S07 s2 - Problema de Transporte y Distribución

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INVESTIGACIÓN 
OPERATIVA
Problema de Transporte y 
Distribución
“Programación Lineal"
S07.s2 
La competencia que el 
estudiante debe lograr al 
final de la sesión es:
“Al finalizar la sesión el alumno 
conoce y aplica el Problema de 
Transporte y Distribución y lo 
resolvemos por medio del 
modelo de programación lineal.
Problema del transporte o distribución
El problema del transporte o distribución, es un problema de
redes especial en programación lineal que se funda en la
necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado
fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino.
Los principales objetivos de un modelo de transporte son la
satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los
destinos, y claro está, la minimización de los costos
relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Problema del transporte o distribución
El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es
amplio y puede generar soluciones atinentes al área de
operaciones, inventario y asignación de elementos.
El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se
puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin
embargo su estructura permite la creación de múltiples
alternativas de solución tales como la estructura de asignación
o los métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina
Noroeste o Mínimos Costos.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en
la economía actual, dejando como es de prever múltiples casos de éxito a
escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Forma Matricial
Una manera de representar el problema de transporte es la llamada forma
matricial que es más adecuada para este problema. La forma matricial también
llamada tabla de costes aparece en la Figura. En la tabla aparecen las ofertas,
las demandas y los costes de transporte.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo: Forma Matricial
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Problema de transporte mediante programación lineal
Como se mencionó anteriormente, la programación lineal
puede ser utilizada para la resolución de modelos de
transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos
mediante el Método Simplex, si puede ser de gran utilidad
la fase de modelización, la programación carece de la
practicidad de los métodos de asignación, pero puede ser
de gran importancia dependiendo de la complejidad de las
restricciones adicionales que puede presentar un problema
particular.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Problema de transporte mediante programación lineal
Como se mencionó anteriormente, la programación lineal
puede ser utilizada para la resolución de modelos de
transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos
mediante el Método Simplex, si puede ser de gran utilidad
la fase de modelización, la programación carece de la
practicidad de los métodos de asignación, pero puede ser
de gran importancia dependiendo de la complejidad de las
restricciones adicionales que puede presentar un problema
particular.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
El Problema
Una empresa energética colombiana dispone de cuatro
plantas de generación para satisfacer la demanda diaria
eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80,
30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las
necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día
respectivamente. Los costos asociados al envío de
suministro energético por cada millón de KW entre cada
planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente
tabla.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las 
necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos 
asociados al transporte.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Solución mediante Programación Lineal
El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la
cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, como es el
caso de este ejercicio, sin embargo trasladar esta suposición a
la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear
orígenes y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o
demanda.
Como ya lo hemos planteado en módulos anteriores el primer
paso corresponde a la definición de las variables, regularmente
se le denomina a las variables de manera algebraica Xi,j donde
i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este caso i
define el conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j
define el conjunto {Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla}. Sin
embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un
número respectivo, por ende la variable X1,2 corresponde a la
cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta 1
a la ciudad de Bogotá.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de
oferta y demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el
factor entre fuentes y destinos, en este caso 16 restricciones.
Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo ≤:
X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 ≤ 80
X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 ≤ 30
X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 ≤ 60
X4,1 + X4,2 + X4,3 + X4,4 ≤ 45
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Restricciones de demanda, las cuales son de signo ≥:
X1,1 + X2,1 + X3,1 + X4,1 ≥ 70
X1,2 + X2,2 + X3,2 + X4,2 ≥ 40
X1,3 + X2,3 + X3,3 + X4,3 ≥ 70
X1,4 + X2,4 + X3,4 + X4,4 ≥ 35
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Luego se procede a formular la función objetivo, en la cual
se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.
MIN Z = 5X1,1 + 2X1,2 + 7X1,3 + 3X1,4 + 3X2,1 + 6X2,2 +
6X2,3 + 1X2,4 + 6X3,1 + 1X3,2 + 2X3,3 + 4X3,4 +
4X4,1 + 3X4,2 + 6X4,3 + 6X4,4
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
X1,1 X1,2 X1,3 X1,4 X2,1 X2,2 X2,3 X2,4 X3,1 X3,2 X3,3 X3,4 X4,1 X4,2 X4,3 X4,4
MIN 
Z
5 2 7 3 3 6 6 1 6 1 2 4 4 3 6 6
R1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 80
R2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 <= 30
R3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 <= 60
R4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 <= 45
R5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 >= 70
R6 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 >= 40
R7 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 >= 70
R8 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >= 35
Luego se puede proceder al uso de la herramienta PHP Simplex
para resolver el modelo realizado, aquí están los resultados.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Este problema presenta una solución óptima alternativa, aquí los resultados.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Red solución:
Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser
bastante interesantes, pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en las
fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo justifica.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 1.
Una empresa debe planificar la producción de un
artículo para los 4 trimestres del próximo año. Puede
estimar la demanda en las siguientes unidades: 200,
150, 200 y 100 en cada uno de los trimestres. La
capacidad de producción está limitada a 150
unidades en cada trimestre. Las demandas de un
trimestre no se pueden satisfacer en trimestres
posteriores. El coste unitario de producción es de 2
unidades, pero en el caso de que haya
almacenamiento se incrementa en 0.5 unidades en
cada periodo por cada unidad almacenada.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Consideramos que tanto los orígenes como los destinos son los 4
trimestres.
Definimos xij , i = 1, . . ., 4, j = 1, . . ., 4, como el número de
unidades quedeben producirse en el trimestre i para satisfacer la
demanda del trimestre j.
• Oferta de los orígenes: 150, 150, 150, 150.
• Demanda de los destinos: 200, 150, 200, 100.
• El coste de producción cij = 2 si i = j, y, j = 1, . . ., 4.
• El coste cij = coste de producción + coste de almacenamiento si i
< j.
Por ejemplo c12 = 2.5, c13 = 3. De la misma forma se calculan el
resto de costes.
• Si i > j asignamos a cij un valor M suficientemente grande para
evitar que xij sea básica
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial cuyo objetivo es minimizar es la
siguiente.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
Ejemplo 2.
Una empresa produce un único artículo en tres
plantas, A1, A2 y A3. La capacidad de producción
mensual de la empresa está limitada a 1500 unidades
mensuales en cada una de las plantas. La empresa
tiene cuatro clientes mayoristas cuyas demandas
mensuales son 1000, 1200, 1500 y 1000 unidades
respectivamente.
El beneficio unitario que le proporciona su producto,
considerados los costes de producción y el precio de
venta, es de 110 unidades. Los costes de envío a los
4 clientes mayoristas que la empresa tiene vienen
dados por la siguiente tabla.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
El objetivo de la empresa es organizar la producción en
cada uno de los meses para obtener el máximo beneficio.
• Ofertas: 1500, 1500, 1500.
• Demandas: 1000, 1200, 1500, 1000.
• Los valores cij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 de la
siguiente tabla son los beneficios de producir una unidad
en la planta Ai y enviarlo al cliente j para su venta. Por
ejemplo,
c11 = 110 − 30 = 80, c12 = 110 − 10 = 100, c33 = 110 − 15 = 95.
El resto de beneficios se calculan de forma similar.
Sesión 11: Modelo de Transporte y Distribución
La forma matricial para este problema cuyo
objetivo es maximizar es la siguiente:
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