Castegnaro_(Curso de calculo)-financiero-CAP 6 Tasas de descuento

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CAPfTULOVI
TASAS DE DESCUENTO
Objetivo
:> Comprender y manejar las diferentes tasas de descuento
Actualización·Discreta
> Sibuscamos información financiera en cualquier periódico o página .
de internet nos encontramos con diferentes tasas de descuento. En
general, podemos mencionar: ~...,
O.N.A T.E.A. T.E.M~
Recorreremos el mismo camino efectuado en el tema "Tasas de interés".
Diferentes nombres .
• Tasanominalanualde descuento para elplazo de "m"dfast
• Tasa nominal anual de descuento actualizable cada "m" dfa TA¡:¡ =f
(365Im) 1365lm)
• Tasanominal anual de descuento convertible cada "m"dfas .
• 1Tasaanual adelantada actualizj1ble cada "m" df~S . ¡
Tasa convenida o contractual de la operación. Es una
tasa de trabajo y es la tasa que expresada anualmente
actualiza (365/ml veces en un año. según el plazo al que
está referida.
Dato:TNA=36,5% para una operación que actualiza cada 180días de plazo.
Significaque debo hallar el valor actual de un peso futuro una fracción de
período antes: que es un semestre-en nuestro caso- con una tasa para ese
subperíodo -semestre- considerando el año de 365 días:
I
110 AíDA B. CASTEGNARO
-180 días O
" ti
I I
(1
0,365.180) 1
365
4111
./ (1-0,18) 4111 1
0,82 .. 1
De esa forma la operación resulta sincrónica: pudimos adecuar la tasa de
interés parael plazo de la operación que es 180 días.
Si la TNA está referida a un "plazo", este es el intervalo de tiempo al final
del cual se actualiza la operación, quedando graflcado para un año el siguíenre
eje de tiempo: ._~
-365 -180 O
I I '.~ ~,~ ~
365
(1
0,365.180 ro +--(1 0,365.180) 4111 1 ,
365 365
(1_0.18)3651180 .. (1-0,18) 4111 1
0,6687 4111 0,82 4111 1
Tasa proporcíonal de m días denotada como d
'f m ,
T.N.A. para el plazo de "m" días ITASA PROPORCIONAL DE "m" días
Vimos que en nuestro ejemplo:
actualiza cada
f(365/180l=O.36
.'.
TASA SUBPERIODICA l'
Tasaproporcional
d = 0.365 =O 18
180 365 '
180
TASAS DE DESCUENTO
Supongamos que la operación queda definida para un plazo de 30 días el
igual T.N.A. para ese plazo, es decir: f(365/30) = 0,365 -+ buscamos la i",
Que actualiza cada
f(365/30)=O,365
y así sucesivamente..: En un cuadro de valores volcamos los resultados
que surgen según sea el intervalo de tiempo al que se refiere la tasa nominal
anual y nos queda: J
~ -..-... ~... , ". - T.NA . 'd mm
36.') 0,365 0,365 .
180 0,365 0,18
90 0,365 0,09
30 0,365 0,03
-,
15 0,365 0,015 . "_~
1 0,365 0,001
7 • ~... ~ .. o;; .
Podemos concluir que: estas tasas subperiódicas d
m
denominadas "tasa .
proporcionales de m días" corresponden a diferentes períodos o intervalos
de tiempo, pero tienen entre sí la misma relación que entre los períodos. Pues
d30= 0,03 yd l80= 0,18 son tasas proporcionales de 30 días y 180 días, respecti-
vamente. La segunda es 6 veces mayor pues está referida a un intervalo de
tiempo 6 veces mayor que el de 30 días, Dicho <fe"otro modo; el tanto oedés-
cuento correspondiente a diferentes períodos tiene la misma relación que
entre sus períodos y por eso son proporcionales (ej. 0,18/0,03=180/30=6).
pues:
OL._
1365 ).m
d = nr
nr 365
proporcional
f(365/ml
-Vemos "f(365/m)" es un coeficiente Anual Nominal porque no toma en cuenta
el descuento del descuento, al igual que "jl365/m) que no toma en cuenta el in-
terés del interés..
En el ejemplo de la actualización de una unidad de capital a una tasa se-
mestral un año antes, arroja un valor actual de 0,6687 y surge de tomar en
cuenta:
AíOA B. CASTEGNARO
~. Que la T.NA. está referida a un plazo de m días, pues ya expresamos que
es el tanto que actualiza cada"m" días, eso significa que cada m días los inte-
resesse descuentan del capital y para calcular el valor actual debimos .consl-
deránesta convención exponencial actualizando con la tasa d
m
a interés com-
puesto (365/m) veces en el año. _,__ "_
'-",
En este caso "m" se denomina período de actualización· . y:.;.-J
365 es la frecuencia de actualización. - --
m
¿Qué pasaría si deseamos determinar el valor actual de un capital futuro
de $1 que se vaya actualizando mensualmente? Por tal razón utilizamos una
TNA referida a ese plazo. Suponiendo que sea del 36,5% con actualización
mensual. Luego, ¿cuál es la tasa efectiva anual de descuento resultante? ~., .:.
. - - -~
Por otro lado, primero: determinamos cuál es el tanto de descuento efec-
tivo anual que resulta del caso anterior en donde la actualización era cada
semestre.
l'
._.# a) T.N.A.(~)· =0,365"
'''' .•
. -365.
I
363
(
1 0,365.180 )180
365
(1-0,18)3651180
0,6687
é
-180
. I
(
1 0,365.180)
365
(l-0,18)
0,82
o
I
1
_J.')
• iJ " ..;,
;~'.•i·;Y
.i
•• ",:,'..1
..7:fr.n
T.E.A. = .1-0,6687 = 0,3313
b) T.N.A.(~ ) = 0,365
90
-3
60
-2
30
-1
o,, _. _
l.
(1_0,03)(365/301
0,6903
c::==
(l·O,()3)'Z
0,6938
(1'9.365,30)3 (1-0,365.3Ql2 (l-0.365,3Ql 1
365 365 365 hm
(1-0,03)3 (1-0,03)2 (l-O,03) I "~i
\
0,9127 0,9409 0,97 1 '
. -;::==--..
T.E.A. = 1-0,6903=0,3097 ! , ¡
TASAS DE DESCUENTO 113
Entonces: si al capital futuro de una unidad le restamos su valor actual
un año antes de su vencimiento, nos genera una variación absoluta entendi-
da como la disminución que debe hacerse de ese capital futuro, es decir el
Descuento. Dicha variación relacionada con esevalor futuro de una unidad
nos da un tanto efectivo anual de descuento.
I
En general: ,
I
I -(365/30)
I
(1- i . ml 36S1mlJD.ílm).
365
, (1-d )(365130)
2
m
11 ·-2. -1 o
1
(1- fJJllimJ.ml 2 (1- fllliÍmJ.m) 1
365 . 365
..........
... ~.,.1.· I
~- ......
.'.. 365' .[ 1165 ' m ]3~5
TEA=d365 =1-(l-d365)=1-(1-dm ) -;;; =1- 1- ;65
,La tasasubperiódica«; no produce igualesvalores actuales. Vimos que al .
actualizar la tasa d
30
= 0,03. (365/30) veces en el año el valor.actual de 0,6903 .
resultó rriayor al valor actual de 0,6687 resultante de actualizar la tasa d l80=
0,18, (365/180) veces en el año. .. •
. 'Observamos que no da el mismo valor actual actualizando 1 vez al año,
que actualizando cada semestre, que cada mes" .. y podríamos seguir
así:
.• disminuyendo el período de actualización, ó
l'. incrementando la frecuencia de actualización
·La T.E.A. es menor, pues se descuentan más int~ieses sobre los intereses~···
"i El'esquema para calcular la T.E.A. a partir de una TNA es el siguiente:
• Per. Actualiz.
f "-.
, :'r. 'l.
':}1 i.
<
114 AíDA B. CASTEGNARO
Acontinuaciónvolcamos algunos valores hallados, considerando la mis-
ma T.NA pero con diferentes frecuencias de actualización (365/m); o bien
con diferentes períodos de actualización (ni).
··'1..
T.NA T.BA. Valor actual de una
ID de descuento de descuento unidad de capital futuro
1 año antes
365 0,365 0,365 (1-0,365)= 0,635 .
180 0,365 0,3313 (1_0,18f65AHtJ= 0,6687
90 0,365 0,3178 (1-0,09io5!!tJ= 0,6822
30 0,365 0,3097 (l_0,03i6Sl' li= 0,6903
15 0,365 0,3077 (1-0,015i6.<1JS=0,6923
1 0,365 0,3059' (1-0,001)'6.'=0,6941
Observamos el cuadro de valores en donde llegamos a valores actuales
diferentes a partir de una misma T.N .A. que actualiza cada "m" días distintos.
Paresa: . : .. ", \
365 365 365 ' ,•. 365 ~,::i"'; "
(
1- °'336655.1)' >(1 0,365.15)15 >(1- o,365.30)30 > ...(1 0'365.180)IRO:"';'J
365 365 365. ¡':',,' P
0,6941 > 0,6923 > 0,6903 > 0,6687 >...VALqRES¡
ACTUALES
. 1
0,3059 < 0,3077 < 0,3097 < 0,3313 T.E.A'. DEi
DESCUENTO¡
Dada la misma T.N.A. de descuento para m *_~ a medida que ¡miT:E.A.l
Es decir que si aumenta el m (período deactualización) la frecuencia de
actualización disminuye y por lo tanto su TEAaumenta. .
. Por eso es NECESARIO que la T.N.A. esté referida a un plazo determinado
pues produce diferentes tantos efectivos, yesta TNA no sirve para tome de
decisiones. ')
Debemos considerar siempre el período de actualización al que se refiere
~a T.N .A, pues es el que me señala la cantidad de veces que se ac\ualizan los
Intereses. , '
¿Cómo calculamos la T.NA para los distintos "m" en función de la T.EA?
Ejemplo: queremos obtener un 43,28% efectivo anual. '
"
Planteamos la equivalencia financiera que contiene elvalor actualde una
unidad futura de capital en función de la tasa nominal anual para el plazo de
TASAS DE DESCUENTO 115
-m días que será nuestra incógnita y el valor actual en función de la TEAque es
el dato y
'.i
despejamos: - .
·~2'~ ~
..rr.:... .:
-:
,(1'_
--- ..
T.E.A. T.N.A
Forma de cálculo de la TEAen funci6n
m de la T.N.A. para el plazo de "m"dfas
365 0,3097 0,3097 [ 365r651- (1- O, 3097 )365 365 = 0.3097 _
180 0,3097 0,3387 [ IROJ365 3651-(1-0,3097)365 -=0.16705.-
180 180
90 0,3097 0,3542 [( t r 65 .... 36'.- 1- 1-03097365 -=008734.-
., , 90 ." 90.. "
60 0,3097 0,3596 [ ~ ]365 3651-(1-03097)165 -=00591.-
- ' 60' 60
30 0,3097 0,3650 [ 30] 365 3651-(1-03097)365 -=0,03.-
, 30 30
15 0,3097 0,3678 [ ..!1. ]365 3651-(1-0,3097)65 -=0,0151.-
'" 15 . 15
1 0,3097 0,3704
[1-(1-0,3097)~].365=0,001.365
En el cuadro -última colunma- para la determinación'de la T.N.A. apa- ,
recen los siguientes tantos: 0,16705;0,08734; 0,0591;0,03;0,0151 Y0,001: son
las tasas subperiódicas para cada uno dé los "m días": período de actualiza-
ción (intervalo 'de tiempo al que se refiere la operación) . . r •
equivalente o efectiva
,'" ,
..... ~ I ,
pues
dm
m
dm = 1-(1-d365 )365
365
d365 = 1- (1- dm r-;;-
Esas tasas mencionadas producen el mismo valor actual (1-0,3097) un
ano antes; dada esta indiferencia financiera, ambas tasas son equivalentes.
Entonces:
116 AiDA B. CASTEGNARO
vEstas tasas subperiódicas dm que actualizan (365/m) veces en el
. año generan igual valor actual que actualizando la tasa periódi-
ca d365 una sola vez. Se denominan tasas equivalentes.
Alser equivalentes entre sí producen una relación de indiferen-
cia; todas medidas en un momento común generan el mismo
valor actual. -
Tasas Continuas
En lugar de utilizar tasas discretas. Veremos como caso particular para el
análisis:
Actualización Continua
Si la T.NA. se refiere a una frecuencia de actualización ~ 00, lo que síg-
nifi~a.g1Je el período de actualización es un intervalo de tiempo tan pero tan.
pequeño que~Qse trata de una actualización continua y la tasa que actúa
generalmente es conocida como tasa instantánea de descuento.
Siendo f (00) = la tasa nominal instantánea S.
Sitan solo denominamos a la frecuencia de actualización n ya laT.E.A. =d,
entonces:
( f)n [ 1] l-(l-d((l-d)= 1--; despejamosfynosqueda: f=n. l-(I-d);; . n-I _._
Para poder hallar un cociente indeterminado en el límite lo resolvemos
matemáticamente derivando en forma independiente el numerador y el de-
nominador hasta que no quede más la indeterminación (Reglade L' Hopítal).
t."",
'. -
(
1) I -
. Iim 1-(I-dF (-I).(1-d);;.ln(l-d)(-I).n-
2
=-ln(Í-d)
n-t- n-1 (-l).n-2 .
Entonces: lim f (n) = -ln(l- d)
n-----t-
. ....... " .1.1
Con el análisis de la función observamos que por más que incremente la
frecuencia de actualización no aumenta en igual medida la T.N.A., pues tiene
un límite.
Entonces si tuviésemos que graficar la función de la T.N.A. deberíamos
analizar las derivadas para saber que se trata de una función creciente y con-
cava al origen. .
Siderivarnos esta función y = u.ven donde:
y'=u'.v+u.v'· u=l-(l-d)l/n -v=n
u'= -(l-d)l/n.ln(l-d) (-1) n-2v'=1
TASAS DE DESCUENTO
, ,
d:~) =[-(I-d);' .ln (l-d2(-I).n-2 Jn+[I-(l-d);']
df(n) - .!. . I .!.
-=(I-d)n.ln(l-d)n- +l-(l-d)n
dn .
. 117
1 I
. /\ ~
,,'!,
df(n) !.
-.'-= (l-d)n [In(l-d)n-I -IJ+l
C, :.,·i••
dn _ ~ .'. .
~ ...'-.0,...... ~ ,
---df(~) =(l_d)+.[ln(l-d) 1]+1 >0 Función creciente
dn n
d2~~n) (I-d);' ln(l-d)(-1).n-2 [,In(In-~) 1]+ (l-d);' (-l).n-2In(l - d )
, I
., d2f(n) = -(l-d);' In(l-d) [In (l-d)
~~r:r ., dn .n2 "n
-<<~ "t _ .' I • ~'~ < ~)t· ~ ~
d 2f (n) -(l-d);;[ln(l~d)r"
d 3' (O
n n \
1'" ~
"
Función convexa
...........,..
Para saber los valores particulares de dicha función y proceder a su gráfi-
ca, ya tenemos n tendiendo a infinito y nos falta n ~ O.
. [1-(I-d);,J11m =0
n~() n- I
Entonces:
n f(n)
o . f(O)=O
. 00 f (oo)=-ln(1-d) = In(1-d)-1 = In(1+i)= O
Oya la habíamos visto al estudiar la función j(n) y la hemos denominado
"tasa nominal instantánean• .
u-n =eO
(1+i)-1 =e-O
(1-d) =e-O
118
~"
.orr.
AíDA B. CASTEGNARO
f(n}
1"(1+i)=o 1- "_..__ _ _~ __ __ .
f(l) = d - ..__..,-_. I '.' •
I
i
o 1 n
Del gráfico se observa que para conseguir el mismo rendimiento efectivo
la tasa nominal anual debe aumentar si aumenta n (frecuencia de actualiza-
ción). Pero tiene un límite que es el In (l+i)~. ", ¡
La función es asintótica. Tiene como asíntota ln(l+i)~n~oo
Vemos que:
f(l)=::~ .< f(Z) <f(3) < f(4) ..< f(oo)
Ejemplo:Siquiero obteneruna tasa efectiva anual de descuento deI9,O~%.
¿Cuálserá el valor de la T.N.A. considerando diferentes frecuencias de actua-
lización -n-? Determine también para los casos singulares en que la fre-
cuencia de capitalización tome valores como Oe oo.
n
o f(O)=O
1 f(1)=d=O,0909
2
3 f(3)=3.[1-(1-d)~]=0,09381
4 f(4)= 4.[1-(1-dJ¡] =0,09~2
365 f(365)=365{1-(1-d)3~5 ]=0,095287
(X) f (00)= -ln(l-d) = 0,09531
Equivalencias entre los distintos Factores de actualizaci6n
[
1365 . m J31~5 365
(l ~ d )= 1--,'" =(l-d )--;;;- =e-6
365 365 ni
I ~- ..
..
" -J
: ..
TASAS DE DESCUENTO
,Aplicaciones
-t : I.,1.
¡¡~ el) Si la tasa nominal anual de descuento para el plazo de 90 días es del
90%. Cuál es la"correspondiente tasa efectiva anual de descuento.
'~:~-CJ1-~ Rta.: 0,63855 ~ ;. "' +
365
ut..:,':d(36si'= "1"-(1- o,~~:o YJ =1-0,3614496=0,63855
.-" r!J ','. '
'--2) Si la tasa nominal anual de descuento para el plazo de 18 días es del
21,40%. Cuál es la correspondiente tasa efectiva mensual y la tasa efec-
tiva de 18 días de descuento.
Rta. : dt3J) = 0,01753; d(18)=0,01055
JO
d =1-(1- 0,2140.18 )Tii
JO 365
(1 '
.:' ~ ·301
dJo =1-(1-0,0l05534)1H en donde vemos que d 18 = 0,0105534
, .d dO 01753 ~;
30 '
¡
3) Si la tasa efectiva anual de descuento es del 40,56%. Determine la co- \.
rrespondiente T.N.A. para operaciones de descuento a: al 45 días de
"'~I' f·plazo; b) 10 días de plazo.
Rta.: d
45
= 0,5039; dIO = 0,5165
(
1365.45 J~:
1 1-0,4056= 1 ----""45__
" ¡ ,.1, '-1 365
1:65 == [1- (I - O, 4056 )~]I. 365 = 0,06212. 365 .:'0,5039
45 . 45· 45
, (1365 .10 ]~~
1-04056=1- 1_----"'10__
, 365
, .
[
.!!:.] 365 365/165 = 1-(1-0,4056)365 [·-=0,014151· -=0,5165
10 10 10
4) Si por un valor a cobrar el 07/07 por $ 1.800 recibí $ 1.724,4el día 1/06,
determine:
a) la tasa efectiva anual de descuento resultante;
120 AioA B. CASTEGNARO
b) la tasa efectiva mensual de descuento;
c) la tasa de descuento nominal anual para el plazo de la operación;
d) la tasa de descuento equivalente correspondiente al plazo de la
operación. . ' .
Rta.: a)d365= 0,3527; b) d30= 0,0351; c)f (365/36) = 0,4258 Yd) d36= 0,042
1°) Debemos hallar el plazo de la operación. La negociación se hizo 36
días antes del vencimiento. n=36
2°) Si medimos la operación en los extremos tenemos la tasa de des-
cuento por el plazo de la operación. I
01,
1 1
17:::4,4 1.800
D=1800-1724,4=75,6
: 1"-,
··Si la variación absoluta-es de $ 75,60. Nos preguntamos cuánto repre-
senta en función al Valor Nominal de $ 1.800.
Nos arroja una variación relativa por el plazo total de 36 días -en
tanto por uno- del:
0042 = 75,60
, 1800
Sid36= 0,042-tasa de descuento de la operación-o Proporcional con
respecto a la T.N.A.
f 365. = 0,042 . 365 = 0,4258
JO 36
Partimos de la TNA de descuento y hallo la tasa efectiva mensual y
anual de descuento.' .
d = 1 -[1 - 0,4258. 36J~ = 035273~ ,
365
d30 = 1 • rl - 0.4258 . 36~ ¡e =0,3512l 365_ '~ .