tema4-Dinamica

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Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica 1
TEORÍA DE MECANISMOS
4.- DINÁMICA DE 
MECANISMOS
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica 2
Principio de superposición de fuerzas sobre 
mecanismos
En un eslabón de un mecanismo, en un instante t, hay equilibrio 
dinámico
Principio de superposición de fuerzas.
i
sol. total sol. parciales=∑
siendo i el número de 
fuerzas actuantes
{ }
{ }
{ }
1
2
k
1P F en P1
2P F en P2
kP F en Pk
F R ,M
F R ,M
F R ,M
⇒
⇒
⇒
i
k
P iP
i 1
k
F en PP
i 1
R R
M M
=
=
=
=
∑
∑
Reducción del 
sistema de 
fuerzas en P
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Equivalente dinámico/energético de un 
mecanismo de 1gdl
Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión 
de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdl
Sistema 
mecánico (1 gdl)
+
Sistema de 
fuerzas 
actuantes
F∑
Mecanismo 
manivela de 
salida (1 gdl)
+
Fuerza reducida
R
Sistemas equivalentes 
energéticamente: el 
trabajo instantáneo 
producido por la fuerza 
reducida en el punto de 
reducción P es el 
mismo que el 
producido por el 
sistema de fuerzas 
actuantes (externas)
R ≡ Fuerza reducida en A
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Equivalente dinámico/energético de un 
mecanismo de 1gdl
(1) Si un sistema mecánico no está en equilibrio, en un instante t, SI 
QUEREMOS CALCULAR LA FUERZA E QUE HABRÍA QUE PONER EN EL PUNTO A
DE UN ESLABÓN DADO PARA LOGRAR EL EQUILIBRIO, SE DEBE CUMPLIR (2):
Fuerza reducida en A
A LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
E
i
3
i P A
i 1
P v E v 0
=
⋅ + ⋅ =∑i
3
i P
i 1
P v 0
=
⋅ ≠∑
E
(1) (2)
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Equivalente dinámico/energético mecanismo de 
1gdl
E, EQUILIBRA LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN.
–E , EQUIVALE A LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN, EN EL SENTIDO DE PRODUCIR 
EL MISMO TRABAJO QUE ELLAS.
EN LA FIGURA DE LA IZQUIERDA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO 
POR TRES FUERZAS SIN EQUILIBRAR
EN LA FIGURA DE LA DERECHA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR 
LA FUERZA REDUCIDA, QUE SUSTITUYE A LAS FUERZAS.
Fuerza reducida en A
A LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
FR A=–E
X X
X
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Reducción en un punto A de una 
manivela (equilibrio)
Se considera que no hay rozamiento entre 
eslabones ya que si no habría una 
indeterminación en y por tanto en , 
debido a que fluctúa entre:
R E
min maxroz rozF ,F⎡ ⎤⎣ ⎦
R E= −
Fuerza reducida 
sobre el punto A 
del mecanismo
R Fuerza con la 
que se opone el 
mecanismo
E
Fuerza reducida Fuerza equilibrante
R
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La dinámica del mecanismo de 1 g.d.l.:
La dinámica del mecanismo es reproducida 
por el modelo dinámico reducido en A.
Estudio energético comparado del 
mecanismo y su reducción
Equivalente dinámico/energético de un 
mecanismo de 1gdl
i AP , i F ,A⎡ ⎤ ⎡ ⎤→⎣ ⎦ ⎣ ⎦
cinetica cinetica 1 2
Mecanismo eslabonesi
cinetica cinetica cinetica
Mecanismo manivelas bielasi k
E E i j k j k k
E E E
= = + = + +
= +
∑
∑ ∑
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1 2
i 1 k k 22 2
1 2 2
cinetica cinetica cinetica cinetica
Mecanismo manivelas bielas bielasi k k
traslacion tras rot
2 2 2 2
cinetica O i biela k biela G G k
Mecanismo i k k k
cinetica
Mecanismo
reduc
E E E E
1 1 1 1E I M V M V I
2 2 2 2
E
+
= + +
⎛ ⎞
= ω + + + ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
2
i K2
1 2 2
cinetica
Mecanismo2
A A reducida A A 2
Aido A
22 2
kG i
reducida A bielas O G
k ,k i kA A A
E
1 M V M M 2
2 V
VM M I I
V V V
= = =
ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω
= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
Dado un mecanismo, la masa reducida es independiente de la velocidad adquirida
G
reducida A
A
VM f
V
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Equivalente dinámico/energético de un 
mecanismo de 1gdl
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Equivalente dinámico/energético de un 
mecanismo de 1 gdl
Fuerza resistente 
reducida en A
Masa 
reducida en A Fuerza 
reducida en A
Fuerza motriz 
reducida en A
Par reducido en A
Balance de pares 
reducidos en A:
A AA m r
M M M= −
Balance de fuerzas 
reducidas en A:
A AA m r
F F F= −
AA eq
F F= −
Fuerza reducida 
en A
Fuerza 
equilibrante en A
Reducida de los 
esfuerzos 
motrices Reducida de los 
esfuerzos 
resistentes
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Análisis del mecanismo en el punto A de la 
manivela de salida
Am
F
Ar
F
AF
Fuerza reducida en A FUERZA MOTRIZ
FUERZA RESISTENTE
FUERZA REDUCIDA
Punto de 
reducción
m -> motriz
r -> resistente
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Reducción de fuerzas sobre mecanismos
Técnicas de obtención de las 
Fuerzas reducidas
Fuerzas equilibrantes
en un mecanismo
Método de las velocidades virtuales
Método de reducción de fuerzas
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Principio de los trabajos virtuales sólidos rígidos 
articulados sin rozamiento en equilibrio dinámico
Un movimiento virtual del mecanismo compatible 
con los enlaces, el trabajo virtual producido por las 
fuerzas activas es nulo.
i iP , Pδ
i iP P 0⋅δ =∑
ii P
P v 0⋅ =∑
i
i
P ,
Pδ
Fuerzas actuantes sobre los 
eslabones del mecanismo
Desplazamiento virtual en el 
punto de aplicación de cada 
fuerza
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PTV (aplicación a los n eslabones de un mecanismo, a las 
m fuerzas en cada eslabón)
d
dt
α
ω =
iP i
v CIR P= ω⋅ ⋅ τ
i iP d CIR Pδ = α ⋅ ⋅ τ
ii P
P v dtδ = ⋅
Luego,
i iP P 0⋅δ =∑
ii P
P v 0⋅ =∑
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Método de las velocidades virtuales
Aplicando el principio de los trabajos virtuales.
Mecanismo en 
equilibrio
Cada miembro
extF
R (reacciones apoyos)
+
∑
'
extF (elemento)
R ' (apoyos)
+
∑
En equilibrio
Consideramos un desplazamiento virtual
El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre el mecanismo en 
un instante dado t será nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son 
reacciones entre eslabones)
NOTA: el trabajo virtual de las reactivas es 
nulo. En las articulaciones se anulan 2 a 2. En 
los apoyos fijos el trabajo realizado es nulo
PTV
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Aplicación del PTV al cálculo de la fuerza reducida en A, 
ante las fuerzas motrices Pi
Datos:
1 1
2 2
3 3
P , v
P , v
P , v
Reducción en A
i
3
i P
i 1
P v 0
=
⋅ ≠∑
(1) Puesto que el sistema 
mecánico no está en 
equilibrio
1 2 3 A1 1 P 2 2 P 3 3 P R A
P v cos P v cos P v cos ( F v ) 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + − ⋅ =
Proyección sobre de 
iP
v
iP
(2) Si reduzco el sistema de fuerzas 
en A:1 2 3P ,P ,P ARF
(3) El sistema de fuerzas:
Si está en equilibrio
{ }A1 2 3 RP ,P ,P , F−
i j
3
i P j R
i 1 j
P v R v 0
=
⋅ + ⋅ =∑ ∑
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Caso particular
1 fuerza activa: 1P
1 1 2 2P v P v 0⋅ + ⋅ =
1 21 1 P 2 2 P
P v cos P v cos 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α =
1
2
1 P 2
2 P 1
P cos v
P cos v
⋅ α
= −
⋅ α
( )
( )
11 P 2
2 P2 1
proy P , v v
proy P , v v
= −
( )2P E Fuerza_equilibrante=
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Análisis gráfico. Fuerza reducida
Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión 
de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdl
Sistema 
mecánico (1 gdl)
+
Sistema de 
fuerzas 
actuantes
F∑
Mecanismo 
manivela de 
salida (1 gdl)
+Fuerza reducida
R
Sistemas equivalentes 
energéticamente: el 
trabajo instantáneo 
producido por la fuerza 
reducida en el punto de 
reducción P es el 
mismo que el 
producido por el 
sistema de fuerzas 
actuantes (externas)
R ≡ Fuerza reducida en A
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Reducción de fuerzas sobre mecanismos
Técnicas de obtención de las 
Fuerzas reducidas
Fuerzas equilibrantes
en un mecanismo
Método de las velocidades virtuales
Método de reducción de fuerzas
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Método de reducción en P (gráficamente)
NOTA: descomposición vectorial. 
Llevando una fuerza a P y las 
restantes componentes aplicarlas 
en:
Apoyos fijos
ó
Las direcciones que puedan ser 
absorbidas
las fuerzas que pasan 
por los puntos fijos no 
crean trabajo externo
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Reducción de una fuerza aplicada sobre A en el 
punto de reducción P
F1 Absorbida por el apoyo fijo O1
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Técnicas gráficas de reducción de fuerzas exteriores a un 
punto cualquiera
En una pieza donde actúan 
fuerzas exteriores aplicar la 
teoría de los vectores 
deslizantes
FPara pasar los vectores fuerza 
de una pieza a otra hay que utilizar los 
puntos comunes de las articulaciones.
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Hallar la fuerza reducida en A debido a F1
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Hallar la fuerza reducida en A debido a F1
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Ejemplo de reducción de la fuerza P 
en D al punto A
Secuencia:
D D D1) P Q R , Q= +
D C2) R R ,=
C N3) R R ,=
N N N4) R S T ,= +
N A5) T T ,=
A A A6) T F V ,= +
pasa por el punto fijo O6
transfiero R del eslabón 5 al e
N ∈ al eslabón 3. 
Punto de encuentro de RC con 
la dirección del eslabón 4
SN pasa por el 
punto fijo O4
A ∈ al eslabón 3. 
V pasa por el 
punto fijo O2
6 4 2D O O O A
P Q S V F= + + +Luego:
El trabajo mecánico de PD= El trabajo mecánico de FA
Trabajo mecánico = 0
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Ejemplo de reducción de la fuerza P 
en E al punto A
Secuencia: E M
1) P P ,=
6M M M M O
2) P R Q , Q Q= + =
4C M N C N N N N O
3) R R , R R , R S T , S S= = = + =
2A N A A A A O
4) T T , T V F , V V= = + =
M punto de intersección de P con la dirección del 
eslabón 6
Pasa por el punto fijo O6
O4 punto fijo 
O2 punto fijo
6 4 2E O O O A
P Q S V F= + + +
Luego:
El trabajo 
mecánico de PE
El trabajo
mecánico de 
FA
Trabajo mecánico = 0
=
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CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN MECANISMO:
Sistema de masas puntuales mi
equivalentes dinámicamente al eslabón (sólido rígido)
Dinámica eslabón: T GM , I
Sólido rígido
G
Sistema de i 
masas puntuales 
localizadas sobre 
el eslabón sin 
masaG’
m1
m2 mi
(1)
T T iM M m⎯⎯→ =∑
(2) 2
G G i iGI I m r⎯⎯→ = ⋅∑
( )(3) i iGG G ' G m r 0⎯⎯→ = ⋅ =∑
Condiciones de equivalencia
Caso (0): 1 T 1 1
2
G 1 1G 1G
1 1G
i 1, m (1) M m m 0
(2) I m r r 0
(3) m r 0
= → = ⇒ ≠
= ⋅ ⇒ ≠
⋅ = No se cumple
Luego, no podemos reducir un sólido rígido a 
una única masa.
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Sistema de masas puntuales mi equivalente 
dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (1): en el plano
1 2 T 1 2
2 2
G 1 1G 2 2G
1 1G 2 2G
i 2, m ,m (1) M m m
(2) I m r m r
(3) m r m r 0
= → = + ∗
= ⋅ + ⋅ ∗
⋅ + ⋅ =
Los dos puntos deben alinearse 
con el centro de masas
1 1G 2 2G(3) m r m r 0⋅ + ⋅ = ∗
G
m2
m2
m1
m1
G
MT
IG
G
Tres ecuaciones con 4 incógnitas: m1, m2, r1G, r2G, 
luego deberemos seleccionar un dato, para obtener los demás.
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Sistema de masas puntuales mi equivalente 
dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (2): en el plano
1 2 3 T 1 2 3
2 2 2
G 1 1G 2 2G 3 3G
1 1G 2 2G 3 3G
i 3, m ,m ,m (1) M m m m
(2) I m r m r m r
(3) m r m r m r 0
= → = + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ =
G
m2
m1
m3r1
r2
r3
G
1
1
Im
r
=
3 ecuaciones con 9 incógnitas
1 2 3
1x 1y
2x 2y
3x 3y
m , m , m
r , r
r , r
r , r
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Sistema de masas puntuales mi equivalente 
dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (3): en el plano
3 masas alineadas en el punto G
3 ecuaciones con 6 incógnitas
G
m1
m2
m3
Caso (4): en el plano
3 masas alineadas con el punto G. Y en el 
punto G disponemos de una de ellas
3 ecuaciones con 5 incógnitas
3 Gm m=
1 2 3
1G 2G 3G
m , m , m
r , r , r
1 2 G
1G 2G
m , m , m
r , r
1G 2Gr , rSi suponemos elegidos 
(datos), podemos obtener:
1 2 Gm , m , m
( )
( )
G
1
1G 1G 2G
G
2
2G 1G 2G
G
G T
1G 2G
Im
r r r
Im
r r r
Im M
r r
=
⋅ +
=
⋅ +
= −
⋅
G
T G
1G 2G
Isi M m 0
r r
⎛ ⎞
= ⇒ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA
b) alineadas T 1 2 3
i 1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 1 2 2 3 3 G
1) M m m m
2) r (G); m r m r m r 0
3) m r m r m r I
= + +
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
1 1m r⋅
2 2m r⋅3 3m r⋅
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Sistema de masas puntuales mi equivalente 
dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (5): en el plano
3 masas alineadas con el punto G, y en G disponemos la tercera
Si imponemos la condición:
3 Gm m=
T
1 2G
1G 2GG
T G
T1G 2G
2 1G
1G 2G
Mm r
r rIsi M m 0
Mr r m r
r r
⎧ = ⋅⎪ +⎪= ⇒ = ⎨⋅ ⎪ = ⋅
⎪ +⎩
G
m1
m2
mG=0
2
G T G
T T
1G 2G 1G 2G
I M rM M
r r r r
⋅
= ≡ =
⋅ ⋅
Radio de giro
2
G 1G 2Gr r r= ⋅
El sistema se ha simplificado y queda 
reducido a 2 masas posicionadas en
Que son conjugados respecto al punto G 
1G 2Gr , r
1 2m ,m dato⇒
NOTA: recordando el concepto de punto de percusión en un eslabón al 
articularse sobre un punto fijo, 2 será el centro de percusión, del eslabón 
considerado, suponiendo al eslabón girado alrededor de 1.
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Cálculo gráfico del punto E conjugado 
del A sobre el G
NOTA 1: hay ∞
parejas E, A puntos 
conjugados sobre G
NOTA 2: Normalmente 
A es una articulación
MT
IG
T
A
Mm GE
AE
= ⋅
Gm 0=
iG radio de 
giro del 
eslabón
T
E
Mm GA
AE
= ⋅
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Sistema dinámico equivalente.
Casos prácticos:
Sistema dinámico equivalente para:
Manivela, 
balancín:
Biela:
Centro de 
percusión
Em
Gm 0=
om No tiene 
efecto 
dinámico
Am
Gm 0=
Em
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Sistema dinámico equivalente.
Caso del cuadrilátero articulado
(a) Localización de los puntos 
dinámicamente interesantes. 
G, E
(b) Localización de los sistemas de 
masas equivalentes en cada eslabón 
{ARTICULACIÓNi,Ei}Centros 
de masa
Centros de 
percusión
4O 44
2O 22
m |O
m |O
I 0
I 0
=
=
2
4
O
O
a 0
a 0
=
=
4O4inercia (m )Par 0=
4O4inercia (m )F 0=
*
*
**
**
***
***
Al estar 
posicionadas en puntos 
fijos, no tiene efectos 
dinámicos
2 42O 4O
m y m
22O
m 44Om