APLICACIONES FISICAS DE LAS INTEGRALES

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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 
APLICACIONES FISICAS 
Masa y Peso de una lámina de densidad variable 
Si una lámina plana tiene una densidad superficial que varía punto a punto según 
los valores que toma la función 𝛿(𝑥, 𝑦) 
𝛿(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝐴→0
∆𝑀
∆𝐴
=
𝑑𝑀
𝑑𝐴
 
𝛿(𝑥, 𝑦) =
𝑑𝑀
𝑑𝐴
 
𝑑𝑀 = 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝑀 = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
Peso 
𝑑𝑃 = 𝑔. 𝑑𝑀 
𝑑𝑃 = 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝑃 = 𝑔. ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
 
 
 
Momentos Estáticos respecto de los ejes cartesianos de una lámina plana de 
densidad variable 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑑𝑃. 𝑦 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝐼𝑥 = 𝑔. ∬ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
Momentos de Inercia respecto de los ejes cartesianos de una lámina plana de 
densidad variable 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎2 
 
𝑑𝐽𝑥 = 𝑑𝑃. 𝑦
2 
𝑑𝐽𝑥 = 𝑦
2. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝐽𝑥 = 𝑔. ∬ 𝑦
2. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑑𝑃. 𝑥 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝐼𝑦 = 𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
 
𝑑𝐽𝑦 = 𝑑𝑃. 𝑥
2 
𝑑𝐽𝑦 = 𝑥
2. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝐽𝑦 = 𝑔. ∬ 𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
 
 
Momento de inercia respecto al origen de coordenadas 
 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. 𝑑
2 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. √𝑥
2 + 𝑦2
2
 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. (𝑥
2 + 𝑦2) 
𝑑𝐽𝑜 = (𝑥
2 + 𝑦2). 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴 
Integrando ambos miembros 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∬(𝑥
2 + 𝑦2). 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
 
Propiedad 
𝐽0 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∬(𝑥
2 + 𝑦2). 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∬(𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦) + 𝑦2. 𝛿(𝑥, 𝑦)). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∬ 𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
+ 𝑔. ∬ 𝑦2. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝐽0 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 
 
 
 
Coordenadas del centro de masa de una lámina plana de densidad variable 
 
 
De acuerdo a la ley fisica en el centro de masas los momentos estaticos con 
respecto a cada eje vale cero. 
𝐼𝑥 = 0 
𝑔. ∬(𝑦 − 𝑦𝑐). 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬(𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦) − 𝑦𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦)). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
− 𝑔. ∬ 𝑦𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑔. ∬ 𝑦𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝑔. ∬ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑦𝑐 . 𝑔. ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝑔. ∬ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴𝑅
𝑔. ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴𝑅
= 𝑦𝑐 
 
 
𝑦𝑐 =
𝐼𝑥
𝑃
 
𝐼𝑦 = 0 
𝑔. ∬(𝑥 − 𝑥𝑐). 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬(𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦) − 𝑥𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦)). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
− 𝑔. ∬ 𝑥𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑥𝑐 . 𝑔. ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴
𝑅
 
𝑔. ∬ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴𝑅
𝑔. ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑑𝐴𝑅
= 𝑥𝑐 
𝑥𝑐 =
𝐼𝑦
𝑃
 
 
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 
APLICACIONES FISICAS 
Masa y Peso de un sólido de densidad variable 
Si la densidad de un sólido es la medida de la masa por unidad de volumen 
entonces la densidad que varía punto a punto según los valores que toma la 
función 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑉→0
∆𝑀
∆𝑉
=
𝑑𝑀
𝑑𝑉
 
 
 
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑑𝑀
𝑑𝑉
 
𝑑𝑀 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝑀 = ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
Peso 
𝑑𝑃 = 𝑔. 𝑑𝑀 
𝑑𝑃 = 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝑃 = 𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
Momento Estático de un Sólido de densidad variable con respecto a los planos 
coordenados 
 
𝑑𝐼𝑥𝑦 = 𝑧. 𝑑𝑃 
𝑑𝐼𝑥𝑦 = 𝑧. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝑑𝐼𝑥𝑧 = 𝑦. 𝑑𝑃 
𝑑𝐼𝑥𝑧 = 𝑦. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝐼𝑥𝑧 = 𝑔. ∭ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
 
𝐼𝑥𝑦 = 𝑔. ∭ 𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
Momento de Inercia de un Sólido de densidad variable con respecto a los planos 
coordenados 
 
𝑑𝐽𝑥𝑦 = 𝑧
2. 𝑑𝑃 
𝑑𝐽𝑥𝑦 = 𝑧
2. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝐽𝑥𝑦 = 𝑔. ∭ 𝑧
2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
Momento de inercia respecto al origen de coordenadas 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. 𝑑
2 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. (√𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2)
2
 
𝑑𝐽𝑜 = 𝑑𝑃. (𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2) 
𝑑𝐽𝑜 = (𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2). 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝑑𝐽𝑦𝑧 = 𝑥
2. 𝑑𝑃 
𝑑𝐽𝑦𝑧 = 𝑥
2. 𝑔. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 
Integrando ambos miembros 
𝐽𝑦𝑧 = 𝑔. ∭ 𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
 
 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∭(𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2). 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
 
Propiedad 
𝐽0 = 𝐽𝑥𝑦 + 𝐽𝑦𝑧 + 𝐽𝑥𝑧 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∭(𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2). 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∭(𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑦2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑧2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)). 𝑑𝑉
𝑅
 
𝐽𝑜 = 𝑔. ∭ 𝑥
2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
+ 𝑔. ∭ 𝑦2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
+ 𝑔. ∭ 𝑧2. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
𝐽0 = 𝐽𝑦𝑧 + 𝐽𝑥𝑧 + 𝐽𝑥𝑦 
𝐽0 = 𝐽𝑥𝑦 + 𝐽𝑦𝑧 + 𝐽𝑥𝑧 
 
 
 
De acuerdo a la ley fisica en el centro de masas los momentos estaticos con 
respecto a cada plano coordenado vale cero. 
 
 
𝐼𝑥𝑦 = 0 
𝑔. ∭(𝑧 − 𝑧𝑐). 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
𝑔. ∭(𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑧𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
Aplicando propiedades de integrales triples 
𝑔. ∭ 𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
− 𝑔. ∭ 𝑧𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
𝑔. ∭ 𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
− 𝑧𝑐 . 𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
𝑔. ∭ 𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 𝑧𝑐 . 𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
𝑧𝑐 =
𝑔. ∭ 𝑧. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉𝑅
𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉𝑅
 
 
𝑧𝑐 =
𝐼𝑥𝑦
𝑃
 
 
𝐼𝑦𝑧 = 0 
𝑔. ∭(𝑥 − 𝑥𝑐). 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
𝑔. ∭(𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑥𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
 
 
𝑔. ∭ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 − 𝑔. ∭ 𝑥𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅𝑅
= 0 
𝑔. ∭ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 = 𝑔. 𝑥𝑐 . ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅𝑅
 
𝑥𝑐 =
𝑔. ∭ 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
 
𝑥𝑐 =
𝐼𝑦𝑧
𝑃
 
 
𝐼𝑥𝑧 = 0 
𝑔. ∭(𝑦 − 𝑦𝑐). 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
 
𝑔. ∭(𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑦𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)). 𝑑𝑉
𝑅
= 0 
𝑔. ∭ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 − 𝑔. ∭ 𝑦𝑐 . 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅𝑅
= 0 
𝑔. ∭ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉 = 𝑔. 𝑦𝑐 . ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉
𝑅𝑅
 
𝑦𝑐 =
𝑔. ∭ 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉𝑅
𝑔. ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑉𝑅
 
𝑦𝑐 =
𝐼𝑥𝑧
𝑃