S11 s2 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
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Al finalizar la sesión el estudiante calcula e interpreta intervalos de confianza para la proporción
poblacional; además aplica los intervalos en la solución de problemas.
Intervalo de confianza para p
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población Bernoulli
Ber(p), donde p es el porcentaje de éxitos en la población.
El estimador puntual del parámetro p es la proporción muestral p. Entonces, el intervalo de confi-
anza para p es:
IC(p, 1− α) =
[
p− Z1−α
2
√
p(1− p)
n
; p+ Z1−α
2
√
p(1− p)
n
]
Tamaño de la muestra
Se puede determinar que tan grande debe ser el tamaño de muestra n, de manera que si p se
estima por p, el error de estimación no sea mayor que un valor e y se tiene una confianza de 1−α.
Entonces, el valor de n se obtiene de:
Z1−α
2
σ̂p ≤ e
Por tanto, el tamaño mı́nimo de la muestra será:
Z1−α
2
√
p(1− p)
n
= e⇒ n =
(
Z1−α
2
√
p(1− p)
e
)2
Si se desconoce, p, se puede utilizar el valor de 0.5.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Un investigador está interesado en saber cuál es el porcentaje de personas que están de
acuerdo con un nuevo impuesto en una determinada ciudad. Para el estudio, el investigador
seleccionó una muestra de 200 personas y encontró que 62 de ellos están de acuerdo con el
nuevo impuesto.
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a) Construya e interprete un intervalo de confianza del 97 % para el porcentaje de personas
que están de acuerdo con el nuevo impuesto en la ciudad.
b) Con base en el resultado del ı́tem a), ¿se puede concluir que el porcentaje de todas
personas que están a favor del nuevo impuesto es de 28 %?
2. La oficina de planificación familiar de cierta provincia quiere estimar el porcentaje de familias
con más de 4 hijos.
a) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para asegurar con una confianza del 95 % de que
el error de estimación del tal porcentaje sea a 0.05?
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b) Si en una muestra aleatoria de 385 familias se encuentra que 154 de ellas tienen más
de 4 hijos, estime el porcentaje de familias con más de 4 hijos en toda la provincia,
mediante un intervalo de confianza del 98 %.
EJERCICIOS ADICIONALES
1. El dueño de la empresa Home Loan Company investigó aleatoriamente 150 de cuentas de la
compañ́ıa y determinó que el 60 % están en una posición excelente. Encuentre un intervalo
de confianza del 95 % para la proporción de cuentas que están en posición excelente.
2. Se recibe un lote muy grande de art́ıculos provenientes de un fabricante que asegura que el
porcentaje de art́ıculos defectuosos en la producción es del 2 %. Al seleccionar una muestra
aleatoria de 200 art́ıculos y después de inspeccionarlos, se descubre que son 8 defectuosos.
a) Obtener un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera proporción de art́ıculos
defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante.
b) Con base a los resultados obtenidos en el ı́tem anterior, ¿qué se puede concluir con
respecto a la afirmación del fabricante?.
3. Al preparar un informe sobre la economı́a, debemos estimar el porcentaje de empresas que
planean contratar empleados adicionales en los próximos 60 d́ıas.
a) ¿Con cuántas empresas seleccionadas al azar debemos contactar para crear un pre-
supuesto, en el que tenemos 98 % de confianza con un error de estimación del 5 %?
b) Si se toma una muestra de 200 empresas y resulta que 120 están de acuerdo en contratar
empleados adicionales en los próximos 60 d́ıas. Construya e interprete un intervalo para
el porcentaje que se desea estimar a un nivel de confianza del 95 %.
4. Una empresa de cable desea conocer qué porcentaje de sus clientes se informan de las noticias
a través de los noticieros que difunden. Para ellos se seleccionó una muestra de 200 clientes, de
los cuales 110 respondieron que se informan a través de los noticieros televisivos. Construya
e interprete un intervalo de confianza del 97 % para el porcentaje de todos los clientes que se
informan de las noticias a través de los noticieros televisivos.
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5. Un analista de investigación de mercados de una empresa desea estimar el porcentaje de
consumidores de su nuevo producto. ¿Qué tamaño de muestra se debeŕıa escoger si se quiere
tener una confianza del 98 % y un error de estimación del 2 %?
TAREA DOMICILARIA
1. Una compañ́ıa de seguros verifica los registros policiales de 582 accidentes seleccionados al
azar y observa que los adolescentes estaban al volante en 91 de ellos. Construya e interprete
un intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de todos los accidentes automoviĺısticos
que involucren a conductores adolescentes.
2. La encargada de publicidad para el nuevo postre garapiñado de lima-limón de los productos
de una empresa está intranquila por la poca acogida del postre en el mercado y por su
futuro en la empresa. Preocupada porque su estrategia de comercialización no ha producido
una identificación apropiada de las caracteŕısticas del producto, tomó una muestra de 1500
consumidores y encontró que 956 de éstos pensaban que el producto era una cera para pulir
pisos. Construya e interprete un intervalo de confianza del 96 % para la proporción verdadera
de la población.
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