Claves-Recuperatorio-Segundo-Parcial-2c-2016

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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
1. Siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛(𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1), hallar analíticamente el valor de 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que 𝑓(𝑥) tiene un 
extremo relativo en 𝑥 = 1. Luego, con el valor hallado, determinar el o los valores de 𝑥 tal que 
 𝑓(𝑥) = 0. (3 puntos) 
 
Solución 
En primer lugar, para hallar los extremos relativos de una función, debemos hallar su derivada. Por lo tanto, 
aplicando la regla de la cadena, determinamos 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3 ·
1
𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1
· (2𝑎𝑥 + 10) 
Como sabemos que la función tiene un extremos relativos (máximo o mínimo) en 𝑥 = 1, esto implica que 
𝑓′(1) = 0. Luego: 
𝑓′(1) = 3 ·
1
𝑎 · 12 + 10 · 1 + 1
· (2𝑎 · 1 + 10) = 0 
3 ·
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
De esto, podemos asegurar que 𝑎 ≠ −11 
Resolvemos la ecuación: 
3 ·
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
2𝑎 + 10 = 0 
𝑎 = −5 
Es decir que 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛⁡(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1). 
Ahora hay que determinar los valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) para que 𝑓(𝑥) = 0 
𝑓(𝑥) = 0 
3 ∙ 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 
𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 
⁡⁡−5𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 1⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡⁡⁡−5𝑥2 + 10𝑥 = 0⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡⁡⁡ (−5𝑥 + 10)𝑥 = 0 
Llegamos a una ecuación cuyas soluciones son: 
𝑥1 = 0 
𝑥2 = 2 
Luego, 𝑓(0) = 0 y 𝑓(2) = 0 
𝐶0 = {0; 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA 
RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
2. La población 𝑃 de un cultivo de bacterias a los 𝑡 segundos está dada por la función (2 puntos) 
𝑃(𝑡) = 5000 + 2 ∙ 10(0,8𝑡+1) 
Hallar el instante en que la población será de ⁡25.000 bacterias. 
 
Solución 
Debe hallarse un valor 𝑡 que cumpla que 
5.000 + 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 25.000 
lo que es equivalente a pedir que: 
2 ∙ 100,8𝑡+1 = 20.000 
100,8𝑡+1 = 10.000 
A partir de aquí, mostramos dos maneras distintas de encontrar el valor de “t” que cumpla la última 
condición. 
Primera manera: 
como 10.000 = 104, entonces: 
100,8𝑡+1 = 104 ⁡⁡⁡⁡⁡⇔ ⁡⁡⁡⁡⁡0,8𝑡 + 1 = 4⁡⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡⁡⁡⁡0,8𝑡 = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡⁡⁡𝑡 = 3,75 
Segunda manera: 
100,8𝑡+1 = 104 ⁡⁡⁡⁡⁡⇔ ⁡⁡⁡⁡ log(100,8𝑡+1) = log(104) ⁡⁡⁡⁡⁡⇔ ⁡⁡⁡⁡⁡0,8𝑡 + 1 = 4⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡⁡⁡𝑡 = 3,75 
 
 
 
3. Hallar el valor de 𝐶 ∈ ℝ que asegure que la siguiente función tenga una asíntota en 𝑥 = 6 (2 puntos) 
𝑓(𝑥) =
4
𝑥2 − 12𝑥 + 𝐶
 
 
Solución 
La función tendrá una asíntota vertical en 𝑥 = 6 si 
lim
x→6
⁡
4
𝑥² − 12𝑥 + 𝐶
= ∞ 
Esto ocurrirá cuando el denominador se anule al calcular su valor para 𝑥 = 6, es decir: 
62 − 12 ∙ 6⁡ + ⁡𝐶 = ⁡0⁡⁡⁡ ⇔ ⁡36 − 72 + 𝐶 = 0⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡𝑪 = 𝟑𝟔 
 
 
 
4. Hallar, utilizando integrales, el área encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta 
que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) (3 puntos) 
 
Solución 
En primer lugar, debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3). 
Sea 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 la ecuación de la recta. Entonces, 
 
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RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
9 = 3𝑚 + 𝑏
3 = 2𝑚 + 𝑏
 
 
Resolviendo el sistema anterior obtenemos 𝑚 = 6 y 𝑏 = −9. 
La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) es 𝑦 = 6𝑥 − 9 
 
Ahora estamos en condiciones de hallar el área encerrada entre 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta de ecuación 
𝑦 = 6𝑥 − 9. 
Primero buscamos las intersecciones de ambas gráficas para poder definir los límites de integración. 
−3𝑥2 + 12𝑥 = 6𝑥 − 9 
−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9 = 0 
−3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 
donde 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 3, por lo cual nuestros límites de integración serán -1 y 3. 
Como la parábola correspondiente a la función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo, sabemos que dicha función es 
la superior y la recta la inferior. De esa manera calcularemos la integral entre -1 y 3 de la función 𝑓(𝑥) 
menos la ecuación de la recta 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − (6𝑥 − 9))
3
−1
𝑑𝑥 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9)
3
−1
= 
= ∫(−3𝑥2 + 6𝑥 + 9)
3
−1
𝑑𝑥 = (
−3𝑥3
3
+
6𝑥2
2
+ 9𝑥)|
−1
3
= 
= (
−3 ∙ 33
3
+
6 ∙ 32
2
+ 9 ∙ 3) − (
−3 ∙ (−1)3
3
+
6 ∙ (−1)2
2
+ 9 ∙ (−1)) = 
= (−27 + 27 + 27) − (1 + 3 − 9) = 27 + 5 = 32 
 
Por lo cual el área pedida es 32. 
 
 
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MATEMÁTICA 
RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
1. Hallar, utilizando integrales, el área encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta 
que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) (3 puntos) 
 
Solución 
En primer lugar, debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3). 
Sea 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 la ecuación de la recta. Entonces, 
9 = 3𝑚 + 𝑏
3 = 2𝑚 + 𝑏
 
 
Resolviendo el sistema anterior obtenemos 𝑚 = 6 y 𝑏 = −9. 
La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) es 𝑦 = 6𝑥 − 9 
 
Ahora estamos en condiciones de hallar el área encerrada entre 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta de ecuación 
𝑦 = 6𝑥 − 9. 
Primero buscamos las intersecciones de ambas gráficas para poder definir los límites de integración. 
−3𝑥2 + 12𝑥 = 6𝑥 − 9 
−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9 = 0 
−3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 
donde 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 3, por lo cual nuestros límites de integración serán -1 y 3. 
Como la parábola correspondiente a la función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo, sabemos que dicha función es 
la superior y la recta la inferior. De esa manera calcularemos la integral entre -1 y 3 de la función 𝑓(𝑥) 
menos la ecuación de la recta 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − (6𝑥 − 9))
3
−1
𝑑𝑥 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9)
3
−1
= 
= ∫(−3𝑥2 + 6𝑥 + 9)
3
−1
𝑑𝑥 = (
−3𝑥3
3
+
6𝑥2
2
+ 9𝑥)|
−1
3
== (
−3 ∙ 33
3
+
6 ∙ 32
2
+ 9 ∙ 3) − (
−3 ∙ (−1)3
3
+
6 ∙ (−1)2
2
+ 9 ∙ (−1)) = 
= (−27 + 27 + 27) − (1 + 3 − 9) = 27 + 5 = 32 
 
Por lo cual el área pedida es 32. 
 
 
 
2. Hallar el valor de 𝐶 ∈ ℝ que asegure que la siguiente función tenga una asíntota en 𝑥 = 6 (2 puntos) 
𝑓(𝑥) =
4
𝑥2 − 12𝑥 + 𝐶
 
 
Solución 
La función tendrá una asíntota vertical en 𝑥 = 6 si 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
lim
x→6
 
4
𝑥² − 12𝑥 + 𝐶
= ∞ 
Esto ocurrirá cuando el denominador se anule al calcular su valor para 𝑥 = 6, es decir: 
62 − 12 ∙ 6 + 𝐶 = 0 ⇔ 36 − 72 + 𝐶 = 0 ⇔ 𝑪 = 𝟑𝟔 
 
 
 
3. La población 𝑃 de un cultivo de bacterias a los 𝑡 segundos está dada por la función (2 puntos) 
𝑃(𝑡) = 5000 + 2 ∙ 10(0,8𝑡+1) 
Hallar el instante en que la población será de 25.000 bacterias 
Solución 
Debe hallarse un valor 𝑡 que cumpla que 
5.000 + 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 25.000 
lo que es equivalente a pedir que: 
2 ∙ 100,8𝑡+1 = 20.000 
100,8𝑡+1 = 10.000 
A partir de aquí, mostramos dos maneras distintas de encontrar el valor de “t” que cumpla la última 
condición. 
Primera manera: 
como 10.000 = 104, entonces: 
100,8𝑡+1 = 104 ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 0,8𝑡 = 3 ⇔ 𝑡 = 3,75 
Segunda manera: 
100,8𝑡+1 = 104 ⇔ log(100,8𝑡+1) = log(104) ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 𝑡 = 3,75 
 
 
 
 
4. Siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛(𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1), hallar analíticamente el valor de 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que 𝑓(𝑥) tiene un 
extremo relativo en 𝑥 = 1. Luego, con el valor hallado, determinar el o los valores de 𝑥 tal que 
 𝑓(𝑥) = 0. (3 puntos) 
 
Solución 
En primer lugar, para hallar los extremos relativos de una función, debemos hallar su derivada. Por lo tanto, 
aplicando la regla de la cadena, determinamos 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3 ·
1
𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1
· (2𝑎𝑥 + 10) 
Como sabemos que la función tiene un extremos relativos (máximo o mínimo) en 𝑥 = 1, esto implica que 
𝑓′(1) = 0. Luego: 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
𝑓′(1) = 3 ·
1
𝑎 · 12 + 10 · 1 + 1
· (2𝑎 · 1 + 10) = 0 
3 ·
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
De esto, podemos asegurar que 𝑎 ≠ −11 
Resolvemos la ecuación: 
3 ·
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
2𝑎 + 10
𝑎 + 11
= 0 
2𝑎 + 10 = 0 
𝑎 = −5 
Es decir que 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛 (−5𝑥2 + 10𝑥 + 1). 
Ahora hay que determinar los valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) para que 𝑓(𝑥) = 0 
𝑓(𝑥) = 0 
3 ∙ 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 
𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 
 −5𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 1 ⇔ −5𝑥2 + 10𝑥 = 0 ⇔ (−5𝑥 + 10)𝑥 = 0 
Llegamos a una ecuación cuyas soluciones son: 
𝑥1 = 0 
𝑥2 = 2 
Luego, 𝑓(0) = 0 y 𝑓(2) = 0 
𝐶0 = {0; 2}