
 
CLASE 2 
 
En esta segunda clase trabajaremos acerca de las 
operaciones que podemos hacer con los conjuntos. 
1.1 OPERACIONES CON CONJUNTOS 
Comenzaremos determinando cuáles son las 
principales operaciones posibles y como identificarlas 
 
UNIÓN DE CONJUNTOS 
 
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a 
B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: 
 
A U B = {x|x ∈ A v x ∈ B} 
 
 
En forma gráfica, veremos las posibilidades que podemos encontrar según los elementos de los conjuntos 
dados: 
 
 
 
 
 
 
Cuando no tienen elementos 
comunes 
Cuando tienen algunos 
elementos comunes 
Cuando todos los elementos de 
un conjunto pertenecen a otro 
conjunto 
 
 
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Ejemplo: 
 
Dados los conjuntos: 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
B = {0, 2, 4} 
C = {5, 6, 8} 
 Efectuar y construir los diagramas respectivos: 
 
a) A U C b) B U C c) A U B 
 
a) A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 
 
 
 
 
 
 
 
b) B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8} 
 
 
 
 
 
 
 
c) A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
 
 
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INTERSECCIÓN DE CONJUNTO 
 
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A 
y B. Se denota por A ∩ B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: 
 
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} 
 
Se pueden observar tres posibilidades que estudiaremos mediante un diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados los conjuntos: 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
B = {3, 5, 7} 
C = {2, 4} 
Efectuar y construir los diagramas respectivos: 
 
a) A ∩ C b) B ∩ C c) A ∩ B 
 
 
 
Cuando tienen algunos 
elementos comunes 
 
Cuando no tienen 
elementos comunes 
 
Cuando todos los 
elementos de un conjunto 
pertenecen a otro 
conjunto 
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a) A ∩ C = {2, 4} 
 
 
 
b) B ∩ C = {∅} 
 
 
 
 
c) A ∩ B = {3, 5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
 
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de 
A pero que no pertenecen a B. 
La diferencia se denota por: A - B que se lee A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia 
de dos conjuntos también como: 
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A – B = {x|x ∈ A ∧ x ∉ B} 
 
Veremos, mediante un diagrama de Venn las posibilidades que encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Dados los conjuntos: 
A = {a, b, c, d, e} 
B = {a, e} 
C = {d, f, g} 
Efectuar y construir los diagramas respectivos: 
 
a) A - C b) B - C c) A - B 
 
a) A - C = {a, b, c, e} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) B - C = {a, e} 
 
 
 
 
 
 
 
c) A - B = {b, c, d} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO 
 
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto AC formado por todos 
los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. 
 Simbólicamente se expresa: 
 
AC = {x|x ∈ U ∧ x ∉ A}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 1: 
Sean 
U = {m, a, r, t, e} 
A = {t, e} 
Su complemento de A es AC = {m, a, r} 
 
 
En forma gráfica: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Sean: 
U = {letras de la palabra aritmética} 
B = {vocales de la palabra vida} 
Determinado por extensión tenemos 
U = {a, r, i, t, m, e, c} B = {i, a} 
Su complemento de B es BC = {r, t, m, e, c} 
 
 
 
En forma gráfica: 
 
 
 
Una vez que analizamos las operaciones con conjuntos, podemos observar como analizar el 
concepto de pares ordenados ya que nacen de conjuntos de números. Los cuales son los denominados 
“Conjuntos numéricos”. 
 
 
 
 
 
 
 
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PAR ORDENADO. PRODUCTO CARTESIANO. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. 
INTERVALOS EN R. 
 
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 
 
El conjunto de los números reales es el conjunto que se forma de la unión de los siguientes conjuntos: 
 
• El conjunto de números Naturales denotado porque se conoce como el conjunto de números que se 
usa para contar 
 
N = {1, 2, 3, ...} 
 
 El conjunto de números Cardinales que son los naturales más el cero. 
 
W = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
• El conjunto de números Enteros que son los cardinales más los negativos 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
• El conjunto de números Racionales denotado por el cociente entre dos enteros y definido por: 
 






= enterosnumerossonbab
b
a
Q ,0, 
 
• El conjunto de números Irracionales denotado y definido por 
 
Q' = {decimales infinitos no repetitivos} 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Representación en diagrama de Venn 
 
 
 
 
Observamos también que en base a esto podemos determinar intervalos en el conjunto de los 
reales, que dependerá de cómo definamos el conjunto, si esos intervalos son abiertos (sin tomar el valor 
determinado) o cerrados (tomando el valor determinado) o una combinación de ambos 
 
INTERVALOS EN IR 
 
a) Intervalo abierto de extremos a, b: 
 
(a, b) = {x|x ∈ IR ∧ a < x < b} 
Observemos que los extremos a, b no pertenecen a (a, b). 
 
 
 
 
 
Para representar gráficamente al intervalo (a, b) en la recta real se ha tenido en cuenta que sí a < b, 
entonces el punto a está a la izquierda del punto b. Si los extremos no pertenecen al intervalo entonces 
se representan en la recta con un circulo vacío (en blanco). 
 
b) Intervalo cerrado de extremos a, b: 
 
[a, b] = {x|x ∈ IR ∧ a ≤ x ≤ b} 
 
IR 
Q 
Z 
W 
 
Q´ 
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Observemos que en este caso los extremos pertenecen al intervalo. 
 
 
 
Si los extremos pertenecen al intervalo entonces se representan en la recta con un círculo lleno. 
 
 
c) Intervalos semiabiertos 
 
• Cerrado a izquierda y abierto a derecha: 
 
[a, b) = {x|x ∈ IR ∧ a ≤ x < b} 
 
 
 
• Abierto a izquierda y cerrado a derecha 
 
(a, b] = {x|x ∈ IR ∧ a < x ≤ b} 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) Intervalos Infinitos: 
 
Dado a ∈ 𝐼𝑅, llamamos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos: 
 
(𝑎, +∞) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∧ 𝑥 > 𝑎} 
 
 
 
[𝑎, +∞) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∧ 𝑥 ≥ 𝑎} 
 
 
 
 (−∞, 𝑎) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∧ 𝑥 < 𝑎} 
 
 
(−∞, 𝑎] = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∧ 𝑥 ≤ 𝑎} 
 
 
 
Definamos ahora qué entendemos por PRODUCTO CARTESIANO 
Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A 
y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: 
A 𝒙 B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B} 
 
 
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En particular, siendo IR el conjunto de los números reales, se tiene: 
IR 𝒙 IR = {(x, y)|x ∈ IR ∧ y ∈ IR} 
IR x IR es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de IR x IR es 
el plano cartesiano llamado también plano numérico. 
Ejemplo: 
Sean: 
A = {1, 2} 
B = {3, 4, 5} 
El producto cartesiano A x B será: 
A x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} 
El producto cartesiano B x A será: 
B x A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} 
 
 ¡¡¡Vean que no es lo mismo hacer el producto cartesiano A x B que hacer B x A. Cuidado!! 
 
Aproximación y redondeo de números naturales y decimales 
Redondear un número natural o decimal es llevarlo al número natural más cercano terminado en cero. 
Consiste en encontrar la decena, centena, unidad de mil, decena de mil, centena de mil, unidad de millón 
... más cercana a ese número. De igual manera, redondear un número es sustituirlo por el número más 
próximo a él en la recta numérica de acuerdo al orden que se seleccione, el cual puede ser de la parte 
entera o de la parte decimal. 
Ejemplo: 
Al redondear 47,2 metros obtenemos como resultado 50 metros, 
porque47,2 metros está más cerca de 50 metros que de 40 metros. 
 
Aproximar un número decimal es llevarlo a la décima, centésima, milésima u otra unidad más cercana. 
O sea, es aproximarlo a otro número en la recta numérica con menos decimales. 
 
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Ejemplo: 
Si tomamos el número 5,1876 y veamos su aproximación en la recta 
numérica hasta las décimas; en el redondeo queda 5,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Errores en la medición 
Cada vez que nosotros realizamos una medición, tenemos una gran probabilidad de cometer un error 
para obtener un resultado más o menos cercano del que realmente deberíamos obtener. 
Podemos distinguir dos tipos de error en los cálculos: 
El Error Absoluto, es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser 
positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (puede ser por exceso o por 
defecto). Por otro lado, la unidad del error es las mismas que las de la medida. 
 Longitud (metros) = 2.564 ± 0.01256 metros 
 Valor Error Unidad 
Si 𝑥 es el valor real de la medición y xi es el valor obtenido en la medición, entonces el error absoluto es: 
Ea = 𝐱 − xi 
Por ejemplo: Si la distancia exacta entre dos puntos es 4,56 metros (𝐱), y el valor tomado por nuestro 
instrumento de medición que solo toma un decimal es 4,5 metros (xi), por lo tanto, el error absoluto es 
0,06 metros (Ea). 
Por otro lado, tenemos al Error Relativo, que es el cociente (división) entre el error absoluto y el valor 
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Puede ser positivo o negativo, 
y no tiene unidades. 
Si es el valor real de la medición y xi es el valor obtenido en la medición, entonces el error absoluto es: 
 𝑬𝒓 =
𝐄𝐚
𝐱
 
Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el tanto por ciento (%) del error. 
𝑬𝒓 =
𝐄𝐚
𝐱
∗ 𝟏𝟎𝟎% 
Por ejemplo: Si la distancia exacta entre dos puntos es 4,56 metros (𝐱), y el error absoluto es 0,06 metros 
(Ea), entonces el error relativo multiplicado es 1,31 % (0,06 / 4,56 por 100).