S04 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
MEDIDAS DE POSICIÓN
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Al finalizar la sesión de clase el estudiante calcula e interpreta las medidas de posición para
datos no agrupados y agrupados.
Medidas de posición
Las medidas de posición son los valores que determinan la posición de un dato respecto a todos
los demás datos previamente ordenados. También se les conoce con el nombre de cuantiles. Entre
los cuantiles a estudiar tenemos:
Los cuartiles: Son aquellos valores que dividen a la muestra en 4 partes iguales.
Los deciles: Son aquellos valores que dividen a la muestra en 10 partes iguales.
Los percentiles: Son aquellos valores que dividen a la muestra en 100 partes iguales.
1. Cuantiles para datos no agrupados
Pasos para calcular el percentil Pi
Ordene los datos de menor a mayor.
Encuentre la posición del Pi:
k =
i(n + 1)
100
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• Si k es un número entero, el percentil Pi es el valor en la posición k.
• Si k no es un número entero, el percentil Pi se calcula con la siguiente formula.
Pi = Le + partedecimal(Ld − Li)
donde:
Le : Parte entera del dato ubicado en la posición k (parte entera)
Li : Dato ubicado en la posición k
Ld : Dato inmediato superior a Li
Para el calculo de los deciles y cuartiles se puede encontrar el valor de los percentiles equivalentes.
Ejemplo 1: En el área de contabilidad se registró un reporte de los sueldos mensuales en soles
de un grupo de colaboradores de una empresa como sigue :
3310 3550 3650 3730 3925 3490 3520 3540 3450 3480
a) Calcule e interprete el percentil 70.
b) Calcule e interprete el primer cuartil.
c) Calcule el decil 7.
d) ¿Cuál es el sueldo mensual mı́nimo que el 75 % de los colaboradores ganan?
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2. Cuantiles para datos agrupados
2.1. Cuartiles
1. Se calcula la posición del cuartil Qi mediante
in
4
.
2. Observando las frecuencias acumuladas Fi se encuentra el intervalo que contiene al cuartil.
3. Se aplica la siguiente fórmula:
Qi = Li +
( in
4
− Fi−1
fi
)
C
Donde:
Li: Limite inferior del intervalo que contiene al cuartil.
C: Amplitud del intervalo que contiene al cuartil.
Fi−1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo que
contiene al cuartil.
fi: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene al cuartil.
2.2. Deciles
1. Se calcula la posición del decil Di mediante
in
10
.
2. Observando las frecuencias acumuladas Fi se encuentra el intervalo que contiene al decil.
3. Se aplica la siguiente fórmula:
Di = Li +
( in
10
− Fi−1
fi
)
C
donde:
Li: Limite inferior del intervalo que contiene al decil.
C: Amplitud del intervalo que contiene al decil.
Fi−1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo que
contiene al decil.
fi: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene al decil.
2.3. Percentiles
1. Se calcula la posición del percentil Pi por
in
100
.
2. Por medio de las frecuencias acumuladas Fi se encuentra el intervalo que contiene al percentil.
3. Se aplica la siguiente fórmula:
Pi = Li +
( in
100
− Fi−1
fi
)
C
donde:
Li: Limite inferior del intervalo que contiene al percentil.
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C: Amplitud del intervalo que contiene al percentil.
Fi−1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo que
contiene al percentil.
fi: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene al percentil.
Ejemplo 2: Se ha registrado, en el siguiente cuadro, los pagos adicionales en soles por concepto
de horas extras durante una semana de todos los trabajadores de una empresa constructora.
Monto fi
[50, 70[ 30
[70, 90[ 50
[90, 110[ 65
[110, 130[ 30
[130, 150[ 25
Total
a) Calcule e interprete el tercer cuartil.
b) ¿A partir de que monto el 50 % de los trabajadores obtienen mayor pago?
c) ¿Cuál es el monto máximo que obtienen el 55 % de los trabajadores de la empresa construc-
tora?
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Suponga que se quiere evaluar en una zona lejana el número de insectos encontrados en 20
parcelas en un cultivo de máız. Los resultados fueron los siguientes:
1 2 3 5 6 7 9 9 12 18
1 3 5 5 6 7 9 11 12 18
a) ¿A partir de que número de insectos se encuentra el 18 % de las parcelas con mayor
número de insectos?
b) ¿A partir de que número de insectos se encuentra el 22 % de las parcelas con mayor
número de insectos?
2. El consumo mensual de agua (en metros cúbicos) de una muestra de 225 viviendas se muestran
en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Consumo (m3) N◦ viviendas
[35, 39] 30
[39, 43[ 40
[43, 47[ 70
[47, 51[ 55
[51, 55[ 30
a) Calcule e interprete el primer cuartil.
b) ¿Cuántos metros cúbicos como mı́nimo consumen el 60 % de las viviendas con mayor
consumo?
c) ¿Cuántos metros cúbicos como máximo consumen el 35 % de las viviendas con menor
consumo?
3. En el siguiente histograma:
a) ¿Cual es el sueldo mı́nimo que el 75 % de los empleados tiene?
b) ¿Cual es el sueldo máximo que el 40 % de los empleados tiene?
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4. Una empresa de transportes de Lima Metropolitana conocido como la ĺınea 40 que reciente-
mente brinda servicio en altas horas de la noche de (11 pm a 3 am) desea medir la satisfacción
de sus pasajeras a dicha hora, por ello encuesta a una muestra de 31 usuarios y se les pre-
gunta sobre el tiempo que esperan en paradero hasta que llegue un autobús de la ĺınea 40.
Los resultados se muestran a continuación.
Tiempo [0,10[ [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[
fi 3 6 7 12 3
a) Calcule e intreprete el percentil 28.
b) ¿A partir de que minuto se encuentra el 25 % de los usuarios con mayores tiempos de
espera a los buses de la ĺınea 40?
TAREA DOMICILIARIA
1. Las notas que obtuvieron en un examen 20 alumnos son:
13; 14; 19; 12; 9; 8; 11; 12; 18; 10; 11; 12; 17; 7; 12, 14; 13; 12; 9; 10
¿Cuánto es la nota mı́nima para estar en el quinto superior?
2. En la siguiente tabla se presenta la distribución de salarios en miles de soles de 50 trabajadores
de una Universidad del mes de abril del presente año.
Salario N◦ de trabajadores
[2, 4] 8
[4, 6[ 18
[6, 8[ 12
[8, 10[ 7
[10, 12[ 5
Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que
sueldo se paga el impuesto?
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