MATE 1C 2019 Clave de corrección Segundo parcial Segundo turno Tema 2 12-06-2019

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Clave de corrección – Segundo turno Tema 2 1 
Matemática 
Clave de corrección segundo parcial 
Segundo turno 12/06/2019 
Tema 2 
 
 
Una condición necesaria para que la recta 𝑥 = 2 sea una asíntota vertical es 
que la función no esté definida en dicho valor. 
En este caso, para que la función no esté definida en 𝑥 = 2 debe ocurrir que 
12 ∙ (2) − 4𝑏 = 0 ↔ 24 − 4𝑏 = 0 ↔ 𝑏 = 6 
La función queda como 
𝑔(𝑥) =
3𝑥3 − 1
12𝑥 − 24
 
Calculamos el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 2. 
lim 
𝑥→2
 
3𝑥3 − 1
12𝑥 − 24
 = ∞ 
ya que cuando 𝑥 tiende a 2 el denominador tiende a cero y el numerador a 
un número estrictamente mayor a cero. 
Recordamos que la recta 𝑦 = 𝑎 es una asíntota horizontal de la función si 𝑓 
si lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑎 (el límite es un número finito) 
En este caso 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑏 ∈ ℝ para que la recta de ecuación 𝑥 = 2 
sea una asíntota vertical de la función 
𝑔(𝑥) =
3𝑥3 − 1
12𝑥 − 4𝑏
 
Decidir, justificando con el cálculo del límite que corresponda, si la función 
tiene asíntotas horizontales. 
. 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 2 2 
lim
𝑥→∞
3𝑥3 − 1
12𝑥 − 24
= lim
𝑥→∞
3𝑥2 −
1
𝑥
12 −
24
𝑥
= +∞ 
ya que 
24
𝑥 𝑥→∞ 
→ 0 , 12 −
24
𝑥
 
 𝑥→∞ 
→ 12 
1
𝑥 𝑥→∞ 
→ 0 , 3𝑥2 −
1
𝑥
 
 𝑥→∞ 
→ +∞ 
 
Para 𝑏 = 6 la función tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 2. 
La función no tiene asíntotas horizontales. 
 
 
 
 
 
Primero buscamos las abscisas de los puntos (𝑥; 𝑦) donde se cruzan las 
gráficas de las funciones. Para esto planteamos 
−𝑥 + 6 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 ↔ −𝑥 + 6 − 𝑥2 + 6𝑥 − 10 = 0 ↔ −𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones 
𝑔(𝑥) = −𝑥 + 6, ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 2 3 
Hallamos las raíces de la cuadrática resultante: 
𝑥1,2 = 
−(5) ± √(5)2 − 4(−1)(−4)
2(−1)
=
−5 ± √25 − 16
−2
=
−5± √9
−2
=
−5± 3
−2
 
→ 𝑥1 = 1 𝑥2 = 4 
El área limitada por las gráficas de las funciones la calculamos como 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = ∫[(−𝑥 + 6) − (𝑥2 − 6𝑥 + 10)]
4
1
𝑑𝑥 = ∫[−𝑥 + 6 − 𝑥2 + 6𝑥 − 10]
4
1
𝑑𝑥 = 
= ∫−𝑥2 + 5𝑥 − 4
4
1
𝑑𝑥 = (−
1
3
𝑥3 +
5
2
𝑥2 − 4𝑥)|
1
4
= 
= (−
1
3
(4)3 +
5
2
(4)2 − 4(4)) − (−
1
3
(1)3 +
5
2
(1)2 − 4(1)) = 
= −
64
3
+ 40 − 16 +
1
3
−
5
2
+ 4 =
9
2
 
El área de la región limita por las gráficas de las funciones es igual a 9/2. 
 
 
 
El dominio de la función serán todos aquellos valores para los cuales el 
argumento de la función logaritmo es un número estrictamente mayor a cero. 
Entonces, pedimos 
1 − 5𝑥 > 0 ↔ −5𝑥 > −1 ↔ 5𝑥 < 1 ↔ 𝑥 <
1
5
 ↔ 𝑥 ∈ (−∞;
1
5
) 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞;
1
5
) 
Para hallar el conjunto de ceros debemos resolver la ecuación 
log2(1 − 5𝑥) − 4 = 0 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Determinar el dominio y el conjunto de ceros de la función 
𝑓(𝑥) = log2(1 − 5𝑥) − 4 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 2 4 
Entonces (utilizando propiedades de la función logaritmo) 
log2(1 − 5𝑥) − 4 = 0 ↔ log2(1 − 5𝑥) = 4 ↔ 2
4 = 1 − 5𝑥 
↔ 16 = 1 − 5𝑥 ↔ 5𝑥 = 1 − 16 ↔ 5𝑥 = −15 
→ 𝑥 = −3 
El dominio de la función es el intervalo (−∞;
1
5
). 
El conjunto de ceros de la función es 𝐶0 = {−3} 
 
 
 
El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 
La derivada primera de la función es 
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 9)(2𝑥) = 4𝑥(𝑥2 − 9) 
y también está definida en el conjunto de los números reales. 
Buscamos el o los valores para los cuales la derivada primera se anula. 
𝑓′(𝑥) = 0 ↔ 4𝑥(𝑥2 − 9) = 0 ↔ 𝑥 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥2 − 9 = 0 
𝑥2 − 9 = 0 ↔ 𝑥2 = 9 ↔ 𝑥 = 3 𝑜 𝑥 = −3 
La derivada primera de la función se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = −3. 
Analizamos la monotonía de la función (cuando es creciente o decreciente) 
en los intervalos determinados por las raíces de la derivada primera de la 
función. 
Intervalos a analizar: 
(−∞;−1) , (−1; 0) , (0; 1) , (1;+∞) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar, en caso de existir, los puntos máximos y mínimos de la función 
𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 9)2 
Justificar que los puntos hallados son máximos, mínimos. 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 2 5 
Intervalo (−∞;−𝟑) 𝒙 = −𝟑 (−𝟑; 𝟎) 𝒙 = 𝟎 (𝟎; 𝟑) 𝒙 = 𝟑 (𝟑;+∞) 
Derivada 
primera 
𝑓′(−4) < 0 𝑓′(−3) = 0 𝑓′ (−
1
2
) > 0 𝑓′(0) = 0 𝑓′ (
1
2
) < 0 𝑓′(3) = 0 𝑓′(4) > 0 
Función Decrece Mínimo Crece Máximo Decrece Mínimo Crece 
 
Máximo de la función: (0; 𝑓(0)) = (0; 81) 
Mínimos de la función: 
(−3; 𝑓(−3)) = (−3; 0) 
(3; 𝑓(3)) = (3; 0)