CLASE EXPOSITIVA 10_MATE 2

Vista previa del material en texto

Tema: INTEGRALES ( PARTE 2)
 
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN
INDICE
Integrales definidas. Definición y propiedades.
Teoremas fundamentales de la integral.
2)
https://www.youtube.com/watch?v=zuo_qEBeZSM
	
4
 	SUMA DE RIEMANN
Para entender la suma de Riemann procedemos a analizar el comportamiento del valor del valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.
A= Suma de pequeñas áreas.
A
n = 3 rectángulos
La integral definida plantea el límite de una suma de pequeñas áreas. 
Integrando
Límite 
Superior
e Inferior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
ELEMENTOS DE UNA INTEGRAL DEFINIDA
Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]
y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales
=
=
=
0
u = 3 - 2x
du = - 2 dx
=
=
=
=
0
0
1
1
2
1
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene:
Propiedad de linealidad
Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: 
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
Ejemplo:
Si: 
y se quiere hallar: 
 
3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x)  f(x) para todo x  [a, b], se tendrá:
Teorema de comparación
Sea f una función integrable en [a, b], entonces:
En el cálculo de áreas de regiones planas se consideran dos casos:
1er. Caso.-
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
A(R)
EJEMPLO: 
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
EJEMPLO: 
Calcular el área de la región comprendida entre el eje X=0 y la recta y=2x desde 
Y= 0 hasta y=20 
 ]
A= 100 u2
0
20
2do. Caso.-
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
EJEMPLO: 
Rpta: 2 (4/3) = 8/3 u2
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
EJEMPLO: 
Calcular el área de la región comprendida entre el eje y=0 , la recta y=x y la curva 
X= -y2 + 2
SOLUCIÓN
A= u2
0
1
= - y2 + 2
A(R)
 + 2y - ]
Observación.- En el caso en que f(x)<=0, la región R está debajo del eje X en ese caso el área es calculado por:
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
EJEMPLO 
+
-
Ejemplo.- 
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4x – x2, y el eje de abscisas.
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de Regiones Planas
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.ESPINOZA E. (2015). Análisis Matemático I. Editorial Mir. Lima-Perú. 3ra. Edición. 
2. HAASER – LA SALLE – SULLIVAN (2015). Análisis matemático. Colombia. Editorial Trillas – Volumen 2. 
3. LEITHOLD L. (2014). El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. México. 6ta. Edición 
ò
b
a
dx
)
x
(
f
ò
=
-
=
b
a
b
a
)
x
(
F
)
a
(
F
)
b
(
F
dx
)
x
(
f
ò
+
p
0
)
1
(
.
1
dx
x
ò
-
1
0
2
3
.
2
dx
x
ò
ò
ò
b
+
a
=
b
+
a
b
a
b
a
b
a
dx
)
x
(
g
dx
)
x
(
f
dx
))
x
(
g
)
x
(
f
(
ò
ò
ò
=
+
c
a
b
a
b
c
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
b
a
c
,
Î
î
í
ì
£
<
-
£
£
=
2
1
 
;
2
1
1
1
-
 
;
 
2
-
x
 
 
)
(
x
x
x
x
f
ò
ò
ò
-
-
-
+
-
=
2
1
1
1
2
1
)
2
1
(
)
2
(
)
(
dx
x
dx
x
dx
x
f
(
)
ò
-
2
1
dx
x
f
ò
ò
³
b
a
b
a
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
g
ò
³
£
£
³
b
a
0
 
dx 
f(x)
 
entonces
 
b,
x
a
 
cuando
 
0,
f(x)
 
 
.
4
Si
ò
=
a
a
dx
x
f
0
)
(
.
5
ò
ò
-
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
.
6