S08 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Logro de sesión
Al finalizar la sesión de clase el estudiante conoce la distribución Normal; además aplica la
distribución en la solución de problemas.
Distribución Normal
La distribución Normal también llamada campana de Gauss por su forma acampanada es la
distribución más importante en la estad́ıstica, ya que la mayoŕıa de las variables naturales (peso,
talla, edad, etc) se ajustan a una distribución Normal.
Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con media µ y varianza σ2 si su
función de densidad es:
f(x) =
1√
2πσ
e−
1
2
(x−µ
σ
)2 , x ∈ R
Se denota por X ∼ N(µ, σ2)
Propiedades
1. La distribución Normal es simétrica respecto de la media.
2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la
mediana y la moda.
3. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas
bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1.
4. La distribución Normal es asintótica; es decir, la curva se aproxima más y más al eje X, sin
tocarlo en realidad.
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Estandarización de la Normal
Si X ∼ N(µ, σ2) entonces: Z = x−µ
σ
∼ N(0, 1)
Ejemplo 1: Si Z ∼ N(0, 1)
a) P (Z ≤ 1,24)
b) P (Z > 0,85)
c) P (−0,25 ≤ Z ≤ 0,8)
Ejemplo 2: Si X ∼ N(7, 16)
a) P (X < 9)
b) P (4 ≤ X < 8)
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c) P (X > 12)
Ejemplo 3: Suponga que el costo de producción de una calculadora tiene distribución normal con
una media de 40 soles y una desviación estándar de 3 soles. Si se elige una calculadora al azar:
a) Calcular la probabilidad de que el costo de producción sea más de 42 soles.
b) Calcular la probabilidad de que que su costo de producción sea a lo mucho 36 soles.
Ejemplo 4: La estatura de los estudiantes de la UTP sigue una distribución Normal de media 160
cm. y desviación estándar 5 cm. Si se elige un estudiante al azar:
a) Calcular la probabilidad de que el estudiante mida al menos 168 cm.
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b) Calcular la probabilidad de que el estudiante mida más de 150 cm, pero menos de 162 cm.
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Un estudio de llamadas telefónicas de larga distancia realizado en las oficinas centrales de
Pepsi Botting Group en Nueva York, demostró que las llamadas, en minutos, se rigen por
una distribución de probabilidad normal. El lapso medio de tiempo por llamada fue de 4.2
minutos, con una desviación estándar de 0.60 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 4.2 y 5 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure más de 5 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure a lo más 6 minutos?
2. Suponga que las puntuaciones obtenidas en el examen de admisión a una universidad están
distribuidas en forma normal con una media de 450 y una desviación estándar de 100.
a) ¿Qué porcentaje de las personas que hacen el examen tendrán una puntuación entre
400 y 500?
b) Si la universidad no admite estudiantes que obtengan una puntuación menor a 480,
¿qué porcentaje de los estudiantes que hacen el examen podrá ser aceptado?
3. Una máquina que expende bebidas gaseosas está calibrada de modo que descargue un prome-
dio de 150 mililitros por vaso. Si la cantidad de ĺıquido está distribuida normalmente con
una desviación estándar igual a 12 ml.
a) ¿Qué porcentaje de vasos contendrán más de 180 ml?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 140 y 170 ml?
TAREA DOMICILIARIA
1. La calificación de los alumnos que realizaron un examen final de Estad́ıstica Descriptiva tiene
distribución normal con media 10 y desviación estándar 3. ¿Si la nota mı́nima para aprobar
es 12 que porcentaje de alumnos aprobaron el examen?
2. Se observó que la cantidad semanal de dinero gastado por una compañ́ıa, durante largo
tiempo en mantenimiento y reparaciones, está normalmente distribuida en forma aproximada
con media de $400 y desviación estándar de $20. Si están presupuestados $450 para la próxima
semana, ¿cuál es la probabilidad de que los costos reales rebasen la cantidad presupuestada?
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