CLAVE TEMA 2 Examen final 12-12-2018

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MATEMÁTICA 
CLAVE DE CORRECCIÓN 
EXAMEN FINAL – TEMA 2 
12/12/2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 
Para analizar el crecimiento/decrecimiento de la función estudiamos el signo de la derivada 
primera. 
La derivada primera de la función es 
𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 2 
El dominio de la derivada primera es el conjunto de los números reales. 
Los candidatos a máximos/mínimos son aquellos puntos cuya abscisa verifica que 𝑓′(𝑥) = 0. 
Esto se verifica si 
−2𝑥 + 2 = 0 ↔ 𝑥 = 1 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos determinados por este valor: 
(−∞; 1) ; (1; +∞) 
 0 ∈ (−∞; 1) y 𝑓′(0) = 2 > 0. En este intervalo la función es creciente. 
 3 ∈ (1; +∞) y 𝑓′(3) = −4 < 0. En este intervalo la función es decreciente. 
 La función tiene un máximo absoluto en el punto (1; 𝑓(1)) = (1; 9) 
 
Otra forma de resolución 
 
La función 𝑓 es una cuadrática con coeficiente principal negativo. Su dominio es el conjunto de los 
números reales. 
Su gráfico es una parábola que tiene un máximo en su vértice (por ser el coeficiente principal 
negativo). 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento y las abscisas de los máximos y mínimos locales (si 
existen) de la función 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 8 
Justificar la respuesta. 
 
 
 
2 
 
 
El vértice de la parábola 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8 es: 
𝑥𝑣 = −
2
2 ∙ (−1)
= 1 
𝑦𝑣 = −1
2 + 2(1) + 8 = 9 
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = (1; 9) 
 
Para valores de 𝑥 < 1, es decir, en el intervalo (−∞; 1) la función es creciente. 
Para valores de 𝑥 > 1, es decir, en el intervalo (1; +∞) la función es decreciente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
Primero hallamos una primitiva de ∫ 𝑥2 + 𝑎𝑥 𝑑𝑥 
∫(𝑥2 + 𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 +
𝑎
2
𝑥2 + 𝐶 
Aplicando la regla de Barrow 
∫(𝑥2 + 𝑎𝑥)
3
0
𝑑𝑥 = (
1
3
𝑥3 +
𝑎
2
𝑥2)|
0
3
=
1
3
33 +
𝑎
2
32 = 9 +
9
2
𝑎 
 
Como 
∫(𝑥2 + 𝑎𝑥)
3
0
 𝑑𝑥 = 1 
tenemos que 
9 +
9
2
𝑎 = 1 ⟺ 
9
2
𝑎 = −8 ⟺ 𝑎 = −
16
9
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular el valor de 𝑎 para que 
∫(𝑥2 + 𝑎𝑥)
3
0
 𝑑𝑥 = 1 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (2; 𝑓(2)) es igual a 
𝑓′(2). 
Como debe tener igual pendiente que la recta 𝑦 
(𝑏 − 1) = 𝑓′(2) 
 
La derivada primera de la función 𝑓 es 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒𝑥
2−4 
 
Entonces 
𝑏 − 1 = 2 (2) 𝑒(2)
2−4 
𝑏 − 1 = 4 → 𝑏 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el valor de 𝑏 ∈ ℝ de modo tal que la recta tangente a 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−4 
en 𝑥 = 2 tenga la misma pendiente que la recta 𝑦 = (𝑏 − 1) ∙ 𝑥 + 4 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
Para que el producto (6 + 3𝑥)(𝑥 − 1) ≥ 0 tenemos dos alternativas posibles: 
 
 (6 + 3𝑥) ≤ 0 y (𝑥 − 1) ≤ 0 
6 + 3𝑥 ≤ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −2 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; −2] 
𝑥 − 1 ≤ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; 1] 
 
 
Entonces 
𝑥 ∈ (−∞; −2] ∩ (−∞; 1] = (−∞; −2] 
 
 (6 + 3𝑥) ≥ 0 y (𝑥 − 1) ≥ 0 
6 + 3𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −2 ⟺ 𝑥 ∈ [−2; +∞) 
𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ∈ [1; +∞) 
Entonces 
𝑥 ∈ [−2; +∞) ∩ [1; +∞) = [1; +∞) 
 
Luego, los elementos del conjunto son aquellos que satisfacen alguna de las alternativas 
anteriores: 
 
{𝑥 ∈ ℝ ∶ (6 + 3𝑥)(𝑥 − 1) ≥ 0} = (−∞; −2] ∪ [1; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Expresar el conjunto 𝐵 como intervalo o unión de intervalos siendo 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ /(6 + 3𝑥)(𝑥 − 1) ≥ 0}