MATE 1C 2019 Clave de corrección Segundo parcial Primer turno Tema 4 12-06-2019

Vista previa del material en texto

Clave de corrección – Primer turno Tema 4 1 
Matemática 
Clave de corrección segundo parcial 
Primer turno 12/06/2019 
Tema 4 
 
 
 
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. 
Primero vamos a hallar la o las raíces de la función. 
6 ∙ 2𝑥+1 − 24 = 0 ↔ 6 ∙ 2𝑥+1 = 24 ↔ 2𝑥+1 = 4 ↔ 2𝑥+1 = 22 
↔ 𝑥 + 1 = 2 ↔ 𝑥 = 1 
Analizamos el signo de la función en los intervalos (−∞; 1), (1; +∞). 
En el intervalo (−∞; 1) el signo de la función es negativo ya que 0 ∈ (−∞; 1) 
y 𝑓(0) = −12. 
En el intervalo (1; +∞) el signo de la función es positivo ya que 2 ∈ (1; +∞) 
y 𝑓(2) = 24. 
Conjunto de negatividad = (−∞; 1). 
Conjunto de positividad = (1; +∞). 
También se podría obtener el conjunto de positividad resolviendo la 
inecuación: 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Dada la función exponencial 
𝑓(𝑥) = 6 ∙ 2𝑥+1 − 24 
determinar los conjuntos de negatividad y positividad de la función. 
 
 
Clave de corrección – Primer turno Tema 4 2 
6 ∙ 2𝑥+1 − 24 > 0 ↔ 2𝑥+1 > 4 ↔ 2𝑥+1 > 22 ↔ 𝑥 + 1 > 2 ↔ 𝑥 > 1 
Y el conjunto de negatividad resolviendo la inecuación: 
6 ∙ 2𝑥+1 − 24 < 0 ↔ 2𝑥+1 < 4 ↔ 2𝑥+1 < 22 ↔ 𝑥 + 1 < 2 ↔ 𝑥 < 1 
 
 
 
 
 
 
Primero buscamos la abscisa del punto (𝑥; 𝑦) donde se cruzan las gráficas de 
las funciones. Para esto planteamos 
2𝑥 + 2 = 6 − 2𝑥 ↔ 2𝑥 + 2𝑥 = 6 − 2 ↔ 4𝑥 = 4 ↔ 𝑥 = 1 
El eje de ordenadas se corresponde con 𝑥 = 0. 
El área limitada por las gráficas de las funciones la calculamos como 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 2, ℎ(𝑥) = 6 − 2𝑥 y el eje de las ordenadas (eje y). Graficar en un 
mismo plano las funciones. 
 
 
Clave de corrección – Primer turno Tema 4 3 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = ∫[(6 − 2𝑥) − (2𝑥 + 2)]
1
0
𝑑𝑥 = ∫[6 − 2𝑥 − 2𝑥 − 2]
1
0
𝑑𝑥 = 
= ∫ 4 − 4𝑥
1
0
𝑑𝑥 = (4𝑥 −
4
2
𝑥2)|
0
1
= (4 ∙ 1 −
4
2
12) − (4 ∙ 0 −
4
2
02) = 
= 4 − 2 = 2 
El área de la región limita por las gráficas de las funciones es igual a 2. 
 
 
El dominio de la función serán todos aquellos valores para los cuales el 
denominador no se anula. 
El denominador se anula si 
𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 ↔ 𝑥1,2 =
−(3) ± √(3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−10)
2 ∙ 1
=
−3 ± √49
2
=
−3 ± 7
2
 
 → 𝑥1 = −5, 𝑥2 = 2 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−5; 2} 
La recta 𝑥 = 𝑏 es una asíntota vertical si lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = ∞. 
Los valores de "𝑏", candidatos a ser posibles asíntotas verticales, son aquellos 
valores que no pertenecen al dominio de la función. 
Como 𝑥1 = −5, 𝑥2 = 2 son raíces de la cuadrática 𝑥
2 + 3𝑥 − 10 tenemos que 
𝑥2 + 3𝑥 − 10 = (𝑥 − (−5)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) 
Entonces, la expresión de la función se puede es equivalente a 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Dada la función 
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 5
𝑥2 + 3𝑥 − 10
 
hallar el dominio y determinar mediante el uso de límites la existencia o 
no de asíntotas verticales. 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno Tema 4 4 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 5
𝑥2 + 3𝑥 − 10
=
𝑥 + 5
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
=
1
𝑥 − 2
 
(Recordar que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−5; 2}) 
 
Analizamos el límite de la función cuando los valores de 𝑥 se acercan a 
𝑥 = −5, y cuando 𝑥 = 2. 
Cuando 𝑥 = −5 
lim
𝑥→−5
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−5
 
1
𝑥 − 2
= −
1
7
 → 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝒙 = −𝟓 𝑵𝑶 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒔í𝒏𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
Cuando 𝑥 = 2 
lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
 
1
𝑥 − 2
= ∞ → 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝒙 = 𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒔í𝒏𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
La función tiene una sola asíntota vertical y es la recta de ecuación 𝑥 = 2 
 
 
 
 
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (0; 𝑔(0)) 
es igual al valor de la derivada primera de la función evaluada en 𝑥 = 0. 
Entonces 
𝑔′(0) = −
1
5
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑔(𝑥) =
𝑏 − 𝑥
3𝑥 + 2
 
hallar el valor de la constante 𝑏 ∈ ℝ si se sabe que la pendiente de la recta 
tangente a la gráfica de la función en el punto (0; 𝑔(0)) es igual a −
1
5
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno Tema 4 5 
Necesitamos calcular la expresión general de la derivada primera de la 
función. 
𝑔′(𝑥) =
(𝑏 − 𝑥)′(3𝑥 + 2) − (𝑏 − 𝑥)(3𝑥 + 2)′
(3𝑥 + 2)2
=
(−1) ∙ (3𝑥 + 2) − (𝑏 − 𝑥) ∙ (3)
(3𝑥 + 2)2
= 
=
(−3𝑥 − 2) − (3𝑏 − 3𝑥)
(3𝑥 + 2)2
=
−3𝑥 − 2 − 3𝑏 + 3𝑥
(3𝑥 + 2)2
=
−2 − 3𝑏
(3𝑥 + 2)2
 
𝑔′(0) =
−2 − 3𝑏
(3 ∙ 0 + 2)2
=
−2 − 3𝑏
4
 
 
Por otro lado, 𝑔′(0) = −
1
5
 
Entonces, 
−2 − 3𝑏
4
= −
1
5
 ↔ −2 − 3𝑏 = −
4
5
 ↔ −3𝑏 = 2 −
4
5
 ↔ −3𝑏 =
6
5
 
→ 𝑏 = −
2
5