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Clave de corrección – Segundo turno Tema 4 1 Matemática Clave de corrección segundo parcial Segundo turno 12/06/2019 Tema 4 Una condición necesaria para que la recta 𝑥 = 2 sea una asíntota vertical es que la función no esté definida en dicho valor. En este caso, para que la función no esté definida en 𝑥 = 2 debe ocurrir que 12 ∙ (2) − 4𝑏 = 0 ↔ 24 − 4𝑏 = 0 ↔ 𝑏 = 6 La función queda como 𝑔(𝑥) = 3𝑥3 − 1 12𝑥 − 24 Calculamos el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 2. lim 𝑥→2 3𝑥3 − 1 12𝑥 − 24 = ∞ ya que cuando 𝑥 tiende a 2 el denominador tiende a cero y el numerador a un número estrictamente mayor a cero. Recordamos que la recta 𝑦 = 𝑎 es una asíntota horizontal de la función si 𝑓 si lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝑎 (el límite es un número finito) En este caso Ejercicio 1 (2 puntos) Hallar el valor de la constante 𝑏 ∈ ℝ para que la recta de ecuación 𝑥 = 2 sea una asíntota vertical de la función 𝑔(𝑥) = 3𝑥3 − 1 12𝑥 − 4𝑏 Decidir, justificando con el cálculo del límite que corresponda, si la función tiene asíntotas horizontales. . Clave de corrección – Segundo turno Tema 4 2 lim 𝑥→∞ 3𝑥3 − 1 12𝑥 − 24 = lim 𝑥→∞ 3𝑥2 − 1 𝑥 12 − 24 𝑥 = +∞ ya que 24 𝑥 𝑥→∞ → 0 , 12 − 24 𝑥 𝑥→∞ → 12 1 𝑥 𝑥→∞ → 0 , 3𝑥2 − 1 𝑥 𝑥→∞ → +∞ Para 𝑏 = 6 la función tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 2. La función no tiene asíntotas horizontales. Primero buscamos las abscisas de los puntos (𝑥; 𝑦) donde se cruzan las gráficas de las funciones. Para esto planteamos −𝑥 + 6 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 ↔ −𝑥 + 6 − 𝑥2 + 6𝑥 − 10 = 0 ↔ −𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0 Ejercicio 2 (3 puntos) Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 6, ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 Clave de corrección – Segundo turno Tema 4 3 Hallamos las raíces de la cuadrática resultante: 𝑥1,2 = −(5) ± √(5)2 − 4(−1)(−4) 2(−1) = −5 ± √25 − 16 −2 = −5± √9 −2 = −5± 3 −2 → 𝑥1 = 1 𝑥2 = 4 El área limitada por las gráficas de las funciones la calculamos como á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = ∫[(−𝑥 + 6) − (𝑥2 − 6𝑥 + 10)] 4 1 𝑑𝑥 = ∫[−𝑥 + 6 − 𝑥2 + 6𝑥 − 10] 4 1 𝑑𝑥 = = ∫−𝑥2 + 5𝑥 − 4 4 1 𝑑𝑥 = (− 1 3 𝑥3 + 5 2 𝑥2 − 4𝑥)| 1 4 = = (− 1 3 (4)3 + 5 2 (4)2 − 4(4)) − (− 1 3 (1)3 + 5 2 (1)2 − 4(1)) = = − 64 3 + 40 − 16 + 1 3 − 5 2 + 4 = 9 2 El área de la región limita por las gráficas de las funciones es igual a 9/2. El dominio de la función serán todos aquellos valores para los cuales el argumento de la función logaritmo es un número estrictamente mayor a cero. Entonces, pedimos 1 − 5𝑥 > 0 ↔ −5𝑥 > −1 ↔ 5𝑥 < 1 ↔ 𝑥 < 1 5 ↔ 𝑥 ∈ (−∞; 1 5 ) Entonces, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞; 1 5 ) Para hallar el conjunto de ceros debemos resolver la ecuación log2(1 − 5𝑥) − 4 = 0 Ejercicio 3 (2 puntos) Determinar el dominio y el conjunto de ceros de la función 𝑓(𝑥) = log2(1 − 5𝑥) − 4 Clave de corrección – Segundo turno Tema 4 4 Entonces (utilizando propiedades de la función logaritmo) log2(1 − 5𝑥) − 4 = 0 ↔ log2(1 − 5𝑥) = 4 ↔ 2 4 = 1 − 5𝑥 ↔ 16 = 1 − 5𝑥 ↔ 5𝑥 = 1 − 16 ↔ 5𝑥 = −15 → 𝑥 = −3 El dominio de la función es el intervalo (−∞; 1 5 ). El conjunto de ceros de la función es 𝐶0 = {−3} El dominio de la función es el conjunto de los números reales. La derivada primera de la función es 𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 9)(2𝑥) = 4𝑥(𝑥2 − 9) y también está definida en el conjunto de los números reales. Buscamos el o los valores para los cuales la derivada primera se anula. 𝑓′(𝑥) = 0 ↔ 4𝑥(𝑥2 − 9) = 0 ↔ 𝑥 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥2 − 9 = 0 𝑥2 − 9 = 0 ↔ 𝑥2 = 9 ↔ 𝑥 = 3 𝑜 𝑥 = −3 La derivada primera de la función se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = −3. Analizamos la monotonía de la función (cuando es creciente o decreciente) en los intervalos determinados por las raíces de la derivada primera de la función. Intervalos a analizar: (−∞;−1) , (−1; 0) , (0; 1) , (1;+∞) Ejercicio 4 (3 puntos) Hallar, en caso de existir, los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 9)2 Justificar que los puntos hallados son máximos, mínimos. Clave de corrección – Segundo turno Tema 4 5 Intervalo (−∞;−𝟑) 𝒙 = −𝟑 (−𝟑; 𝟎) 𝒙 = 𝟎 (𝟎; 𝟑) 𝒙 = 𝟑 (𝟑;+∞) Derivada primera 𝑓′(−4) < 0 𝑓′(−3) = 0 𝑓′ (− 1 2 ) > 0 𝑓′(0) = 0 𝑓′ ( 1 2 ) < 0 𝑓′(3) = 0 𝑓′(4) > 0 Función Decrece Mínimo Crece Máximo Decrece Mínimo Crece Máximo de la función: (0; 𝑓(0)) = (0; 81) Mínimos de la función: (−3; 𝑓(−3)) = (−3; 0) (3; 𝑓(3)) = (3; 0)
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