INTEGRALES TEORIA

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CALCULO INTEGRAL 
PRIMITIVA O ANTIDERIVADA 
Toda función 𝐹(𝑥) diferenciable en un intervalo 𝐼 se llama primitiva o antiderivada 
de la función 𝑓(𝑥) en dicho intervalo si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
𝑥: variable de integración 
𝑓(𝑥): integrando 
𝐹(𝑥) + 𝐶: integral indefinida de f 
Toda primitiva o antiderivada difiere en una constante. 
 
INTEGRALES INMEDIATAS 
Son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que 
considerar las reglas de derivación. 
Ejemplos: 
I. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
II. ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ 1 
III. ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 
IV. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
Propiedades de integrales indefinidas 
∫ 𝑘. 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
Cuando la antiderivada o primitiva de la función no puede determinarse aplicando 
integrales inmediatas, se emplean métodos. 
1- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE 
Sea la integral 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 donde f es una función compuesta en la variable x. 
Para determinar la antiderivada de 𝑓 se tomara una nueva variable, por ejemplo 𝑢 
tal que 𝑥 = 𝑔(𝑢). 
Como 𝑥 = 𝑔(𝑢) → 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑢). 𝑑𝑢 
Sustituyendo en I y resolviendo: 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) 𝑔′(𝑢). 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
Se sustituye 𝑢 = 𝑔(𝑥) → 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
 
Ejemplo: 
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 
𝑢 = (3𝑥2 − 1) 
𝑑𝑢 = 6𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
6
= 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1). 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 
𝑑𝑢
6
=
1
6
. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
6
. cos 𝑢 + 𝐶 
 
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 = −
1
6
. cos(3𝑥2 − 1) + 𝐶 
 
2- MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES 
Este método permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse 
como el producto de una función por la derivada de otra función. 
∫ 𝒖. 𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅𝒖 
Un método practico para elegir la función u es con la palabra ILATE (inversa, 
logarítmica, algebraica, trigonométrica, exponencial). 
∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = ln 𝑥 → 𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 𝑑𝑣 = 𝑥2 𝑑𝑥 → 𝑣 =
𝑥3
3
 
∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 − ∫
𝑥3
3
.
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 −
1
3
. ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
. 𝑥3. ln 𝑥 −
1
9
. 𝑥3 + 𝐶 
 
3- MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 
Este método, el cual es un caso especial de cambio variable, permite integrar 
cierto tipo de funciones algebraicas, si un integrando contiene una expresión de la 
forma: 
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 √𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 
 
 
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝑥 = 𝑎. sin 𝜃 
 
𝑑𝑥 = 𝑎. cos 𝜃 𝑑𝜃 
 
√𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎. cos 𝜃 
 
 
√𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 
 
√𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 
𝑥 = 𝑎. tan 𝜃 
 
𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
 
√𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎. sec 𝜃 
 
 
√𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝑥 = 𝑎. sec 𝜃 
 
𝑑𝑥 = 𝑎. sec 𝜃 . tan 𝜃 𝑑𝜃 
 
√𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎. tan 𝜃 
 
 
 
4- MÉTODO POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES 
Este método permitirá integrar funciones de la forma 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 donde f y g son 
funciones polinomiales. 
Primer caso: el grado de 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔(𝑥) entonces realizamos la división de polinomios 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝐶 + 𝑅 
∫ 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 = ∫ 
𝑔(𝑥) ∗ 𝐶 + 𝑅
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 = ∫ 
𝑔(𝑥) ∗ 𝐶
𝑔(𝑥)
+
𝑅
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 = ∫ [𝐶 +
𝑅
𝑔(𝑥)
] 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶 𝑑𝑥 + ∫
𝑅
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 
 
∫ 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪 𝒅𝒙 + ∫
𝑹
𝒈(𝒙)
 𝒅𝒙 
 
Segundo caso: el grado de 𝑓(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔(𝑥) entonces tenemos descomposición de fracciones simples 
 Raíces reales simples: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 − 𝑏) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐴
𝑥 − 𝑎
+
𝐵
𝑥 − 𝑏
 → ∫ 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 = ∫ 
𝐴
𝑥 − 𝑎
 𝑑𝑥 + ∫ 
𝐵
𝑥 − 𝑏
 𝑑𝑥 
En este caso integrando cada factor devuelve una función logarítmica 
 Raíces reales múltiples: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑛. (𝑥 − 𝑏)𝑚 
Ejemplo: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)3. (𝑥 − 𝑏)2 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐴
(𝑥 − 𝑎)3
+
𝐵
(𝑥 − 𝑎)2
+
𝐶
𝑥 − 𝑎
+
𝐷
(𝑥 − 𝑏)2
+
𝐸
𝑥 − 𝑏
 → 
 
∫ 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 = ∫ 
𝐴
(𝑥 − 𝑎)3
 𝑑𝑥 + ∫ 
𝐵
(𝑥 − 𝑎)2
 𝑑𝑥 + ∫ 
𝐶
𝑥 − 𝑎
 𝑑𝑥 + ∫ 
𝐷
(𝑥 − 𝑏)2
 𝑑𝑥 + ∫ 
𝐸
𝑥 − 𝑏
 𝑑𝑥 
 
 
 
∫ 
𝐴
(𝑥 − 𝑎)3
 𝑑𝑥, ∫ 
𝐵
(𝑥 − 𝑎)2
 𝑑𝑥, ∫ 
𝐷
(𝑥 − 𝑏)2
 𝑑𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 
Definición: 
El área (𝐴𝑆) de la región 𝑆 del plano acotado por las gráficas de 
𝑦 = 𝑓(𝑥), las líneas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 y el eje de las abscisas, 
está dada por 
𝑨𝑺 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
∑ 𝒇(𝒄𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
 ∆𝒙𝒊 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
Definición: 
Sea una función f continua definida para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, la integral definida de f de a 
en b, simbolizada como ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 está dada por: 
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
∑ 𝒇(𝒄𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
 ∆𝒙𝒊 
 
ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA 
𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
 𝒅𝒙 𝒔𝒊 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 
 
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
Propiedad 1: Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝑘 cualquier constante real ⟹ 
∫ 𝑘
𝑏
𝑎
. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
Propiedad 2: Si las funciones f y g son integrales en [𝑎, 𝑏] ⟹ 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
Propiedad 3: 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
 𝑑𝑥 
 
Propiedad 4: 
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ ∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑎
 𝑑𝑥 = 0 
 
Propiedad 5: Si 𝑐 es un número tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 ⟹ 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑎
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑐
 𝑑𝑥 
 
Propiedad 6: Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟹ 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
Propiedad 7: Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, ⟹ 
𝑚. (𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 ≤ 𝑀. (𝑏 − 𝑎) 
 
PRIMER TEOREMA DEL CÁLCULO INTEGRAL 
Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏], entonces la función 𝑔 definida por 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, es continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏) y 
𝒈′(𝒙) = 𝒇(𝒙) 
 
SEGUNDO TEOREMA DEL CÁLCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) 
Sea 𝑓 una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y sea 𝐹 una primitiva 
de 𝑓 en [𝑎, 𝑏] tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟹ 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)|𝑎
𝑏 
 
 
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
APLICACIONES GEOMÉTRICAS 
 Área de una región plana. 
 Longitud de curvas. 
 Superficie lateral. 
 Volumen de sólido de revolución. 
APLICACIONES FÍSICAS 
 Trabajo realizado por una fuerza. 
 Centro de gravedad de líneas, superficies y cuerpos. 
 Momento de inercia de secciones planas. 
 Presión de fluidos. 
 
ÁREA DE REGIONES PLANAS 
 
 
 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
 𝒅𝒙 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒚)
𝒅
𝒄
 𝒅𝒚 𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 
 
 
VOLÚMENES - MÉTODO DE DISCOS: la figura que obtenemos es una superficie de revolución 
EJE DE REVOLUCIÓN HORIZONTAL 
 
𝑽𝒙 = 𝝅. ∫[𝒇(𝒙)]
𝟐
𝒂
𝟎
 𝒅𝒙 
 
 
 
 
EJE DE REVOLUCIÓN VERTICAL 
 
 
𝑽𝒚 = 𝝅. ∫[𝒇(𝒚)]
𝟐
𝒃
𝟎
 𝒅𝒚