INTEGRALES DOBLES

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INTEGRALES DOBLES 
Definición por los 4 pasos: 
Sea f una función de dos variables definida en una región R cerrada y acotada de 𝑹𝟐, donde 
R es interior al rectángulo S cuya grafica es 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} 
 
Paso 1: 
Se divide o particiona el rectángulo S mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. El 
conjunto de todos los rectángulos completamente contenidos en R se llama una partición 
interna P de R. 
 
La norma de la partición P es la longitud de la diagonal más larga de los rectángulos de la 
partición y se denota ‖𝑃‖ 
Paso 2: 
Las áreas de cada uno de los n rectángulos de la partición interna P están representados por 
∆𝐴1, ∆𝐴2, … , ∆𝐴𝑛 respectivamente. 
A continuación en cada rectángulo se elige un punto arbitrario (𝜉1, 𝜂1), (𝜉2, 𝜂2), … , (𝜉𝑖 , 𝜂𝑖) 
Paso 3: 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de productos 
𝑓(𝜉1, 𝜂1). ∆𝐴1 + 𝑓(𝜉2, 𝜂2). ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑓(𝜉𝑛, 𝜂𝑛). ∆𝐴𝑛 = ∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖). ∆𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Paso 4: 
Se considera el límite de la suma de Riemann cuando ‖𝑃‖ → 0 y 𝑛 → ∞ 
 
 
Si este límite existe se define como la integral doble de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en la región R. 
lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
 
Definición: 
Sea f una función de dos variables definida en una región R cerrada y acotada de 𝑹𝟐. La 
integral doble de f sobre R se define 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
Teorema de evaluación de integrales dobles 
Sea 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) una función continua en una región cerrada y acotada R. Entonces 
a) Si R es tipo 𝑇1 y es la gráfica de 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} donde 𝑔1 𝑦 𝑔2 
son funciones continuas en el intervalo [𝑎, 𝑏] entonces 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
 
b) Si R es tipo 𝑇2 y es la gráfica de 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} donde ℎ1 𝑦 ℎ2 
son funciones continuas en el intervalo [𝑐, 𝑑] entonces 
 
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 
𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 
ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦), 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
𝑑
𝑐
 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑥 
 
 
 
PROPIEDADES 
Sean 𝒇 y 𝒈 funciones continuas en una región cerrada y acotada 𝑹 del plano y sea 𝑘 una 
constante. 
1 − ∬ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑘. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
2 − ∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
3 − 𝑆𝑖 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 ≤ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
4 − ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅1
 𝑑𝐴 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅2
 𝑑𝐴, donde R es la unión de dos 
regiones disjuntas 𝑅1 𝑦 𝑅2 (no tienen puntos en común excepto puntos fronteras) 
 
Demostración de la propiedad 1 
∬ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑘. 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 
∬ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
𝑘. ∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 
∬ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑘. lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 
∬ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑘. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
 
Demostración de la propiedad 2 
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
∑[𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖) ± 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)]
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 
 
 
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
∑[𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖). ∆𝐴𝑖 ± 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖). ∆𝐴𝑖]
𝑛
𝑖=1
 
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
[∑[𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖). ∆𝐴𝑖] ± ∑[𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖). ∆𝐴𝑖]
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
] 
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 ± lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝐴𝑖 
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝑅
 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
 
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL 
Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) una función continua en una región 𝑅 cerrada y acotada en el plano entonces 
existe por lo menos un punto (𝑥0, 𝑦0) en 𝑅 tal que: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0). ∬ 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑓(𝑥0, 𝑦0). 𝐴 
donde A es el área de la región R. 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0). 𝐴 
𝑓(𝑥0, 𝑦0) =
1
𝐴
. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 
Se denomina valor promedio de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en la región 𝑅. 
Notas especiales 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎. 𝑃𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑐𝑒𝑟𝑜 
negativo. No puedo aplicar simétrica de región 
 
 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 
∬ 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑅. 𝑆𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
Si puedo aplicar simétrica de región