Límites y continuidad en varias variables

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Resumen 
Invierno 2019 
Límites y continuidad en varias variables 
Los límites y la continuidad son conceptos fundamentales en el análisis 
matemático. En el caso de las funciones de varias variables, estos conceptos se 
extienden de manera natural a los espacios euclidianos de n dimensiones. 
Definición 
Sea f:D→Rn una función de n variables, donde D es un subconjunto de Rn. Se 
dice que f(x) tiene un límite en a, denotado por limx→af(x), si existe un número L 
tal que, para cualquier ϵ>0, existe δ>0 tal que, para todo x∈D con ∥x−a∥<δ, se 
tiene ∥f(x)−L∥<ϵ. 
En otras palabras, el límite de f(x) en a es L si, para cualquier vecindad 
suficientemente pequeña de a, todos los puntos de f(D) dentro de esa vecindad 
están a una distancia menor que ϵ de L. 
Importancia 
Los límites y la continuidad son importantes en una gran variedad de campos, 
entre los que se incluyen: 
• Matemáticas: Los límites y la continuidad se utilizan en el cálculo, el análisis 
matemático, la geometría diferencial y la teoría de funciones. 
• Física: Los límites y la continuidad se utilizan para modelar el 
comportamiento de los sistemas físicos, como los fluidos, los campos 
eléctricos y los campos magnéticos. 
• Ingeniería: Los límites y la continuidad se utilizan para diseñar y analizar 
sistemas e instrumentos. 
• Ciencias naturales: Los límites y la continuidad se utilizan para modelar el 
comportamiento de los sistemas naturales, como la evolución, el 
crecimiento y la difusión. 
Aplicaciones actuales 
Algunos ejemplos de aplicaciones de los límites y la continuidad en varias 
variables en la actualidad son: 
• En física, se utilizan para calcular la fuerza de gravedad, la presión de un 
fluido y el campo eléctrico de una carga. 
• En ingeniería, se utilizan para calcular el estrés en una estructura, la 
temperatura en un material y la eficiencia de un motor. 
Resumen 
Invierno 2019 
• En ciencias naturales, se utilizan para calcular el crecimiento de una 
población, la propagación de una enfermedad y el cambio climático. 
Continuidad 
Una función de n variables se dice que es continua en a si su límite en a existe y 
es igual a f(a). 
En otras palabras, una función es continua en a si, para cualquier vecindad 
suficientemente pequeña de a, todos los puntos de f(D) dentro de esa vecindad 
están contenidos en f(D). 
Cálculo de límites 
Existen una serie de métodos para calcular límites de funciones de varias 
variables. Los métodos más comunes son: 
• Límite directo: Este método consiste en aproximar el límite de la función a 
medida que x se acerca a a. 
• Límite indirecto: Este método consiste en utilizar los límites de las funciones 
compuestas o de las funciones inversas. 
• Límite por partes: Este método consiste en descomponer la función en 
partes más sencillas para facilitar el cálculo del límite. 
Conclusiones 
Los límites y la continuidad son conceptos fundamentales en el análisis 
matemático de funciones de varias variables. Se aplican para estudiar el 
comportamiento de las funciones en sus puntos límite y para establecer 
propiedades de las funciones.