UNIDAD 3 2

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Una función inyectiva f es si cada elemento del conjunto final Y tiene un único
elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber
más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de
funciones “uno a uno”.
FUNCION INYECTIVA 
𝑺𝒊 ; 𝒇(𝒙𝟏) = 𝒇(𝒙𝟐)
Una comprobación gráfica de la
inyectividad de una función es
cuando cualquier recta paralela al
eje X corta a la misma, como
máximo, en un punto.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
𝑓(𝑥1) = 2𝑥1 + 1
𝑓(𝑥2) = 2𝑥2 + 1
𝑥1 = 𝑥2
2𝑥1 + 1 =2𝑥2 + 1
2𝑥1 + 1 − 1 =2𝑥2
2𝑥1 =2𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 ; ES INYECTIVA
Determinar si 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
es inyectiva
Comprobación mediante gráfica.
FUNCION SOBREYECTIVA
Una función sobreyectiva o también llamada suprayectiva ; f es una función tal
que todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto
inicial X al que le corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto
final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales
su co-dominio y rango.
En términos matemáticos, f es sobreyectiva si:
∀𝒚 ∈ 𝑪𝒐𝒅𝒐𝒎 𝒇, 𝒙∃ 𝑫𝒐𝒎
𝒇
𝒇 𝒙
= 𝒚
𝒇 𝒙 =y
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Y=2x+1
2x=y-1
x=
𝑦−1
2
𝑓
𝑦 − 1
2
= 2(
𝑦 − 1
2
) + 1
𝑓 𝑥 = 𝑦 − 1 + 1
𝑓 𝑥 = 𝑦
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 ; ES SOBREYECTIVA
Dada la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Determinar si es sobreyectiva.
X
Y
f(x)=2x+1
FUNCION - BIYECTIVA
Una función es biyectiva es una función f que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
𝑓(𝑥1) = 2𝑥1 + 1
𝑓(𝑥2) = 2𝑥2 + 1
𝑥1 = 𝑥2
2𝑥1 + 1 =2𝑥2 + 1
2𝑥1 + 1 − 1 =2𝑥2
2𝑥1 =2𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 ; ES INYECTIVA
Dada la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Determinar si es BIYECTIVA.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Y=2x+1
2x=y-1
x=
𝑦−1
2
𝑓
𝑦 − 1
2
= 2(
𝑦 − 1
2
) + 1
𝑓 𝑥 = 𝑦 − 1 + 1
𝑓 𝑥 = 𝑦
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 ; ES SOBREYECTIVA
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 ES INYECTIVA Y 
SOBREYECTIVA .
POR LO TANTO PODEMOS DECIR 
QUE ES UNA FUNCION 
BIYECTIVA
Función- Inversa 
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Sea f una función que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo
conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función
recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el
camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos
de X.
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Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:
También podemos definir una función inversa a partir de la composición de
funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.
Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.
Además, tanto f como f ˉˡ deben de ser biyectivas.
1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función 
compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos 
la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:
2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.
3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.
4. La función inversa no siempre existe.
5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable 
también lo será la función inicial.
6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.
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La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz 
del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente 
imagen:
Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces 
las pendientes de las tangentes en M y en M´ son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en 
M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m.
Observación: Recuerde que no es lo mismo la función inversa, que la inversa de una función.
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El ejemplo más conocido e importante de funciones
inversas es la función exponencial y la función
logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones
gráficas son simétricos respecto de la bisectriz del primer y
tercer cuadrante:
 Sea f:R→R una función biyectiva. Para calcular su
inversa seguimos los siguientes pasos:
1. Igualamos la expresión de la función a y.
2. Despejamos la incógnita x (así, queda en función de y).
3. Cambiamos la x por y y viceversa. La expresión
obtenida es la de la inversa.
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Ejemplo
Calculamos la inversa de la función
1. Igualamos a y:
2. Despejamos x:
3. Intercambiamos x por y:
Por tanto, la función inversa es
FUNCIÓN LINEAL 
Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir tiene la 
forma:
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ; 𝒎 ^ 𝒃 ∈ 𝑹
Donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.
 Pendiente
• Geométricamente m indica la 
inclinación de la recta.
• Se puede calcular la pendiente de una 
recta que pasa por los puntos (x1;y1) y 
(x2;y2) mediante la fórmula:
• Si la pendiente de una función lineal es 
positiva , la función es creciente.
• Si la pendiente de una función lineal es 
negativa, la función es decreciente
• Si la pendiente de una función lineal es cero, 
la función es constante. (paralela al eje x)
 Paralelas y Perpendiculares
 Dos rectas son paralelas si no se
cortan en ningún punto (o si son
iguales). Esto ocurre cuando tienen la
misma pendiente 𝒎.
 Dos rectas son perpendiculares si se
cortan formando un ángulo recto. Las
rectas perpendiculares a la recta con
pendiente 𝒎 son las que tienen
pendiente −𝟏/𝒎.
 Gráfica
o Vamos a representar la gráfica de la función:
o Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica:
o Representamos la recta a partir de los puntos (4,5)(4,5) y (−2,−7)(−2,−7):
o La recta corta al eje Y por debajo del eje X, esto se debe a que la ordenada es negativa (𝒃 = −𝟑).
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
DEFINICIÓN 
 Una función cuadrática es aquella que a cada valor de la variable x 
le asigna como imagen el valor que toma el polinomio de grado 2:
 Donde a,b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
y= f(x)= 𝑎𝑥2 + bx + c
y= f(x)= 𝑎𝑥2 + bx + c
a≠ 0
• Se llama función cuadrática a una 
función polinómial real de variable 
real que tiene grado dos. La función 
cuadrática tiene la forma:
• El dominio de toda función cuadrática 
es el conjunto de los números reales 
decir que: 
D: f = reales 
• El dominio de esta función es el 
conjunto de los números reales y 
su grafico es siempre una 
parábola 
 Como identificar una función cuadrática 
 Tipos de funciones cuadráticas 
Función canónica:
• Una expresión de suma de productos o de 
producto de sumas dependientes de n 
variables es canónica si contiene literales 
no redundantes y cada producto o suma 
tiene exactamente n literales. 
• Función polinómica: es una relación que 
para cada valor de la entrada proporciona 
un valor que se calcula con un polinomio.
• Función factorizada: toda función 
cuadrática se puede factorizar en función 
de sus raíces. 
Ejemplos de funciones cuadráticas 
FUNCIÓN POLINOMIAL 
La función polinomial se define como:
 Gráfica de funciones 
polinomiales
Si el polinomio es factorable se 
procede con los siguientes puntos:
1) Calcular la simetría.
2) La intersección en “y” 
3) Factorar.
4) Intervalos de posición de la gráfica.