FUNCIONES_2022

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VALOR ABSOLUTO 
Definición 
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por |𝑥|, se define 
como: 
 𝑥 si 𝑥 ≥ 0 
 |𝑥| = 
 −𝑥 si 𝑥 < 0 
 
Propiedades 
1. |𝑥| = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 
2. |𝑥| ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 
3. |𝑥| = √𝑥2 
4. |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦| 
5. |
𝑥
𝑦
| =
|𝑥|
|𝑦|
 𝑦 ≠ 0 
6. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
7. |𝑥| < 𝑎 → −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 → (−𝑎, 𝑎) 
8. |𝑥| > 𝑎 → 𝑥 < −𝑎 ó 𝑥 > 𝑎 → (−∞, −𝑎) 𝑈 (𝑎, ∞) 
 
1- La expresión √𝑥 − 1 ∈ ℜ si: 
Seleccione una: 
a. 𝑥 ∈ (1, ∞) 
b. 𝒙 ∈ [𝟏, ∞) 
c. 𝑥 ∈ ⌈−1, 1⌉ 
d. 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞) 
e. 𝑥 ∉ ℜ 
2- La inecuación 0 < |𝑥| ≤ 4, es equivalente a: 
Selecciones una: 
a. −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 
b. 𝑥 > 0 ⋁ 𝑥 ≤ 4 
c. 𝑥 < 0 ⋀ 𝑥 ≥ 4 
d. 𝒙 ≠ 𝟎 ⋀ |𝒙| ≤ 𝟒 
 
 
e. 0 < 𝑥 ≤ 4 
 
FUNCIONES 
Definición de función par Definición de función impar 
Se dice que la función f es PAR si: Se dice que la función f es IMPAR si: 
∀ 𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒇, 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) ∀ 𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒇, 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
Las grafica resultan simétricas respecto al eje de las Las gráficas resultan simétricas respecto al 
ordenadas (simetría axial) origen de coordenadas (simetría central) 
 
 
Definición de función no simétrica 
Se dice que la función f NO ES SIMETRICA si no es Par ni Impar. 
 
Intersección de la gráfica con los ejes coordenados 
 Intersección con el eje x (∩ �⃗�) → 𝑓(𝑥) = 0 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 Intersección con el eje y (∩ �⃗�) → 𝑓(0) = 𝑦 
 
Definición de función creciente Definición de función decreciente 
Una función f se dice creciente en un intervalo Una función f se dice creciente en un intervalo 
si para todo par de puntos 𝑥1 y 𝑥2 del intervalo si para todo par de puntos 𝑥1 y 𝑥2 del intervalo 
se cumple que: se cumple que: 
𝑺𝒊 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 → 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐) 𝑺𝒊 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 → 𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASIFICACION DE FUNCIONES 
 Función Constante 
 Función Lineal 
 Entera Función Cuadrática 
 Función Cúbica 
 Racional Función Bicuadrada 
 
ALGEBRAICAS Fraccionaria 
 
 Irracional 
 Exponencial 
 Logarítmica 
TRASCENDENTES Circulares: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 Trigonométricas Hiperbólicas: 𝑦 = 𝑆ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝐶ℎ 𝑥 
 Trigonométricas inversas: y=arcsen x , y=arc tg x 
 Valor Absoluto 
ESPECIALES Signo 
 Parte Entera 
 
MÉTODO PARA DETERMINAR ASÍNTOTAS HORIZONTALES EN FUNCIONES 
RACIONALES FRACCIONARIAS 
𝒇(𝒙) =
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
=
𝒂𝟎.𝒙
𝒏
𝒃𝟎.𝒙
𝒎 n = grado del polinomio numerador; m = grado polinomio 
denominador 
1- Si 𝑛 > 𝑚 la gráfica de f no tiene A.H. 
2- Si 𝑛 = 𝑚 la gráfica de f tiene A.H. en 𝒚 =
𝒂𝟎
𝒃𝟎
 
3- Si 𝑛 < 𝑚 la gráfica de f tiene A.H. en 𝒚 = 𝟎 (𝑒𝑗𝑒 𝑥) 
𝑖) 𝑓(𝑥) =
3𝑥3 − 𝑥2 + 1
𝑥2 + 5
 
𝑛 = 3 , 𝑚 = 2 
𝑛 > 𝑚 la gráfica de f no tiene A.H. 
𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) =
4𝑥3 − 𝑥2 + 1
𝑥3 + 5
 
𝑛 = 3 , 𝑚 = 3 
𝑛 = 𝑚 la gráfica de f tiene A.H. en 𝒚 =
𝒂𝟎
𝒃𝟎
=
𝟒
𝟏
= 𝟒 
𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2 − 𝑥2 + 1
𝑥3 + 5
 
𝑛 < 𝑚 la gráfica de f tiene A.H. en 𝒚 = 𝟎 
 
 
 
 
 
FUNCION EXPONENCIAL 
La función exponencial presenta la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 > 𝟎 𝒚 𝒂 ≠ 𝟏 
 Dom f : ℝ 
 Si 0 < 𝑎 < 1 f es decreciente 
 Si 𝑎 > 1 f es creciente 
 f presenta asíntota horizontal 
 f no tiene asíntota vertical 
 f es biunívoca 
 𝑓−1 es la función logarítmica 
 
 
 
 
FUNCION LOGARITMICA 
La función logarítmica presenta la forma: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 
𝒂 > 𝟏 𝒚 𝒂 ≠ 𝟏 
 Dom f: (0, ∞) 
 Rgo f: ℝ 
 Si 0 < 𝑎 < 1 f es decreciente 
 Si 𝑎 > 1 f es creciente 
 f presenta asíntota vertical 
 f no tiene asíntota horizontal 
 f es biunívoca 
 𝑓−1 es la función exponencial 
 
FUNCION VALOR ABSOLUTO 
Presenta la forma: 𝒇(𝒙) = |𝒙| 
 Dom f: ℝ 
 Rgo f: [0, ∞) 
 según la definición de Valor Absoluto tenemos: 
 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 
 𝑓(𝒙) = |𝒙| = 
 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 
 
 
FUNCION BIUNIVOCA, FUNCION INYECTIVA O FUNCION UNO A UNO 
Una función f es biunívoca (inyectiva o uno a uno) si para todo par de elementos 
𝑥1 y 𝑥2 del dominio de f con 𝑥1 ≠ 𝑥2, se cumple que 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 
Criterio Grafico (criterio de la recta horizontal) 
Se trazan rectas horizontales que intersecten a la gráfica de f. Si lo hace en un solo 
punto, la función graficada es biunívoca. 
 
 
 
 
 
 
FUNCION INVERSA 
Para que exista 𝑓−1 la función f debe ser biunívoca. 
Si f no es biunívoca, se restrinje el dominio para poder formar 𝑓−1 
Procedimiento 
Sea la función biunívoca 𝑦 = 𝑓(𝑥), para determinar su inversa 𝑓−1 
1- Se despeja “x” o sea se expresa 𝑥 = 𝑓(𝑦) (1) 
2- Se permutan las variables de (1) quedando 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) 
Características de 𝒇 𝒚 𝒇−𝟏 
 Si 𝑓 es creciente/decreciente, su inversa 𝑓−1 también lo será 
creciente/decreciente. 
 𝑑𝑜𝑚 𝑓−1 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝑦 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓−1 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
 Las gráficas de 𝑓 𝑦 𝑓−1 resultan simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 (la 
primera bisectriz) 
 
ALGEBRA DE FUNCIONES 
Dadas las funciones definidas por y=f(x) , y=g(x) es posible formar, bajo ciertas 
condiciones, una nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o 
dividirlas. 
Es así que: 
i. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔} 
ii. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔} 
iii. 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔} 
iv. 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 ⋀ 𝑔(𝑥) ≠ 0} 
v. 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 ⋀ 𝑓(𝑥) ≠ 0} 
 
 
 
 
FUNCION COMPUESTA 
Para que 𝑔(𝑓) pueda formarse se debe cumplir que: 𝒓𝒈𝒐 𝒇 ∩ 𝒅𝒐𝒎 𝒈 ≠ ∅ 
El dominio de g(f) es: 𝑫𝒈(𝒇) = {𝒙 ∈ 𝑫𝒇 /𝒇(𝒙) ∈ 𝑫𝒈} 
 
Ejercicios 
Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝐴𝑥
10𝑥−2
, ¿ 𝑞𝑢é 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝐴 𝑠𝑖 𝑓(8) = −1? 
𝑓(8) = −1 
𝐴. 8
10.8 − 2
= −1 
8. 𝐴
78
= −1 
 
8𝐴 = −78 
𝐴 =
−78
8
= −9,75 
 
 
𝑖) (𝑓 + 𝑔)(0) = 𝑓(0) + 𝑔(0) = 3,5 + (−2,5) = 1 
𝑖𝑖) (𝑓 ∗ 𝑔)(−1) = 𝑓(−1) ∗ 𝑔(−1) = 4 + (−4) = −16 
𝑖𝑖𝑖) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = [−3,5] ∩ [−4,4] = [−3,4]