CLASE EXPOSITIVA 3_MATE 2

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Tema: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
	 DE UNA FUNCIÓN
 
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN
-CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
-CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA
INDICE
https://www.youtube.com/watch?v=5mxPjP5Wxq4
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
FUNCIÓN CRECIENTE
FUNCIÓN DECRECIENTE
X1<X2  f(X1)>f(X2) 
INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
es decreciente en el intervalo
es creciente en el intervalo
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Recta tangente con pendiente positiva
Recta tangente con pendiente negativa
RECORDAR QUE, LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE ES LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN m=f’(x)
crece
decrece
crece
decrece
CRITERIO DE LA 
PRIMERA DERIVADA
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea y=f(x) una función, entonces:
en un intervalo
1. si
en un intervalo
2. si
La función es decreciente en dicho intervalo
La función es creciente en dicho intervalo
PASOS PARA EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
1°) Hallar la primera derivada 
2°) Encontrar los intervalos de crecimiento, resolviendo la inecuación
3°) Encontrar los intervalos decrecimiento, resolviendo la inecuación
4°) Cuadro resumen del paso 2 y 3
5°) Graficar la función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
EJEMPLO
EJEMPLO: Analizar el decrecimiento y crecimiento de la función
1°) Derivamos: 
2°) analizamos el crecimiento de la función, resolviendo la inecuación 
+
+
-
3°) analizamos el decrecimiento de la función, resolviendo la inecuación 
4°) Resumen
	crece	decrece	crece
			
			
Usando el método del aspa simple, se tiene:
(3X-2)=0 y (X +2)=0
CONTINUA
	x	f(x)
	-2	10
	2/3	0.96
5°) Graficamos: 
(-2;10)
(2/3;0.96)
X
Y
2/3
0.96
-2
10
	crece	decrece	crece
			
			
Derivada de orden Superior
EJEMPLO: Analizar el decrecimiento y crecimiento de la función
1°) Derivamos: 
2°) analizamos el crecimiento de la función, resolviendo la inecuación 
+
+
-
-
3°) analizamos el decrecimiento de la función, resolviendo la inecuación 
4°) Resumen
	decrece	crece	decrece	crece
				
				
Aplicando el métodos de puntos críticos
Derivada de orden Superior
	x	f(x)
	-1	0
	0	1
	1	0
5°) Graficamos: 
(-1;0)
(0;1)
(1;0)
X
Y
	decrece	crece	decrece	crece
				
				
CASO APLICATIVO
Durante varias semanas el MTC ha estado registrando la velocidad (V) del flujo de tráfico (en km/h) en la Panamericana Norte. Los datos indican que entre las 1:00 pm y las 6:00 pm la velocidad del tráfico es:
V(t) = t3 – 10.5t2 + 30t + 20
donde t es el número de horas después del mediodía
a. ¿En qué instante la velocidad de flujo alcanza su nivel máximo y su nivel mínimo, es decir se mueve más rápido o más lento?
b. ¿Cuál es la velocidad máxima y mínima de flujo? Graficar
Instante en el que la velocidad de flujo alcanza su nivel máximo y mínimo: 
Luego para encontrar puntos críticos:
 A las 2 pm y a las 5 pm la velocidad de flujo es máxima o mínima respectivamente
 La velocidad máxima de flujo es 46 km/h y se da a las 2 pm y la velocidad mínima de flujo es de 32,5 km/h y se da a las 5 pm.
CASO APLICATIVO
Derivada de orden Superior
Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.
 
En general, si entonces , denota la enésima derivada de la función f; el cual se calcula derivando la función f, sucesivamente, n veces.
Derivada de orden Superior
Entonces, dada una función f(x):
f’(x) es la primera derivada de f(x)
f’’(x) es la segunda derivada de f(x)
f’’’(x) es la tercera derivada de f(x)
Por ejemplo: Calcula la segunda derivada de f(x)=3x4+x6-4x+1
Solución:
 f(x)=3x4+x6-4x+1
f’(x)=12x3+6x5-4 … Primera derivada
f’’(x)=36x2+30x4 … Segunda derivada
f’’’(x)= 72x+120x3 ….. Tercera derivada
Derivada de orden Superior
Por ejemplo: Calcula la tercera derivada de:
 f(x)=4x5-2x4+5x2+3x-1
Solución:
f(x)=4x5-2x4+5x2+3x-1
f’(x)=20x4-8x3+10x-3x-2 … Primera derivada
f’’(x)=80x3-24x2+10+6x-3 … Segunda derivada
f’’’(x)=240x2-48x-18x-4 … Tercera derivada
CRITERIO DE LA 
SEGUNDA DERIVADA
APLICACIONES A LOS NEGOCIOS
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
MÁXIMO RELATIVO O LOCAL Y MÁXIMO GLOBAL O ABSOLUTO
MÍNIMO RELATIVO O LOCAL Y MÍNIMO GLOBAL O ABSOLUTO
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea y=f(x) una función dos veces derivable y a un punto crítico de f, es decir, , entonces:
1. si
2. si
La función f tiene un mínimo relativo en a, cuyo valor mínimo es f(a).
La función f tiene un máximo relativo en a, cuyo valor mínimo es f(a).
PASO PARA HALLAR LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN (MÁXIMO O MÍNIMO)
 Hallar la primera y segunda derivada
 Hallar los puntos críticos, es decir, resolver la ecuación: 
Aplicar el criterio de la segunda derivada en cada punto crítico “a” hallado en la parte 2.
Hay mínimo
Hay máximo
1.
2.
3.
4.
Resumen y grafica de la función
26
EJEMPLOS
Calcular el máximo y/o mínimo valor de 
1.
2.
3.
Resolver:
Calculamos la primera y segunda derivada
Analizamos la segunda derivada en cada punto crítico:
Los puntos críticos son 0 y 2
En x=0:
Entonces hay un máximo en x=0, cuyo valor es f(0)=0
En x=2:
Entonces hay un mínimo en x=2, cuyo valor es f(2)= -4
4.
	Punto crítico (corte)	0	2
	Signo de (x)		
	Tipo de extremo	Máximo relativo	Mínimo relativo
	Valor del punto extremo	f(0)=0
	f(2)= -4
Resumimos y hacemos su gráfica:
GRÁFICA DEL EJEMPLO:
(0;0)
(2;-4)
X
Y
-4
2
10
decrece
crece
crece
Máximo relativo
Mínimo relativo
	Punto crítico (corte)	0	2
	Signo de (x)		
	Tipo de extremo	Máximo relativo	Mínimo relativo
	Valor del punto extremo	f(0)=0
	f(2)= -4
28
Calcular el máximo y/o mínimo valor de 
1.
2.
3.
Resolver:
Primera y segunda derivada
Analizamos la segunda derivada en cada punto :
Los puntos críticos son 0 y 2 y -2
En x=0:
Entonces hay un máximo en x=0, cuyo valor es f(0)=3
En x=2:
Entonces hay un mínimo en x=2, cuyo valor es f(2)= -13
4.
	Punto crítico	-2	0	2
	Signo de f’’(x)			
	Tipo de extremo	Mínimo relativo	Máximo relativo	Mínimo relativo
	Valor del punto extremo	f(-2)= -13
	f(0)=3
	f(2)= -13
Resumimos y hacemos su gráfica:
En x=-2:
Entonces hay un mínimo en x=-2, cuyo valor es f(2)= -13
EJEMPLOS
GRÁFICA DEL EJEMPLO:
(0;3)
(2;-13)
X
Y
-13
2
(-2;-13)
Máximo relativo
Mínimo relativo
Mínimo relativo
crece
decrece
decrece
crece
	Punto crítico	-2	0	2
	Signo de f’’(x)			
	Tipo de extremo	Mínimo relativo	Máximo relativo	Mínimo relativo
	Valor del punto extremo	f(-2)= -13
	f(0)=3
	f(2)= -13
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.ESPINOZA E. (2015). Análisis Matemático I. Editorial Mir. Lima-Perú. 3ra. Edición. 
2. HAASER – LA SALLE – SULLIVAN (2015). Análisis matemático. Colombia. Editorial Trillas – Volumen 2. 
3. LEITHOLD L. (2014). El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. México. 6ta. Edición 
30
21
3
20
30
5
10
2
2
3
+
-
=
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+
+
-
=
t
t
t
V
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