GEOMETRÍA ANUAL UNI 2014 PARTE 7 [PDF DRIVE]

Vista previa del material en texto

1
Geometría
7
Preguntas Propuestas
. . .
2
Geometría
Pirámide
1. Indique de forma ordenada el valor de las si-
guientes proposiciones.
I. Toda pirámide presenta diagonales.
II. Si una pirámide regular presenta caras 
laterales equiláteras, entonces la cantidad 
de aristas es menor igual que 12.
III. Si 2 pirámides son equivalentes, entonces 
presentan volúmenes iguales.
A) VVV
B) VVF
C) FFV
D) VFF
E) FFF
2. En una pirámide cuadrangular regular O - ABCD, 
el pie de su altura dista de una cara 2, la altura 
y la arista básica tienen igual longitud, calcule 
el volumen de dicha pirámide.
A) 
40 5
3
 B) 
20 6
3
 C) 
40 5
7
D) 
20 6
5
 E) 
20 5
5
3. Se tiene una pirámide hexagonal regular 
V - ABCDEF, en el cual AB=6 cm, BV=12 cm. 
Calcule el volumen del sólido V - BCDE.
A) 150 cm3
B) 312 cm3
C) 142 cm3
D) 162 cm3
E) 200 cm3
4. Se tiene la pirámide V - ABCD, en donde ABCD 
es un cuadrado y la cara VAB es perpendicular 
a la base, además el diedro entre la base y la 
cara VDC mide 37º y DC=8. Calcule el volumen 
de la pirámide V - ABCD.
A) 120 B) 60 C) 64
D) 32 E) 128
5. Se tiene una pirámide V - ABC, M es punto 
medio de AB, además las regiones ABC, ABV 
y VMC son equiláteras, AB=6, calcule el volu-
men de dicha pirámide.
A) 3 3 B) 4 3 C) 
3 3
2
D) 
9 3
2
 E) 
9 3
4
6. En un tetraedro regular ABCD, cuyo volumen 
es V, M y N son puntos medios de AB y CD. 
Calcule el volumen del sólido AMCN.
A) 
V
2
 B) 
V
3
 C) 
V
4
D) 
V
5
 E) 
V
6
7. En un prisma cuadrangular regular ABCD - MNPQ, 
se prolonga AC hasta E, tal que AC=CE, ME=30 
y la mMED=37º. Calcule el volumen del só-
lido E-MAD.
A) 
320 65
3
 B) 
400 65
3
 C) 360 65
D) 160 65
3
 E) 90 65
8. Se ubica P en la altura VH de una pirámide 
triangular regular V - ABC. Calcule la razón de 
volúmenes del solido, determinado por H y los 
puntos de intersección de AP, BP, CP con CVB, 
AVC, AVB, respectivamente, con la pirámide 
V - ABC.
 Si 
V
V
P ABC
V ABC
−
−
= 1
4
A) 
1
9 B) 
1
26 C) 
1
27
D) 
2
27 E) 
2
9
. . .
3
Geometría
Tronco de pirámide
9. De las siguientes proposiciones dé el valor de 
verdad sobre un tronco de pirámide.
 I. Es aquel que resulta de trazar un plano 
que interseca a las aristas laterales de una 
pirámide.
 II. Es el sólido determinado por dos regiones 
rectangulares, contenidas en planos parale-
los pero son de diferente tamaño.
 III. El número total de aristas puede ser un 
número primo.
 A) VFF B) FVF C) FFV
 D) FVV E) FFF
10. En un tronco de pirámide cuadrangular regular 
ABCD - EFGH, las áreas de las bases son 4 y
16 cm2. Al proyectar ABCD sobre la base mayor 
se determina A’B’C’D’. Si ABCD - A’B’C ‘D’ es un 
cubo, calcule el área de la superficie lateral del 
tronco de pirámide.
 A) 12 B) 24 C) 12 2
 D) 12 3 E) 12 5
11. En un tronco de pirámide cuadrangular regu-
lar, los radios de las circunferencias inscritas 
en las caras del tronco son 4; 6 y 9. Calcule el 
área de la superficie total del tronco.
 A) 1000 B) 1012 C) 1024
 D) 1120 E) 1022
12. En un tronco de pirámide hexagonal regular, 
las aristas básicas mide 4 y 6 y su volumen es 
igual a 152, calcule la longitud del apotema de 
dicha pirámide.
A) 13 B) 26 C) 39
D) 2 13 E) 3 13
13. En un octaedro regular M - ABCD - N; P, Q y R 
son puntos medios de MC, MD y CD respecti-
vamente, además AB=4. Calcule el área de la 
superficie lateral del sólido ABN - QPR.
A) 3 11 B) 2 13 C) 2 10
D) 9 11 E) 6 13
14. En un tronco de pirámide cuadrangular regu-
lar, las áreas de sus bases son S y 4S. Si el área 
de su superficie lateral es 6S, calcule la me-
dida del ángulo diedro formado por una cara 
lateral y su base.
 A) 45º B) 36º C) 60º
 D) 53º E) 37º
15. En un tronco de pirámide MNL - ABC, el ángulo 
triedro en A es equilátero y el baricentro de 
la región equilátera ABC es la proyección 
ortogonal de M sobre dicha región. Si el área 
de la región AMNB es 12 3 y BC=6, calcule el 
volumen de dicho tronco.
A) 26 B) 26 2 C) 17
D) 30 E) 15 2
16. En el gráfico, la región sombreada es el desa-
rrollo de la superficie lateral de un tronco de 
pirámide regular. Si PQ=2 13, calcule el volu-
men de dicho sólido.
 
Q
P
3r r
A) 
200 3
3
 B) 
52 2
3
 C) 
206
3
D) 
208 6
9
 E) 
206 3
7
. . .
4
Geometría
Cono y tronco de cono
17. En el gráfico, ABCD es un tetraedro regular 
y P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=6 
y BM=MO, calcule el volumen del cono de 
vértice M.
 
A
B
C
D
T Q
OO
PP
MM
 A) 6 2π B) 2 3π C) 2 6π
 D) 6π E) 3 3π
18. Del gráfico, A, B y T son puntos de tangencia, 
además las regiones mostradas son el desarro-
llo de la superficie lateral y la base de un cono 
de revolución. Si r=1, calcule AO.
 
r
O
B
A
T
A) 2 B) 3 C) 2
D) 2 2 E) 5
19. Se tiene un hexaedro regular ABCD - EFGH. Si 
AB = 6 3, calcule el volumen del cono cuyo 
vértice es G y su base circular está inscrita en 
el triángulo EBD.
 A) 48 p B) 60 p C) 64 p
 D) 72 p E) 76 p
20. En el gráfico, se tiene un cono de revolución. Si 
VA = 4 2 y el menor recorrido para ir del punto 
B a través de la superficie lateral hasta llegar 
al mismo punto tiene por longitud 8, calcule el 
volumen del cono.
 
AB
M
V
 A) 
4
3
5π B) 2
3
10π C) 2
3
30π
 D) 
5
3
6π E) 7
3
2π
21. En el gráfico, se tiene un tronco de cono de 
revolución. Si R=2r y MN=2(NA)=4, calcule el 
área de la superficie lateral del tronco de cono.
 
A B
rrM
N
RR
A) 18 6π
B) 20 6π
C) 21 6π
D) 22 6π
E) 24 6π
. . .
5
Geometría
22. En un tronco de cono de revolución de radios 
2 y 4, la suma de las áreas de las bases es igual 
al área de la superficie lateral. Calcule la altura 
del sólido.
A) 2/3
B) 4/3
C) 8/3
D) 16/3
E) 5
23. Del gráfico, se muestran un tronco de cono 
de revolución y una pirámide regular, además 
R=2 r. Calcule la razón de volúmenes de 
dichos sólidos.
 
RR
rr
A) 2 3
9
π B) 4 3
9
π C) 5 3
9
π
D) 
7 3
9
π
 E) 3
9
π
24. Se tiene un tronco de cono de revolución, don-
de la generatriz cuya longitud es g determina 
con una de las bases un ángulo cuya medida 
es 60º. Si la generatriz y el diámetro de una de 
las bases tienen igual longitud, calcule el área 
de la superficie lateral del tronco.
 A) 1
2
2g π B) 3
4
2g π C) g2p
 D) 5
4
2g π E) 3
2
2g π
Superficie esférica
25. Indique verdadero (V) o falso (F), según donde 
corresponda.
 I. La intersección de un plano y una superficie 
esférica siempre es un conjunto convexo.
 II. Un tetraedro siempre es inscriptible a una 
superficie esférica.
 III. La intersección de una recta secante y la 
superficie esférica es un segmento de recta.
A) VFV B) FVV C) FVF
D) VFV E) VFF
26. Del gráfico, calcule el área de la superficie 
generada por el segmento AB al girar 360º 
alrededor de la recta L .
 
5
3
1
L
A
B
 A) 120
29
π B) 60
29
π
 C) 80
29
π
 D) 
100
29
π
 E) 
90
29
π
27. Calcule el área de la superficie esférica inscrita 
en un cubo de superficie igual igual a S.
A) πS
2
B) πS
3
C) πS
4
D) πS
6
E) πS
9
. . .
6
Geometría
28. Del gráfico, M, N y T son puntos de tangencia, 
R=3 r. Calcule la razón de áreas de superficies 
generadas por EM y NH al girar 360º con res-
pecto de EH
���
.
 
TE
R
Hr
N
M
A) 3
B) 6
C) 9
D) 18
E) 27
29. Se tiene una esfera que es tangente a las 
aristas de un hexaedro regular, de modo que 
el área de su superficie es A. Calcule el área de 
la superficie esférica.
A) π A
2
 B) π A
3
 C) 
π A
4
D) 
π A
5
 E) 
π A
7
30. En el gráfico, se muestra una semiesfera. Si la 
distancia entre AB
���
 y CD
���
 es 1 y la mAC = 30º, 
calcule el área de la superficie de dicha se-
miesfera.
 
A B
C
D
 A) 15 p B) 10 p C) 8 p
 D) 9 p E) 16 p
31. Se trazan 2 planos secantes y paralelos a una 
superficie esférica, determinando 2 líneas 
cuyas longitudes son 6p y 8p. Si el radio de 
dicha superficie esférica es 5, calcule el áreade la zona esférica determinada por dichos 
planos. (Considere el centro de la superficie 
esférica entre dichos planos)
A) 20 p	 B) 33 p C) 70 p
D) 105 p E) 140 p
32. En una superficie esférica de radio 6, se traza 
un plano secante que determina una curva 
cerrada cuyo diámetro es igual a la longitud 
de la arista del tetraedro inscrito en dicha 
superficie. Calcule la distancia del centro de la 
superficie esférica al plano secante.
 A) 3 B) 4 C) 2 3
 D) 4 3 E) 3 2
Claves
01 - C 
02 - A 
03 - D 
04 - E 
05 - B 
06 - C 
07 - D 
08 - C
09 - E 
10 - E 
11 - B 
12 - C 
13 - D 
14 - C 
15 - B 
16 - B
17 - D 
18 - E 
19 - D 
20 - C 
21 - A 
22 - C 
23 - D 
24 - E
25 - C 
26 - D 
27 - D 
28 - E 
29 - B 
30 - A
31 - C 
32 - C