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Soluciones con el paquete Mathematica
• CLARAMARTHA ADALID DÍEZ DE U. • EDITH ARIZA GÓMEZ • VÍCTOR
A. BREÑA VALLE • JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA • ANDRÉS MORALES
ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ • VICENTE RAMÍREZ
• ARACELI RENDÓN TREJO • JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO • ANGÉLICA
ROSAS HUERTA • JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO • IRENE
SÁNCHEZ GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL
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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades
COLECCIÓN
LA LLAVE
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
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ÁLGEBRA BÁSICA
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
Rector general, doctor Luis Mier y Terán Casanueva
Secretario general, doctor Ricardo Solís Rosales
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-XOCHIMILCO
Rectora, doctora Patricia Elena Aceves Pastrana
Secretario, doctor Ernesto Soto Reyes Garmendia
DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES
Director, licenciado Gerardo Zamora Fernández de Lara
Secretario académico, maestro Roberto Martín Constantino Toto
Jefe de la Sección de Publicaciones, licenciado Miguel Ángel Hinojosa Carranza
COMITÉ EDITORIAL
Presidente, Carlos Alfonso Hernández Gómez
Marta G. Rivas Zivy / Martha Griselda Martínez Vázquez / Myriam Cardozo Brum
Enrique Cerón Ferrer / Teseo Rafael López Vargas / Rogelio Martínez Flores
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Álgebra básica
Soluciones con el paquete Mathematica
CLARAMARTHA ADALID DIEZ DE U. Y EDITH ARIZA GÓMEZ
• VÍCTOR A. BREÑA VALLE Y JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA
r ANDRÉS MORALES ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ
T VICENTE RAMÍREZ T ARACELI RENDÓN TREJO
T JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO T ANGÉLICA ROSAS HUERTA
T JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO T IRENE SÁNCHEZ
GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL
j ^ \ \ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
casa abierta ai tiempo UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades
2001
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Cuidado de la edición: Dora Luz Juárez Cerdi, Renata Soto-Elízaga y los autores
Diseño de la portada: Mónica Cortés Genis
Composición y formación: Irma Leticia Valera Jaso
Elaboración de gráficas y cuadros: Laura Mier
Producción editorial: Centro Editorial Versal, s.c.
Primera edición, diciembre de 2001
D.R.© 2001 Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Xochimilco
Calzada del Hueso 1100
Colonia Villa Quietud, Coyoacán
0496o México, D.F.
ISBN de la colección: 970-654-452-6
ISBN: 970-654-902-1
Impreso y hecho en México / Printed and made in México
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ÍNDICE
PRESENTACIÓN 15
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 17
Objetivos 19
Estructura del capítulo 19
Introducción 19
1.1. Conceptos básicos de conjuntos 20
1.1.1. Definición de conjunto 20
1.1.2. Notación 20
Ejemplos de 1.1.2 21
1.1.3. Conjuntos especiales 21
Ejemplos de 1.1.3 22
1.2. Relaciones entre conjuntos 22
1.2.1. Igualdad y contención 22
Ejemplos de 1.2.1 22
1.2.2. Subconjuntos de un conjunto 23
Ejercicios de 1.2.2 23
1.3 Operaciones entre conjuntos 24
1.3.1. Complementación 25
Ejemplos de 1.3.1 25
1.3.2. Intersección 25
1.3.3. Unión 26
1.3.4. Diferencia de conjuntos 26
Ejemplos de 1.3 26
1.4. Diagramas de Venn 28
1.4.1. Regiones en los diagramas 30
1.5. Aplicaciones 31
1.5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos 31
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8 Álgebra básica
Ejemplos de 1.5.1 32
Ejercicios de 1.5.1 39
1.6. El paquete Mathematica 41
1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos 42
1.6.2. Mathematica y teoría de conjuntos 46
Solución a los ejercicios propuestos 52
Bibliografía 53
CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 55
Objetivos 57
Estructura del capítulo 57
Introducción 57
2.1. Números enteros y fraccionarios 58
2.1.1. Los números negativos 60
Ejercicios de 2.1.1 62
2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones 63
Ejercicios de 2.1.2 66
2.2. Números reales 67
2.2.1. Números irracionales 67
Ejercicios de 2.2.1 70
2.3. Leyes y propiedades 73
2.3.1. Axiomas relativos a los números 73
Ejercicios de 2.3.1 77
2.3.2. Propiedades de igualdad 79
2.3.3. Postulados de orden 80
2.3.4. Postulado de tricotomía 80
Ejercicios de 2.3 83
2.4. Valor absoluto 84
Ejemplos de 2.4 85
Ejercicios de 2.4 86
2.5. Aplicaciones 87
2.6. El paquete Mathematica y los sistemas numéricos 89
Solución a los ejercicios propuestos 98
Bibliografía 101
Capítulo 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 103
Objetivos 105
Estructura del capítulo 105
Introducción 105
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índice
3.1. Potenciación
3.1.1. Potencia de un monomio
Ejemplos de 3.1.1
3.2. Exponentes enteros
3.2.1. Producto de potencias de igual base
Ejemplos de 3.2.1
3.2.2. Elevar una potencia a otra potencia
Ejemplos de 3.2.2
3.2.3. Producto elevado a una potencia n
Ejemplos de 3.2.3
3.2.4. Elevar un cociente a una potencia n
Ejemplos de 3.2.4
3.2.5. Cociente de dos potencias de igual base y exponente diferente
Ejemplos de 3.2.5
3.3. Exponente cero y negativo
3.3.1. Exponente cero
Ejemplos de 3.3.1
3.3.2. Exponente negativo
Ejemplos de 3.3.2
Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3
3.4. Radicales
3.4.1. Exponente fraccionario
Ejemplos de 3.4.1
3.4.2. Radicales semejantes
Ejemplos de 3.4.2
3.4.3. Simplificación de un radical
Ejemplos de 3.4.3
3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical
Ejemplos de 3.4.4
3.4.5. Suma de radicales semejantes
Ejemplos de 3.4.5
3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual
al m.c.m. de los índices
Ejemplos de 3.4.6
3.4.7. Suma y resta de radicales
Ejemplos de 3.4.7
3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice
Ejemplos de 3.4.8
3.4.9. División de radicales del mismo índice
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10 Algebra básica
3.5
Ejemplos de 3.4.9
3.4.10. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)
Ejemplos de 3.4.103.4.11. Radicación de radicales
Ejemplos de 3.4.11
3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio
Ejemplos de 3.4.12
3.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuando
es un binomio con raíces cuadradas
Ejemplos de 3.4.13
Ejercicios de 3.4
Polinomios
3.5.1. Suma de monomios
Ejemplos de 3.5.1
3.5.2. Suma de polinomios
Ejemplos de 3.5.2
3.5.3. Ley distributiva de la multiplicación
Ejemplos de 3.5.3
3.5.4. Sustracción de monomios
Ejemplos de 3.5.4
3.5.5. Sustracción de un polinomio
Ejemplos de 3.5.5
3.5.6. Multiplicación
Ejemplos de 3.5.6
3.5.7. Multiplicación de monomios
Ejemplos de 3.5.7
3.5.8. Monomio por polinomio
Ejemplos de 3.5.8
3.5.9. Multiplicación de dos polinomios
Ejemplos de 3.5.9
3.5.10. División
3.5.11. Propiedades de la división
3.5.12. División de monomios
Ejemplos de 3.5.12
3.5.13. División de un polinomio por un monomio
Ejemplos de 3.5.13
3.5.14. División de dos polinomios
Ejemplos de 3.5.14
Ejercicios de 3.5
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índice 11
3.6. Aplicaciones 150
3.7. Manejo de polinomios con Mathematica 152
Bibliografía 165
CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 167
Objetivos 169
Estructura del capítulo 169
Introducción 169
4.1. Factorización de polinomios 170
4.2. Productos notables 171
Ejemplos de 4.2 173
Ejercicios de 4.2 174
4.3. Factorización con factor común, productos notables
y combinación de ambos 174
4.3.1. Factorización con factor común 174
Ejemplos de 4.3.1 174
4.3.2. Factorización con productos notables 175
Ejemplos de 4.3.2 175
4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos 177
Ejercicios de 4.3.3 177
4.4. Factorización por agrupamiento 179
Ejemplos de 4.4 180
4.5. Factorización de una ecuación cuadrática 181
Ejemplos de 4.5 181
4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado 182
Ejemplo de 4.5.1 183
Ejercicios de 4.5.1 184
4.6. Descomposición factorial de polinomios 184
4.6.1. Raíces de polinomios 184
4.6.2. Teorema del residuo 186
Ejemplos de 4.6.2 186
4.6.3. División por Regla de Ruffini 186
Ejemplos de 4.6.3 187
4.6.4. Descomposición factorial de polinomios 189
Ejemplo de 4.6.4 189
4.7. Fracciones algebraicas 190
4.7.1. Propiedades de las fracciones 191
Ejemplo de 4.7.1 192
4.8. Simplificación mediante factorización 192
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12 Álgebra básica
Ejemplos de 4.8 192
Ejercicios de 4.8 193
4.9. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 193
4.9.1. Multiplicación de fracciones 193
Ejemplos de 4.9.1 194
4.9.2. División de fracciones 196
Ejemplos de 4.9.2 196
Ejercicios de 4.9.2 198
4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas 198
Ejemplo de 4.10 200
4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones 201
Ejemplos de 4.10.1 202
4.11. Aplicaciones 204
4.12. Productos notables y factorización con Mathematica 204
Solución a los ejercicios propuestos 212
Bibliografía 216
CAPÍTULO 5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES 217
Y DESIGUALDADES
Objetivos 219
Estructura del capítulo 219
Introducción 219
5.1. Ecuaciones de primer grado 220
Ejemplos de 5.1 221
5.2. Ecuaciones de segundo grado 221
5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura 222
Ejemplos de 5.2.1 222
5.2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición
en factores 225
Ejemplos 5.2.2 226
5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta 228
Ejemplos de 5.2.3 228
5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completa
por descomposición en factores 230
Ejemplos de 5.2.4 230
5.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa
por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto 232
Ejemplos de 5.2.5 233
5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por medio
de la fórmula general 236
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índice 13
Ejemplos de 5.2.6
Ejercicios de 5.2
5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
Ejemplos de 5.3
5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Ejemplos de 5.3.1
Ejercicios de 5.3.1
5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados
Ejemplos de 5.4
Ejercicios de 5.4
5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado
Ejemplos de 5.5
Ejercicios de 5.5
5.6. Desigualdades
5.6.1. Concepto
Ejemplos de 5.6.1
5.6.2. Desigualdades con una incógnita
Ejemplos de 5.6.2
Ejercicios de 5.6.2
5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita
Ejemplos de 5.6.3
Ejercicios de 5.6.3
5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitas
Ejemplos de 5.6.4
Ejercicios de 5.6.4
5.6.5. Sistemas de desigualdades lineales con dos variables
Ejemplos de 5.6.5
Ejercicios de 5.6.5
5.7. Aplicaciones
5.7.1. El ingreso nacional
Ejemplos del 5.7.1
5.7.2. Modelo de mercado con dos bienes
Ejemplos del 5.7.2
5.7.3. Análisis de optimización
Ejemplo del 5.7.3
5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete Mathematica
Apéndice del 5.6
Bibliografía
237
238
239
239
241
241
243
244
244
249
249
250
253
253
253
254
255
255
258
258
258
260
260
260
262
263
264
265
266
266
269
271
273
277
278
280
297
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PRESENTACIÓN
LA PRESENTE OBRA está dirigida a cubrir los temas básicos de álgebra quelos estudiantes de ciencias sociales deben conocer y manejar, en especial los depolítica y gestión social, economía y administración; también de aquellas ca-
rreras en las que no requieran conocimientos muy avanzados de matemáticas como:
comunicación social, sociología y psicología, entre otras.
Este material tiene como objetivo apoyar a los alumnos que ingresan a la
universidad en los temas básicos de álgebra. Los contenidos se plantean de forma
accesible, cuidando que el balance sea el adecuado entre la teoría, los cálculos y
las aplicaciones; haciendo énfasis en las técnicas y métodos que el estudiante
requiere para solucionar problemas específicos. En cada uno de los capítulos, el
estudiante puede avanzar paso a paso para adquirir el conocimiento en forma
gradual. Después de cada nuevo concepto se procede a ilustrarlo con varios ejem-
plos, complementando algunos de ellos con su solución por medio del paquete
de computación Mathematica. Se incluyen aproximadamente 600 ejemplos, de los
cuales 250 están resueltos con Mathematica y se identifican con el símbolo de la
computadora (B). Al final de cada capítulo se encuentran los problemas por
resolver, para que el estudiante reafirme y maneje las diferentes técnicas
algebraicas en la solución de los mismos, empleando la forma tradicional o utili-
zando Mathematica.
El primer capítulo se conforma de dos partes importantes, en la primera se
describen los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, como son su definición,
su notación, la relación entre conjuntos, las operaciones básicas entre conjuntos,
la representación de éstas a través de diagramas de Venn y sus aplicaciones. En la
segunda parte se dan a conocer los elementosbásicos para el manejo del paquete
de computación Mathematica, en la solución de cálculos numéricos y en la aplica-
ción a la teoría de conjuntos.
En el capítulo dos se estudia el sistema de números reales: los números enteros
y fraccionarios, los números irracionales, sus leyes y propiedades más usuales;
15
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también se trata el concepto de valor absoluto y el manejo de los sistemas numéri-
cos con el paquete Mathematica.
El capítulo tres se divide en cuatro partes, para estudiar las operaciones con
expresiones racionales e irracionales. En la primera sección se aborda la
potenciación, exponentes enteros, negativos y cero. En la segunda parte se estu-
dian los exponentes fraccionarios, los radicales, la racionalización del denomina-
dor cuando es un monomio y la racionalización del denominador cuando es un
binomio con radicales de segundo grado. En la tercera sección se explica la forma
de efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre monomios,
entre monomio y polinomio y entre polinomios. En la última parte se presenta el
manejo de polinomios con el paquete Mathematica.
El capítulo cuatro se refiere a la factorización y las operaciones con fracciones
algebraicas. En el primer caso se analiza la factorización de polinomios, productos
notables, factorización común, factorización con productos notables y la combina-
ción de ambos; asimismo, se plantea cómo factorizar por agolpamiento, la factori-
zación de la ecuación cuadrática y la descomposición factorial de polinomios. Para
el caso de las fracciones algebraicas, se estudian sus propiedades, la simplificación
mediante la factorización, así como las operaciones de suma, resta, multiplicación
y división. En la última parte del capítulo se indica cómo dar solución a los pro-
ductos notables y a la factorización con el paquete Mathematica.
El capítulo cinco está dividido en cuatro partes. En la primera se trabaja con las
ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución; la solución de la ecua-
ción cuadrática pura, cuadrática mixta incompleta, cuadrática mixta completa por
descomposición de factores, mixta completa por el procedimiento de completar el
cuadrado perfecto, cuadrática mixta completa por descomposición de factores y
mixta completa a partir de la ecuación general. La segunda parte se refiere a la
solución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, utilizando
los métodos de igualación, sustitución, diferencia y determinantes; y la solución
para sistemas de ecuaciones de segundo grado. En la tercera parte se tratan los
conceptos básicos de las desigualdades, la solución de desigualdades con una in-
cógnita, sistema de desigualdades simultáneas con una incógnita, desigualdades
lineales con dos incógnitas y el sistema de desigualdades con dos incógnitas. En la
última parte del capítulo se presenta la solución de las desigualdades con el paque-
te de cómputo Mathematica.
Los autores
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CAPÍTULO 1
Teoría de conjuntos
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1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Al terminar este capítulo, el lector podrá:
y Identificar los elementos de un conjunto.
</ Calcular la cardinalidad de un conjunto.
/ Realizar operaciones con conjuntos.
/ Resolver problemas utilizando los conjuntos y
las regiones que definen.
Estructura del capítulo
Introducción
.1. Conceptos básicos de conjuntos.
.2. Relaciones entre conjuntos.
.3. Operaciones entre conjuntos.
.4. Diagramas de Venn.
.5. Aplicaciones.
.6. El paquete Mathematica.
Solución a los ejercicios propuestos
INTRODUCCIÓN
AUNQUE SIEMPRE hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamosparte de diversos conjuntos, la noción de conjunto tardó en aparecer, segura-mente debido al nivel de abstracción que requiere este concepto, semejante
al de los números; por ejemplo, la cinquidadftiz captada bastante tiempo después de
la utilización del cinco ligado a cinco cosas.
A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que ha
afectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas.
Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemática
utilizan conjuntos. Por ejemplo, en aritmética se trabaja con los conjuntos de nú-
meros y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría estudia los conjuntos de
puntos que definen diversas figuras y sus propiedades; el muestreo analiza las
características de subconjuntos de una población, etcétera.
Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de los
matemáticos alemanes Richard Dedekind (1831 -1916) y Georg Cantor (1845-1918).
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20 Álgebra básica
Aunque ambos estaban fundamentalmente preocupados por conjuntos infinitos (con
un número infinito de elementos), construyeron las bases de los números naturales
sobre el concepto de conjunto. Por su parte, el matemático alemán Ernst Zermelo
(1861-1953) estableció los axiomas sobre los que se desarrolló la teoría de conjuntos.
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS
1.11. Definición de conjunto
Se llama conjunto a una colección de objetos de cualquier índole, relacionados
o ajenos.
Así, por ejemplo, se puede hablar en la UAM Xochimilco del conjunto de li-
bros de la biblioteca, del conjunto de bienes que conforman el inventario, del con-
junto de reglamentos, del conjunto de proveedores, del conjunto de egresados, del
conjunto de docentes, del conjunto de alumnos reprobados en el trimestre pasado,
etcétera. También puede hablarse de conjuntos en los que no hay relación explícita
entre los objetos que los integran: "número, papel, vestido, planta, gises" o "refresco,
árbol, auto, computadora, piedra".
Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son:
1. La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza
cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no.
El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los ele-
mentos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales para
identificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las
15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios que
confieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, nú-
mero de empleados, etcétera.
2. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben
ser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabra
Cacahuamilpa es: c, a, h, u, m, i, I, p.
3. El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia.
1.1.2. Notación
Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, por ejemplo A =
{letras consonantes} que se lee: A es el conjunto de letras consonantes. Las
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/ Teoría de conjuntos 21
llaves sirven para encerrar entre ellas los componentes del conjunto o su des-
cripción.
Los objetos que forman parte del conjunto se conocen como elementosry gene-
ralmente se simbolizan mediante letras minúsculas. Se utiliza el símbolo e para
indicar pertenencia y £ para negarla. Así, con respecto al conjunto A mencionado
antes, se puede afirmar que/? e A y que o£ A.
Se emplean dos formas para especificar un conjunto:
1. Por extensión, que consiste en listar todos los elementos que constituyen el
conjunto, separados por comas y encerrados entre llaves.
2. Por comprensión, indicando dentro de las llaves las propiedades que sirvan
para describir los elementos del conjunto.
Ejemplos de 1.1.2
^ = { 0 , 7 , 14,21,28} = {x\ xe Aí,x=7n,Q<n<4} B
C- {x\ xzs proveedor de El Palacio de Hierro}
D- {x I .res ciudadano mexicano}
1.1.3 Conjuntos especiales
En el análisis de una situación particular, la colección de todos los elementos que
intervienen constituye un conjunto especial denominado conjunto universal, que se
representa por £1 Debe tomarse en cuenta que este conjunto universal no es único,
pues cambia con el problema que se pretende resolver.
Otro conjunto especial es aquel que no contiene elementos; este conjunto se
denomina conjunto vacío y se denota por <|) o por { }.
Al número de elementos del conjunto A se le llama cardinalidady se denota por
8{A). Un conjunto se consideray?////¿> cuando su cardinalidad es un número natu-
ral, de otra manera se le dice infinito. Cuando es infinito pero puede contarse,
ponerse en correspondencia con los números naturales, se le llama numerable.
1 Ejemplos resueltos utilizando el paquete de computación Mathematica.
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22 Álgebra básica
Ejemplos de 1.1.3
C- N— {números naturales), 8(C) es infinita numerable.
/?= {O, 2, 4, 6, 8, . . . } , 8{D) es infinita numerable.
^ = 91= {números reales}, 8{E) es infinita no numerable.
F- {números irracionales}, 8{F) es infinita no numerable.
1.2. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
/ 2.1. Igualdad y contención
Se dice que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos y se
denota por A = B; cuando no sucede así se indica mediante A^ B. La definición
formal de conjuntos distintos es:
A^Bsiy sólo si 3 (existe) x^ A^ (tal que)x<£ Bf o bien 3 (existe)
(tal que)y& A.
Dados dos conjuntos cualesquiera, AyB, se dice que uno incluye a otro, A c B
(se lee A es subconjunto deBoB incluye a^)s i¿?e^/=> (implica que) a e B.
Es importante destacar la diferencia entre la relación de pertenencia (e) que se
da entre un elemento y un conjunto y la relación de inclusión (c) que se establece
entre dos conjuntos. Sin embargo, puede suceder que los elementos de un conjunto
sean a su vez conjuntos.
Ejemplos de 1.2.1
SiA= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B= {0, 2, 4, 6, 8} y C= {1, 3, 5, 7} entonces
BczAy CaA,peroB<£C, C<zB,A<zBf Aa C
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/ Teoría de conjuntos 23
SiZ>= {{1,2}, {3,5,7}, {0,4,6,8}} entonces {1,2} e D, {3,5,7} e D,
{0, 4, 6, 8} e D y {{1,2}} c D (el conjunto con un elemento que es un
conjunto es subconjunto de D), {{1, 2}, {3, 5, 7}} cz£>, {{0, 4, 6, 8}}
Una manera más formal de establecer la igualdad entre conjuntos consiste en
afirmar A = B, si y sólo si cada elemento de uno de los conjuntos es también ele-
mento del otro, esto es:
\a e A=> ae B (que significa A c B) y
G B=>be A (que significa B c A)
Siempre es cierto que A - A, y en particular AczA, pero a este tipo de inclusión
se le llama inclusión impropia y se simboliza por c ; las demás inclusiones se dicen
propias. Es igualmente cierto que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto,
( | )c4
1.2.2. Subconjuntos de un conjunto
Al conjunto de subconjuntos de un conjunto A se le llama conjunto potencia y se le
denota por 2A; esta notación puede explicarse porque cuando el conjunto es finito,
con cardinalidad n, la cardinalidad del conjunto de subconjuntos correspondiente
es precisamente 2n.
Ejercicios de 1.2.2
1. Colocar un signo = o ^ según convenga:
a) {a+b, (b-a)(b+a), a+a) {b2- a\2"a+¿>}
b) {5 + 1, 7, 34 + 16, 0} {5 - 5, 50, 6, 8 - 1}
c) {34, 2o, 52, 25} {92, 1, 25} {81, 37°, 25, 25}
d) {0, 1, 2o, 3 - 3,1°} {0, 1}
2. Anota sobre la línea si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:
a) {P\ = {P, $}
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24 Algebra básica
b) {c{>, O , 1 } = {<}>, 1 }
c) Ws = {0}
d) {2 -2} = {0}
f) 0 = W
£> {5} = 5
ŷ {x
3. Completa la tabla siguiente, colocando el símbolo de c , c o <Z según convenga:
Conjuntos
*
{1}
{1,3}
{0,1}
{0,1,3}
{0}
{1} {0} {1,0} {3,0,1}
1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntos
para formar nuevos conjuntos. Las operaciones más importantes son: complemen-
tación, intersección, unión y diferencia.
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/. Teoría de conjuntos 25
1.3.1. Complementación
Si A c Q, el complemento de ̂ con respecto a Í2 es el conjunto de elementos de Q,
que no están en A y se representa como:
A',Ac={xe
Ejemplos de 1.3.1
1. Si Q, es el conjunto de lectores de La Jornada y A son los suscriptores de ese
periódico, entonces Ac- {lectores de La Jornadano suscriptores}.
2. Si Í2 es el conjunto de mexicanos y A es el conjunto de ciudadanos con derecho
a voto, Ac- {mexicanos sin derecho a voto}.
13.2. Intersección
Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la intersección de estos
conjuntos es la colección de elementos que pertenecen a ambos:
AnB= {xe £l\ xe Ayxe A}
Propiedades:
*(An£)c=Acv£c
Donde u significa unión, operación definida a continuación.
Cuando A n B- O los conjuntos se llaman ajenos o disjuntos.
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26 Algebra básica
1.3.3. Unión
Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la unión de estos conjuntos
es la colección de elementos que pertenecen al menos a uno de ellos:
AuB= {XG Q| XG Ay XG B)
Propiedades:
Donde B- Crepresenta la diferencia de conjuntos, que es la siguiente opera-
ción explicada. Esta propiedad también se da para la intersección.
B-C) = (AnB)-(AnC)
1.3.4. Diferencia de conjuntos
SiAy Bson dos subconjuntos del conjunto universal, la diferencia de estos conjun-
tos es la colección de elementos que pertenecen al primero de ellos y no al segundo:
J-B={xe Q | xe Ayx£ B}
Propiedades:
-C) = (AnB)-(AnC)
Ejemplos de 1.3
1. Se efectúa una encuesta entre 250 empleados de una empresa, acerca de un
nuevo plan de jubilación. Los resultados son los siguientes:
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/ Teoría de conjuntos 27
Respuesta
En favor
En contra
Indiferentes
Total
Trabajadores
Directores
1
2
1
4
Gerentes
5
8
2
15
Empleados
88
32
11
131
Temporales52
38
10
100
Total
146
80
24
250
Los 250 empleados de la encuesta son los elementos del conjunto universal. Si
los elementos que contestan en favor, N los que están en contra, Z> los direc-
tores, Glos gerentes, irlos empleados de base y T los empleados temporales
a) Determinar el número de empleados en cada uno de los siguientes conjuntos:
S,D, G, T,Du G, Sn T,(Su N)', (Eu T) n N, N- (Tu E\(SU N)'
n G, T- (SKJ N)
b) Escribir cada uno de los siguientes conjuntos usando sólo los símbolos S, N,
GE, T/,u,r\\
• El conjunto de empleados que contestaron en favor y no son empleados
de base.
• El conjunto de empleados indiferentes.
• El conjunto de empleados indiferentes que son trabajadores de base.
• El conjunto de empleados que se pronunciaron en contra del proyecto y
son trabajadores temporales.
Solución:
a) S(S) = 146, 8(D) = 4, 8(G) = 15
5(7*) = 100, 5(¿>u G) = 19, S(Sn T) = 52,
8{{Ev T)nJV) = 70, 8(N- (Tu E)) = 10,
8(T-(Su JV))= 10
b)
• Sc\(Du Gu T)
• (SuNY
• (Su N)' n E
• Nr\T
N)' = 24
N)' nG
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28 Algebra básica
2. Sean £2= {0,1,2,3,4,5,6,7} el conjunto universal y sus subconjuntos A= {0,
1,2,3}, B= {0,2,4, 6}, C= {1, 3, 5, 7}, £>= {7}, aplicando las definiciones de
operaciones obtener: A', B', C,Av£,{AvB)\ A-B, An Q B'n C, B- Cf A
Solución:
• A'= {4, 5, 6, 7}, B'= {1, 3, 5, 7}, r = {0, 2, 4, 6}
• AuB= {0,1,2,3,4,6}
• (AvB)'= {5, 7 } , ^ - ^ = {1,3}
-C=B,A-D = A, ¿7-Z?={l,3,5}
={l, 3, 7}, i?u C= fí, (^X = {0, 1, 2, 3}
1.4. DIAGRAMAS DE VENN
Al trabajar con los conjuntos, sus relaciones y operaciones, es útil contar con un
sistema de representación gráfica que permita visualizar lo que ocurre e interpretar
con diagramas las relaciones lógicas correspondientes.
El procedimiento usual, que consiste en dibujar rectángulos y círculos, se conoce
como diagrama de Venn-Euler. En este diagrama, el conjunto de puntos interiores al
rectángulo es el conjunto universal. Los subconjuntos del conjunto universal se repre-
sentan a partir de los puntos interiores a los círculos trazados dentro del rectángulo.
Los diagramas correspondientes al ejemplo anterior son:
f :
D
7
V
, - -
5
/
c
( 1
1 3 /) (
A
-~
' 0 ^
\ 2 /
B
6 )
-
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/. Teoría de conjuntos 29
AUB
(A U
/T ¿5
1 í 7
V V
v_
5._
) (
c
3 j
...
• •
A
í 0 >
i 2 ,
4 \ -
6 j
y
B
AC\C
f
\ ^
D
>r 5 21
w
C A
/o \ 4 \
6
y
. y
B
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30 Álgebra básica
C-D
1.4.1. Regiones en los diagramas
En todo diagrama de Venn-Euler se pueden identificar regiones que son útiles para
reconocer relaciones de pertenencia.
En el caso de un subconjunto se aprecian dos regiones: Rv que es la región de
los puntos en A; y Rv la región de los puntos fuera de A.
En el caso de dos subconjuntos, se obtienen cuatro regiones:
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/. Teoría de conjuntos 31
xe Ay xe B}=AnB
xe Ay x£ B}=A-B
x£ Ay xe B}=B-A
x£ Ay x£ B}=(A'KJB')
En el caso de tres subconjuntos, se obtienen ocho regiones:
R2={x
4
R5={x
Rn={x
R = {x
xe A, xe By xe C) •
xeA,xeByx<£ C}
xe A, x<£. By xe C)
J Í A, xe By xe C)
xe A, xí By xí C}
x£ A,xe Byx<Z C)
x£A, xéByxe C}
x<£ A, x£ By x<£ C}
--AnBnC
--Ar\Br\C
-•AnB'nC
--A'nBnC
--AnB'nC
--A'nBnC
--A'nB'nC
--A'nB'nC
1.5. APLICACIONES
/ 5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos
Una de las relaciones más utilizadas en las aplicaciones de teoría de conjuntos es
aquella que permite conocer la cardinalidad de la unión de varios conjuntos,
a partir del conocimiento de la cardinalidad de cada uno de ellos y la de sus
intersecciones.
Dados dos conjuntos, o son ajenos o tienen intersección distinta del vacío.
Cuando son disjuntos, el número de elementos de la unión no es más que la
suma de los elementos de ambos conjuntos S(A u B) = S(A) + S(B), si A n B= <j),
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32 Álgebra básica
de otra manera, 8{A u B) = 8(A) + 8(B) - 5(^ n B), ya que al sumar los ele-
mentos de A con los de B, los elementos comunes son contados dos veces por
lo que es necesario restarlos.
Ejemplos de 1.5.1
1. Si todos los estudiantes del grupo SJO1 compraron boletos para asistir a los
encuentros de fútbol el próximo fin de semana: 24 compraron para el partido
Atlas-Toluca, 10 tienen boletos para el juego de Cruz Azul-Morelia y seis asis-
tirán a los dos juegos. ¿Cuántos estudiantes forman este grupo?
Solución:
8(A) = 24, 8(B) = 10, = 69 entonces 8{Au B) = 24 + 10 - 6 = 28
2. La "técnica de panel", que consiste en seleccionar una muestra de la población
y entrevistarla repetidas veces en diferentes intervalos de tiempo, en relación
con el consumo de un producto determinado, es un método muy utilizado en la
investigación de mercado.
Por ejemplo, se elige una muestra de 2000 empleados, a los que se entrevista
preguntándoles si utilizan cierta marca de productos para oficina, para analizar
los efectos de la publicidad sobre el consumo. Seis meses después se entrevista
a esas mismas personas para preguntarles si continúan utilizándolos y lo mismo
se hace un año después. Sean P, Sy T los conjuntos de personas que respondie-
ron afirmativamente a las entrevistas en la primera, segunda y tercera ocasio-
nes. En el cuadro siguiente se especifican los datos obtenidos:
Conjuntos
P
S
T
POS
PDT
SDT
PDSDT
Personas que
respondieron
afirmativamente
838
827
808
542
474
498
317
Entrevistas
Ia
2a
3a
Ia y 2a
Ia y 3a
2a y 3a
Ia, 2a y 3a
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/ Teoría de conjuntos 33
Utilizando el diagrama de Venn-Euler para tres conjuntos, se determinará la
cantidad de usuarios que pertenecen a cada una de las ocho categorías o
subconjuntos de empleados. Esto es, los elementos de las regiones R2 a J?r
a) Como 8(Sn T) = 498 y 8(PnSn T) = 317 y
<5(7?4) = 8{P'n Sn T) = 8(Sn T) - 8(Pn Sn T) entonces
5 ( ^ = 498-317=181
Esto significa que en la muestra hay 317 personas que respondieron en
las tres oportunidades que utilizan los productos investigados, mientras que
hay 181 personas que informaron que no los usaban en la primera entrevista
y respondieron afirmativamente en la segunda y tercera entrevistas.
b) Análogamente 8(Pn S) = 542 y 8{Pn Sn T) = 317,
de donde 8(Pn Sn 7") = 8(Pn S) - 8(Pn Sn T) = 542 - 317 = 225
Entonces, 225 personas respondieron que utilizaban los productos en la
primera y en la segunda entrevistas, pero no en la tercera. En términos de
regiones del diagrama
c) De la misma manera se tiene que
S(Pn T) = 474 y 8(Pn Sn T) - 317, de donde
8{Pn S'n T) = 8(Pn T) - 8(Pn Sn T) = 474 - 317 = 157
Esto es, hubo 157 entrevistados que informaron que utilizaban los pro-
ductos en la primera y tercera ocasiones en que fueron interrogados, pero no
en la segunda. En términos de regiones
d) Por otro lado, se sabe que
8(P) = 838, 8(J>n S) = 542, S(PnT) = 474
y 8(/>n Sn T) = 317 => 8(Pn Sf n 7")
= 8(P) - 8(Pn S) - 8(Pn T) + 8(Pn Sn T)
= 8 3 8 - 5 4 2 - 4 7 4 + 317=139
que corresponde a la región R$, es decir, los consumidores que respondieron
afirmativamente sólo en la primera entrevista.
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34 Álgebra básica
e) Además, 8(S) = 827, 8(Pn S) = 542, 5 ( ^ n 7*) = 498
y 8(Pn Sn T) = 317 => b{F n Sn F)
= 5(J) - S(Pn S) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)
= 827 - 542 - 498 + 317 = 104, que corresponde a la región R6.
f) Se tiene que 8{T) = 808, 5(^n T7) - 474, 5(^n T7) - 498
y 8(Pn Sn T) = 317, de donde
5(/"n ^n r) = 5(r) - 8(Pn T) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)
= 808 - 474 - 498 + 317 = 153, que corresponde a la región Rr
g) Finalmente, para determinar el número de elementos de la región Rg se recurre
a la fórmula que proporciona la cardinalidad de la unión de tres conjuntos:
T) = 8{P) + 8{S) + 8{T) - 8(Pn S) - 8(Pn T) - 8(Sn T)
+ 8{Pn Sn T) = 838 + 827 + 808 - 542 - 474 - 498 + 317 = 1276
Por lo tanto 8(P'n S'n F) = 8(O) - 8(Pu Su T) = 2000 - 1276 = 724
que corresponde a la región Rg.
La conclusión correspondiente al análisis de los datos obtenidos de los
cuestionarios es la siguiente: al comparar las cifras de respuestas afirmativas
en cada entrevista, se observa que la población de consumidores se mantie-
ne aproximadamente estable, con una leve declinación: 8(P) = 838, 8(S) =
827 y 8{T) = 808. Sin embargo, la cifra 8(Pn Sn T) = 3\7 está indicando
que la cantidad de consumidores fieles al producto es mucho menor. En
términos porcentuales, las respuestas afirmativas constituyen respectivamente
41.9,41.4 y 40.4% de la población muestreada, mientras el porcentaje "cau-
tivo" de ese mercado es sólo de 15.8 por ciento.
Suponiendo que la información original es fidedigna, estos hechos se pue-
den interpretar de la siguiente manera:
I. 8(Pn S' n T) = 157 significa que 7.8% de los consumidores no estuvieron
muy convencidos de las propiedades del producto; que en el momento de la
segunda encuesta estaban experimentando con algún producto competidor
y que finalmente han regresado al producto original.
II. S(Pn Sn F) = 225 significa que 11.3% de los consumidores estaban
probando otros productos al ser interrogados en la tercera ocasión.
III. 8{P/n Sn T) = 181 puede interpretarse como el incremento de mercado
logrado durante el periodo que se está analizando, que representa 9% del total.
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/. Teoría de conjuntos 35
IV. 5(Pc\ S' n T') = 139 puede interpretarse como la disminución de merca-
do ocurrida en ese periodo, que es cercana a 7% del total.
V. Tanto 5 ( ^ n Sn T') = 104 como S(P'n S"n T) = 153 representan
grupos de consumidores sobre los cuales ha influido la publicidad efectuada
en el periodo considerado; 5.2% probaron los productos investigados en
la época de la segunda encuesta y al no convencerse de sus cualidades
volvieron a usar el producto que consumían originalmente. Por otra parte,
7.6% de los consumidores estaban experimentando con estos productos al
efectuarse la tercera entrevista.
VI. 8(P'c\ S' n T') = 724 significa que 36.2% del mercado no consume estos
productos y que la publicidad no ha tenido efecto sobre esas personas.
VIL En resumen: los productos son conocidos por 63.8% de la población so-
metida a las entrevistas; 15.8% es mercado "cautivo" de los productos; el
efecto neto de la publicidad ha sido aumentar 2% ese mercado (puntos III
y IV), a ese 15.8% debe agregarse 7.8% de consumidores que ha vuelto a
usar este producto después de experimentar con otros y, además, que hay
11.3% de consumidores no satisfechos.
3. Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2000 personas para apreciar los efectos
de tres campañas publicitarias, con los siguientes resultados:
580 personas conocen la campaña^.
840 personas conocen la campaña B.
920 personas conocen la campaña C.
260 personas conocen las campañas A y B.
220 personas conocen las campañas A y C.
300 personas conocen las campañas i? y C.
100 personas conocen las tres campañas.
Se desea saber:
a) ¿Cuántas personas conocen sólo la campaña A?, ¿sólo la campaña B?, ¿sólo
la campaña C?
b) ¿Cuántas personas conocen sólo las campañas A y B?, ¿sólo las campañas A
y C?, ¿sólo las campañas By C?
c) ¿Cuántas personas conocen la campaña B, la Co ambas?
d) ¿Cuántas personas conocen al menos una de las campañas?
e) ¿Cuántas personas no conocen ninguna de las campañas?
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36 Algebra básica
Solución:
Los datos con los que se cuenta son:
8{A) = 580 8(AnB) = 260 S(AnBnC) = 100
8{B) = 840 8(A nC) = 220 5(Q) - 2000
= 920 8(£nC) = 300
a) "Sólo la campaña^ "significa el conjunto AnB'n C, que en el diagrama
de Venn-Euler corresponde a la región Ry
Se sabe que:
8(AnB'nC/) = S(A)-S(AnB)-8(AnC) + S(AnBnC)
- 5 8 0 - 2 6 0 - 2 2 0 + 1 0 0 = 200
Análogamente, "sólo la campaña B " significa el conjunto A' c\Br\ C\
que en un diagrama de Venn-Euler corresponde a la región R6.
Utilizando los datos originales, se obtiene:
8(A'nBn C) = 8(0)- 8(AnB)- 8(Bn C) + S(AnBn C)
= 840-260-300 + 100-380
De la misma manera, "sólo la campaña ¿""corresponde al conjunto A' n
B' c\ C, o sea, la región Rn de un diagrama de Venn-Euler.
Como en los dos casos anteriores:
8(A' n JFn C) = 8(C) - S(AnC)- 8(Bn C) + S(AnBn C)
= 920-220-300+100 = 500
b) "Sólo las campañas A y B" corresponde a la región R2 de un diagrama de
Venn-Euler. Su cardinalidad se calcula así:
S(A n B n C) = 8{A n B) - 8(A n B n C) = 260 - 100 = 160
"Sólo las campañas A y ¿^'corresponde al conjunto A n B'n C, o sea, a
la región R3 de un diagrama de Venn-Euler y su cardinalidad es:
8{AnB'n C) = 8{An C)- 8{AnBn C) = 220- 100 = 120
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1. Teoría de conjuntos 37
Y "sólo las campañas By C" corresponde a la región R4 de un diagrama
de Venn-Euler y
8(A'nBn C) = 8(£n C)-8(AnBnC) = 300- 100 = 200
c) "La campaña B, o la C, o ambas", en el diagrama de Venn-Euler corresponde
a ^ u C que son las regiones Rp R2, R3, J?4, i?6, i?r El número de elementos
se calcula:
8{BKJ C) = 8(B) + 8{C) - 8(Bn C) = 840 + 920 - 300 - 1460
d) "Al menos una de las campañas" corresponde a las regiones Rv Rv Rv R4,
R5, R6, Rr Su cardinalidad se calcula:
= 580 + 840 + 920 - 260 - 220 - 300 + 100 = 1660
e) "Ninguna de las tres" corresponde a la región R que es el conjunto A'c\ B'
n C Utilizando el resultado de 8{A u £\j C) - 1660 se tiene:
8{A'c\ B'n C) = 8(íl) -8(AUBKJ C) = 2000 - 1660 = 340
La información obtenida permite efectuar análisis semejantes al del ejemplo
anterior.
4. Se desea comparar la preferencia de una población sobre el consumo de tres
productos y para esto se ha contratado a un investigador de mercados. Es natu-
ral que algunas de las personas entrevistadas declaren que les gustan todos los
productos investigados, que algunos gusten de sólo dos de ellos y a otros no les
guste ninguno. El investigador decidió que estas últimas personas no se inclui-
rían en la muestra y entrevistó a 1000 personas que gustaban de al menos uno
de los productos. El reporte que presentó indicaba que:
729 gustan del producto 1.
814 gustan del producto 2.
628 gustan del producto 3.
592 gustan de los productos 1 y 2.
465 gustan de los productos 1 y 3.DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
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3 8 Álgebra básica
411 gustan de los productos 2 y 3.
300 gustan de los tres productos.
La empresa que contrató al investigador sospecha que las entrevistas no se rea-
lizaron con honestidad, es decir, que algunas de las cifras presentadas fueron in-
ventadas por el investigador. Se trata de comprobar esta hipótesis.
Solución:
Sean
1 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 1.
2 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 2.
3 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 3.
Entonces,
1 u 2 u 3 = Conjunto de personas entrevistadas.
1 n 2 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 2.
1 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 3.
2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 2 y 3.
1 n 2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los tres productos.
De acuerdo con la información reportada:
5(1 u 2 u 3) = 1000 5(1 n 2) = 592
5(1) =729 5(1 n 3) = 465
5(2) =814 5(2 n 3) = 411
5(3) =628 5 ( l n 2 n 3 ) = 300
Si el investigador no miente, se debe satisfacer la ecuación de la cardinalidad
de la unión de tres conjuntos 5(1 u 2 u 3) = 1000 =>
5(1 u2u3) = ̂
w = 5(1) + 5(2) + 5(3) - 5(1 n 2) - 5(1 n 3) - 5(2 n 3) + 5(1 n 2 n 3) =
w= 729 + 814 + 628 - 592 - 465 - 411 + 300
w= 1003
Por lo que se concluye que el reporte no es internamente consistente.
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/ Teoría de conjuntos 39
Ejercicios de 1.5.1
1. El departamento de publicidad de El Palacio de Hierro interroga a una muestra
de 1000 clientes, seleccionados de entre todos los que abrieron su cuenta de
crédito en el pasado mes de diciembre, y se les pregunta si su crédito fue utili-
zado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes.
Los resultados fueron los siguientes:
Mercancía
Artículos para el hogar
Artículos de vestir
Juguetes
Artículos del hogar y de vestir
Artículos del hogar y juguetes
Artículos de vestir y juguetes
Artículos de vestir, del hogar y juguetes
Número de personas
275
400
550
150
110
250
100
Se desea saber:
a) ¿Cuántas personas no usaron su crédito en alguna de esas tres mercancías?
b) ¿Cuántas personas utilizaron su crédito sólo para comprar artículos de vestir?
c) ¿Sólo para artículos del hogar?, ¿sólo para juguetes?
2. Un investigador de mercados efectúa una encuesta sobre los hábitos de lectura
de periódicos de la ciudad, con los siguientes resultados:
Periódico
La Jornada
El Financiero
Reforma
La Jornada y El Financiero
La Jornada y Reforma
El Financiero y Reforma
Al menos uno de los tres
Lectores
9.8%
22.9%
12.1%
5.1%
3.7%
6.0%
32.4%
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40 Álgebra básica
Calcular el porcentaje de personas que:
a) No leen ninguno de los periódicos mencionados.
b) Leen dos de los periódicos.
3. La compañía Central de Suministros Metálicos, distribuidora de artículos de
ferretería, ha adquirido un lote de tuercas a granel en una subasta de la Direc-
ción de Aduanas. Una muestra de 500 tuercas reveló que éstas pueden utilizarse
en tres diferentes operaciones básicas, como se indica a continuación:
Operación
Contrapieza
Soporte
Contrapieza y soporte
Contrapieza y nivelación
Sólo para nivelación
Contrapieza o soporte
Nivelación y soporte
Tuercas
255
215
25
125
105
395
60
Se desea conocer:
a) Número de tuercas que pueden utilizarse en las tres operaciones.
b) Número de tuercas que tienen que ser desechadas.
4. AMSA realizó una encuesta de opinión sobre la preferencia de los productos Tía
Rosa. Se entrevistó a 900 amas de casa y se obtuvieron los siguientes datos:
Productos de preferencia
Sólo conchas
Sólo cuernitos
Sólo mantecadas
Conchas y cuernitos
Cuernitos y mantecadas
Conchas y mantecadas
Los tres productos
Personas
130
88
32
144
86
89
205
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/ Teoría de conjuntos 41
Se pregunta:
a) ¿Cuántas personas consumen al menos conchas o cuernitos?
b) ¿Cuántas personas no consumen alguno de estos productos?
c) Analiza la información obtenida. En caso de ser necesario, obten la información
adicional que requiere este análisis mediante operaciones entre conjuntos.
5. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efec-
tuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información:
55% fuma cigarros Boots.
50% fuma cigarros Delicados.
40% fuma cigarros Benson.
10% fuma las tres marcas de cigarros.
20% fuma las dos primeras pero no la tercera.
18% no fuma las dos primeras pero sí la tercera.
5% sólo fuma la tercera y segunda marcas o no fuma.
Se pregunta:
a) ¿Qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros?
b) ¿Qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?
1.6. EL PAQUETE MATHEMATICA
Debido a los grandes avances logrados en el campo de la computación aplicada, se
han creado herramientas que, además de ser fáciles de manejar e interactivas, cons-
tituyen un gran apoyo para quien usa las matemáticas.
Mathematica, más que un paquete, es un sistema general de computación y
un lenguaje; permite manipular símbolos, hacer cálculos numéricos y granear
de manera simple; calcula integrales indefinidas; resuelve ecuaciones y siste-
mas de ecuaciones; encuentra la solución de una ecuación diferencial o de un
sistema de ecuaciones diferenciales; resuelve problemas de programación li-
neal, no lineal y entera. Además, es posible extender sus alcances programando
en el lenguaje que incluye.
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42 Álgebra básica
1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos
Para utilizar este paquete es necesario entrar a Windows y después abrir Mathematica
marcando dos veces el icono correspondiente.
Una vez dentro se pueden incluir comentarios, títulos o explicaciones sobre la
operación que se realizará, tecleando e ingresando con enter (véase imagen 1.1).
IMAGEN 1.1
Efe £tót Qe\l £raph ¿ction
Aqui se muestra el icono de Mathematica,
así como el menú que aparece en pantalla y
el corchete a la derecha acompaña
cada operación
Mathematica Front End Ready
Cada operación consiste en un pequeño diálogo con el paquete. El texto que
aparece en las líneas marcadas con InfnJ es lo que se tecleó en el renglón n, o
mejor dicho, es la operación n-ésima. Lo que aparece en el renglón marcado con
Outfn] es la respuesta correspondiente a esa operación proporcionada por el pa-
quete; cuando no cabe en un solo renglón, se indica con \ y se continúa en el
renglón siguiente.
Para obtener el resultado de la operación que se desea efectuar, es necesario
apretar simultáneamente las teclas shifty enter.
Cada operación queda indicada con un paréntesis rectangular o corchete, que
aparece del lado derecho; al solicitar el resultado, una recta da por terminada la
operación. Cuando el cursor se coloca arriba de la recta se tiene la oportunidad de
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/ Teoría de conjuntos 43
aumentar el número de instrucciones para la misma operación y si el cursor se coloca
por debajo de esta línea y se oprime return, se puede introducir una nueva operación,
tecleando otro conjunto de instrucciones marcadas con un nuevo corchete del lado
derecho.
Es importante notar que la primera letra de cada instrucción es la única ma-
yúscula, las demás deben ser minúsculas.
El menú que aparece en la ventana de Mathematica contiene las funciones:
File, Edit, Cell, Graph, Action, Style, Options, Windowy Help. Aquí se señalan las
operaciones más usuales.
Cuando se selecciona File aparece un menú que ofrece, entre otras, la op-
ción New, que permite crear un archivo nuevo; se obtiene el mismo resultado
apretando simultáneamente las teclas Controly No el icono de hoja blanca (véase
imagen 1.2).
IMAGEN 1.2
£d¡l £©B firaph Action £lyle fiptíoms
New Ctrl+N
upen... Ctrl+O
Save As...
import..
Export...
Print...
Ctrl+S
Drl+P
AU+F4
1AAC0NJUNT0.MA
Z NOTEBOOKSCHAOS.MA
3D0CSNWINFEAT.MA
fclelp
i
Ctose the current N otebook.
i j ^ inicio | i£J Disco de 3H (A;)
f [15876K Bytes Fi
| % f Microsoft Word* capi.doc | [%& Mathematica for Win. 20:58
Open sirve para abrir un archivo existente y puede sustituirse oprimiendo Con-
trol7y OOQI icono de carpeta semiabierta; Cióse se utiliza para cerrar el archivo con
el que se está trabajando y corresponde a oprimir Control^ F4; Save y Save as se
utilizan para grabar un archivo, la primera en el disco en el que se trabaja y la segunda
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44 Álgebra básica
en el que se seleccione, y estas operaciones pueden realizarse también apretando
las teclas Control y S, Shifty Control y So el icono del disco; para imprimir, aquí
aparece la instrucción Print, también puede usarse el icono de impresora o las
teclas Control y P; para salir, en este menú aparece como última opción Exit. Otra
opción interesante que aparece en File es la que se llama Palettes, que proporciona
símbolos, como extensiones del teclado, muy útiles para simplificar la entrada de
datos; por ejemplo, la correspondiente a operadores generales de caracteres com-
pletos es la que se muestra en la imagen 1.3:
IMAGEN 1.3
t> Letters
t> Letter—I i Ice Forms
^ ^ O^ierators
35 •
.,„£,.!
.w i
"V :
« :
u
t
<
-*- 1
3FI;
£j
m \
j j
>
—.
\
n
r
±,
3 »
«E>
**.
n
i
y
mm
.TU
<&*
•v •
u
n
W>
- • •
s
*_-
•o
^ .
XX
H
s
O í
En lo que respecta a iT¿/// (véase imagen 1.4), el menú que aparece al apretar
esta opción ofrece, entre otras operaciones, Cuty Clear, que se usan para borrar; la
forma de aplicarlos consiste en: primero, marcar lo que se desea borrar, posando el
cursor en el paréntesis de la derecha, correspondiente a las instrucciones o resulta-
dos que se deseen desaparecer, después se pulsa Edit y luego Cut o Clear o
Control y X. El icono de Copy se utiliza para reproducir lo que ya se tecleó, proce-
diendo de la misma manera que con las instrucciones anteriores o apretando el
icono de las dos hojas; su instrucción compañera es Paste, que sirve para que
aparezca en el lugar en el que se ponga el cursor lo que se había copiado con la
instrucción anterior.
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/ Teoría de conjuntos 45
IMAGEN 1.4
jlnput
£ite § ü | £ell £raph éction £tyle Qptions
Undo Ctrl+2
Cu]
i JJ
Drl+X
Drl+C
Clear Del
Paúe and Discard
Auto Paste
Find... SNII+F3
FindandReplace...
SelectAHCells Shift-Drl+A
,_IJA-J-.J.J—I-J-JJ:L-J-.J-.L.J-J-.J.J.ÍLJ.
Seiect aJI the cells in the Notebook.
I g f Microsoft Word -oapi.doc ||^MathemaUca foi Win.. 21:05
Cuando se tenga alguna duda se puede recurrir al menú Help (véase imagen
1.5), que presenta una explicación amplia sobre la utilización del paquete y funciona
ofreciendo opciones en menús sucesivos hasta llegar a la respuesta buscada.
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46 Álgebra básica
IMAGEN 1.5
About Mathematica...
V/hv the Beep?... DrkH
Mathematíca Help contents page.
I ]^f Microsoft Word -capi.doc ||^pMathematíca for Win. . 21:09
/ 6.2. Mathematica y teoría de conjuntos
Mathematica utiliza la notación ^r/̂ //jr/V¿7para denotar los conjuntos, esto es, entre
llaves enumera sus elementos, separándolos por comas (véase imagen 1.6).
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/ Teoría de conjuntos 47
IMAGEN 1.6
¡g] £¡le Edil £ell Graph Action Style üptions V¿indow Help -Ifli xj
ú L I JL I I K i l M I fl-IMlS,!,̂ ] S C m i IMiTTtl
Ejemplos de la seccitfn 1.1.2
^7,14,21,28} ={lo5 mineros THturales x =7n, 0<=¿TK=4}
C={Proveedores de El Palacio de Hierro}
D={ciudadaTOs mexicanos}
About M athematica. 15878K Byte$ Ftee
jgB Inicio | ^JDi$code3^(A:l | Jgy Microsoft Word • capVdoc | | ^ Matemát ica for Win.. . ü s ü & J 21:15
Unión de conjuntos
La unión de conjuntos se obtiene a partir de la instrucción
Unionfconjunto,, conjunto2, ..., conjuntoj
Ejemplo
A= {1,3,5,7,9}
B = {2,3,4,5,8}
In[2]:=Union[A,B]
Out[2]={l,2,3,4,5,7, 8,9}
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48 Álgebra básica
Intersección
También maneja la notación comprensiva, definiendo el conjunto a partir de sus
propiedades. La intersección se indica mediante
Intersection[conjunto1? conjunto2,..., conjuntoj
In[3]:=
A = Table[2An-l, {n, 1, 16}]
B = Table[Prime[i], 1,5000}]
In[4]:= Intersection[A, B]
Out[4]={3,7,31, 127,8191}
La función Table[2An-l, {n, 1, 16}] representa una tabla que contiene el con-
junto de números de la forma 2n~\ donde n- 1, ...,16. Análogamente, el conjunto B
está expresado mediante una tabla, que contiene los números primos entre 1 y
5000, y la función intersectionfA, B] devuelve los elementos comunes a ambos
conjuntos.
Complementación
Otra instrucción relativa a conjuntos es la que permite encontrar el complemento
de un conjunto o una colección de conjuntos:
Complementfuniverse, Ap A2,...] proporciona los elementos del primer
conjunto que están fuera de los conjuntos señalados posteriormente.
Ejemplo
In[5]:=
Enteros ={1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15,16, 17, 18,19,20}
Primos = { 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Números ={1,3, 7, 15,31}
In[6]:= Complement[Enteros, Primos]
Out[6]= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
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/. Teoría de conjuntos 49
In[7]:= Complement[Enteros, Primos, Números]
Out[7]= {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
En las imágenes 1.7 y 1.8 se muestra la forma como se introducen las operacio-
nes entre conjuntos y aparecen los resultados.
IMAGEN 1.7
m UrttílletM
mil]:- A = U , 3 , 5, 7, 9}
B = { 1 , 2, 3 , 4 , 5, 7, 8, 9}
Union[A, B]
Intersection[A, B]
Out[1]= ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9}
Out[2]= { 1 , 2, 3 , 4, S, 1, 8 , 9}
Out[3]= { 1 , 2, 3, 4, 5 , 1, 8 , 9}
0ut[4]={ 1 , 3 , 5 , 1, 9}
ln[5]:= L = {0, 3, 5, 11, 15}
F={1, 2, 3, 6, 12}
Union [A, B, L, F]
Intersection[A, B, L, F]
Out[5]= { 0 , 3 , 5 , 1 1 , 15}
Out[6]= { 1 , 2 , 3 , 6 , 12}
Out[7]= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 2 , 15}
Out|8]= {3}
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50 Algebra básica
IMAGEN 1.8
ln[9]:= U - {X, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, XO ,
Out[0]=
Out[1D]=
ln[11]:=
Out[11]=
ln[12]:«
Quil-
ín [13]:-
Out[13]=
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5,
<1O, 13 , 14}
Coir^leirentCa,
{ }
Co^lenentCF,
<2, 6, 12}
Com^leineiit [L ,
{O, 5, 11 , 15}
. 6, 7
B ]
A ] 1
-f % ;-
En las imágenes 1.9 y 1.10 se muestran las operaciones entre conjuntos sugeri-
das en el ejemplo 2 de la sección 1.3. Observe que las etiquetas de los conjuntos C
y D son sustituidas por Fy G, debido a que las letras Cy D son reservadas por el
paquete Mathematica para usos predeterminados internos.
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/ Teoría de conjuntos 51
IMAGEN 1.9
U . {O, 1, 2, 3 , 4 , 5, 6, 7}; A -{O, 1, 2, 3}; B - { 0 , 2 , 4 , ( } ;
F * { 1 , 3 , 5, 7}; G- {7};
Canvlenent[U, A]
, B]
U, F]
Union[A, B]
CoiTi)lejnent[U, Unió*[A, B] ] ;
Coiri>le™>nt[A, B]
IntersectionCA, F]
Intersect ion[B, F]
B, F]
A, G]
F, G]
Union[Intersection[A, F ] , G]
, Ccnt*lei«nt[U, A]]
IMAGEN 1.10
Outp2]« { 4 , 5 , 6 , 7}
Outp3]= { 1 , 3 , 5 , 7}
0utp4]= { 0 , 2, 4, 6}
Outp5]= { 0 , 1 , 2, 3 , 4 , 6}
Outp6]= { 5 , 7}
Outp?]= { 1 , 3}
Outp8]= { 1 , 3}
Outp9]= { }
Outp0]= { 0 , 2, 4, 6}
Outpi]= { 0 , 1 , 2, 3}
Outp2]= { 1 , 3 , 5}
Outp3]= { 1 , 3 , 7}
0utp4]= { 0 , 1 , Z, 3}
J
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3.
'A
}',
'•'',
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52 Álgebra básica
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Tema 1.2.2
1. a) *
bj =
2. a) (f)
c)
d)
ej
f)
h)
0
J)
(í)
(v)
(f)
(í)
(í)
(v)
(f)
3.
Conjuntos
•
{1}
{1,3}
{0,1}
{0,1,3}
{0}
{1}
C
c
{0}
c
t
<t
t
c
{1,0}
c
c
t
Q
t
c
{3,0,1}
c
t
c
c
c
c
Tema ]. 5.1
1. tfy1 185
^ 100
c) Sólo hogar: 115
Sólo juguetes: 290
2. 67.6%
10%
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1. Teoría de conjuntos 53
3. a) 20
b) 0
4. a) 142
^ 126
5. a) 42%
b) 32%
BIBLIOGRAFÍA
Bartle, Bartle, y Sheerbert Donald, Introducción al análisis matemático de una
variable, Limusa, México, 1994.
Kleiman, Ariel, Teoría de conjuntos para economía y administración, Limusa,
México, 1997.
Lipschutz, Seymour, Probabilidad, McGraw-Hill, México, 1994.
Lovaglia, Florence, et al, Álgebra, Haría, México, 1997.
Sauvegrain, Robert, et al, Tópicos de matemáticas para administración y econo-
mía, Trillas, México, 1993.
Weber, E. Jean, Matemáticasparaadministración yeconomía, Haría, México, 1994.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
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CAPÍTULO 2
Sistemas numéricos
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2. SISTEMAS NUMÉRICOS
Al terminar este capítulo, el lector podrá:
Identificar los elementos de los distintos
sistemas numéricos.
Conocer sus propiedades y limitaciones.
Efectuar las distintas operaciones definidas
entre sus elementos.
Dominar las leyes que rigen estas operaciones.
Estructura del capítulo
Introducción
2.1. Números enteros y fraccionarios.
2.2. Números reales.
2.3. Leyes y propiedades.
2.4. Valor absoluto.
2.5. Aplicaciones.
2.6. El paquete Mathematica y los sistemas
numéricos.
Solución a los ejercicios propuestos
INTRODUCCIÓN
Así COMO ESTAMOS acostumbrados a ver el Sol, la Luna y las estrellas en elcielo y no nos llama la atención su existencia ni valoramos su grandeza,también aceptamos nuestro sistema de números. Pero hay una diferencia:
nos vemos forzados al aprendizaje de números y operaciones numéricas cuando
somos pequeños y no podemos apreciarlos, por lo que crecemos en la creencia de
que los números son monótonos y aburridos. Sin embargo, el sistema de números
merece toda nuestra atención, no sólo porque es la base de las matemáticas, sino
porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones.
Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos quienes mejor evaluaron
el prodigio y las virtudes del concepto de número. Hubo otros pueblos bien dota-
dos intelectualmente, pero debido a que no consideraron los números de manera
abstracta, no pudieron comprender su naturaleza. Para los griegos fue un maravi-
lloso descubrimiento el hecho de abstraer de muchas y diversas colecciones de
objetos una propiedad como la cinquidad(á& cinco).
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58 Álgebra básica
En este capítulo se presentan los sistemas numéricos más utlizados, sus propie-
dades y operaciones.
2 .1 . NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS
Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N- {1, 2, 3, 4, .. .},
utilizados para contar y ligados siempre con objetos. Su justificación fue la necesi-
dad de distinguir entre las diferentes cantidades de objetos, pues no es lo mismo
poseer tres animales que cinco y fue necesario diferenciarlos de alguna forma. Por
lo tanto, los números se utilizaban como calificativos de las cosas y era difícil
hacer una separación entre ellos y los objetos.
Por esta dependencia, no fue fácil concebir el número correspondiente a la au-
sencia de cosas, el cero, además de que presenta mayor dificultad distinguir entre
lo que es ausencia de cosas y lo que significa vacío. Los mismos griegos no lo
lograron. Esta distinción puede entenderse claramente en los siguientes ejemplos:
no es lo mismo no tener calificación por haber faltado a un curso que tener cero
después de haber presentado el examen; asimismo, es distinto no tener cuenta en el
banco, y por consiguiente carecer de saldo, que tener en su cuenta bancada un
saldo de cero. Al sistema formado por los números naturales y el cero se le repre-
senta por ^ = N u {0}.
Además, incluyendo al cero en el sistema numérico, fue posible establecer el
método actual de escritura de números: primero se cuentan las unidades, las grandes
cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de dece-
nas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa 252. El 2 de la iz-
quierda significa dos decenas de decenas, el 5 indica cinco veces 10 y el2 de la
derecha simboliza dos unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el sis-
tema de escribir cantidades, pues permite, por ejemplo, distinguir entre 22 y 202.
Como el 10 desempeña un papel fundamental en el sistema numérico, se le llama
sistema decimal, en el cual el 10 es la base. Lo más seguro es que el uso del 10
resulte del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y,
habiendo pasado por todos los dedos de las manos, consideraba que el número al
que había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de un
número es lo que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional.
El sistema decimal de notación posicional que usamos es un legado hindú.
Pero volviendo a los griegos, es interesante resaltar las ideas de los seguido-
res de Pitágoras con respecto a los números; a los pitagóricos les emocionaban
los números y, dado que eran místicos, les asignaban importancia y significados
que ahora juzgamos infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la
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2. Sistemas numéricos 59
naturaleza misma de la razón, pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doc-
trina. El número "dos" lo identificaban con la opinión, ya que ésta implica clara-
mente la posibilidad de que exista opinión contraria y, por consiguiente, hay por
lo menos dos. En el "cuatro" reconocían la justicia, porque es el primer número
que resulta un producto de iguales. Los pitagóricos representaban los números
como puntos en la arena o por medio de piedritas. Para cada número, los puntos
o las piedritas se ordenaban de manera especial. El "cuatro", por ejemplo, se
representaba con cuatro puntos, que sugerían un cuadrado. Así quedaban vincu-
lados también el cuadrado y la justicia. Hasta hoy, "cuadrar" significa en español
ajustar una cosa a otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primer
número masculino, tres, con el primer femenino, dos (los números impares eran
masculinos y los pares, femeninos). El número "siete" indicaba salud y el "ocho",
amistad o amor.
Operaciones aritméticas
Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división
nos resultan tan familiares que no percibimos que son en extremo complejas y, a la
vez, de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos y poco a
poco fueron evolucionando, a medida que mejoraban los procedimientos para
escribir números y aparecía el concepto de cero. Los europeos heredaron de los
árabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron el
sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron que
basarse en este sistema. En parte, porque estos procedimientos eran laboriosos y
en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían el
arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad, los pro-
cedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayo-
ría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales ha-
bilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidos
como practicantes del "arte negro".
Una operación definida entre los números naturales es una función de Nx N{X)
en N(operación: Nx N —> JV), que asocia a cada par de números naturales otro
número llamado resultado de la operación. Se dice que una operación está bien
definida cuando satisface la cerradura, esto es, para cualquier par de números el
resultado es un número del mismo conjunto.
(1) Ax Bes producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es la colección de parejas ordenadas (a, b)
con a e A y óe B.
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60 Álgebra básica
Las operaciones bien definidas entre los números naturales son la adición y la
multiplicación (adición abreviada), pero al trabajar con la suma s de dos números
a y b se observó que no siempre era posible encontrar en los números naturales un
número b que al ser sumado con a diera s. Por ejemplo, no hay un número que
sumado a 5 dé 3, por esta razón la resta no está bien definida entre los números
naturales, ya que para encontrar la solución de b + 5 = 3 es necesario restar 5 de 3,
esto es, b = 3 - 5 y este número no está entre los naturales.
Para que fuera posible restar entre cualquier pareja de números fue necesario
ampliar el sistema numérico y agregar el cero y los números negativos. Cuando el
sistema numérico incluye el cero y los negativos se llama sistema de los números
enteros, Z- {..., - 5 , -4 , - 3 , -2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. En este sistema están bien
definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
2.1.1. Los números negativos
Añadir los números negativos al sistema numérico fue también idea de proceden-
cia hindú. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, en
particular las que se deben. Quizá porque la condición normal de los hindúes era la
de estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que repre-
sentaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se co-
noce como números negativos; para distinguir claramente los números positivos
de los negativos se añade un signo - antes del número para indicar que es negativo.
En los bancos y las grandes empresas comerciales, que manejan constantemente
números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja, mientras para
los positivos utilizan tinta azul.
El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de
ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas
las temperaturas por debajo de 0o y como positivas las que están por encima de
esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar también
con números positivos y negativos, respectivamente. A veces, tiene sus ventajas
representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con números
negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como punto
de partida, el año 50 a.C. se podría indicar como el año -50.
Para sacar el máximo provecho al concepto de números negativos debe ser
posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender
las operaciones con números negativos, así como con números negativos y
positivos simultáneamente, si se tiene en mente el significado físico de estas
operaciones.
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2. Sistemas numéricos 61
Como los números negativos representan deudas, y por lo regular la sustrac-
ción tiene el significado físico de "quitar", entonces la resta de un número negativo
significa la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene, por
ejemplo, $3.00 y le pagan una deuda de $8.00, entonces la cancelación de ésta deja
a la persona con $ 11.00. En términos matemáticos se ve que +3 - (-8) = +11. Y en
palabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número posi-
tivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5.00
por día. A los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $15.00. Si denota-
mos la deuda de $5.00 con -5 y si se endeuda a razón de $5.00 por día durante tres días,
su deuda se representa matemáticamente como 3 (-5) = -15. Así, la multiplicación
de un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor
numérico es el producto de los valores numéricos implicados.