EJERCICIOS DE FINALES_1

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𝑧 = 𝑒𝑦 . 𝐹 (𝑦. 𝑒
𝑥2
2𝑦2) (𝑥2 − 𝑦2). 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦. 𝑧𝑦 = 𝑥𝑦𝑧 
𝑧𝑥 = 𝑒
𝑦 . 𝐹′. 𝑦. 𝑒
𝑥2
2𝑦2 .
2𝑥
2𝑦2
=
𝑥
𝑦
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ 
𝑧𝑦 = 𝑒
𝑦 . 𝐹 + 𝑒𝑦 . 𝐹
′(𝑒
𝑥2
2𝑦2+𝑦.𝑒
𝑥2
2𝑦2 .(
−𝑥2.4𝑦
4𝑦4
))
= 𝑒𝑦 . 𝐹 + 𝑒𝑦 . 𝐹′. (𝑒
𝑥2
2𝑦2 −
𝑥2
𝑦2
𝑒
𝑥2
2𝑦2) 
𝑧𝑦 = 𝑒
𝑦 . 𝐹 + 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ −
𝑥2
𝑦2
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹 
(𝑥2 − 𝑦2). 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦. 𝑧𝑦 = 𝑥𝑦𝑧´ 
Reemplazando 
(𝑥2 − 𝑦2).
𝑥
𝑦
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ + 𝑥𝑦. (𝑒𝑦 . 𝐹 + 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ −
𝑥2
𝑦2
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹) = 𝑥𝑦𝑧 
𝑥3
𝑦
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ − 𝑥𝑦. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ + xy. 𝑒𝑦 . 𝐹 + 𝑥𝑦. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ −
𝑥3
𝑦
. 𝑒𝑦 . 𝑒
𝑥2
2𝑦2 . 𝐹′ 
xy. 𝒆𝒚. 𝑭 = 𝑥𝑦𝑧 
𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 
 
1
𝑦 − 1
. 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥). 𝑑𝑥 +
𝑞(𝑥)
1 − 𝑦
. 𝑑𝑥 = 0 
1
𝑦 − 1
. 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥). 𝑑𝑥 +
𝑞(𝑥)
−(𝑦 − 1)
. 𝑑𝑥 = 0 
1
𝑦 − 1
. 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥). 𝑑𝑥 −
𝑞(𝑥)
𝑦 − 1
. 𝑑𝑥 = 0 
 
 
Multiplicando ambos miembros por (y-1) 
𝑑𝑦 + (𝑦 − 1). 𝑝(𝑥). 𝑑𝑥 − 𝑞(𝑥). 𝑑𝑥 = 0 
Divido ambos miembros por dx 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑦 − 1). 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = 0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦. 𝑝(𝑥) − 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = 0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥). 𝑦 = 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) 
Donde f(x)=p(x)+q(x) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥). 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝐸𝐷 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 
Solución 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥). 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Multiplico por dx 
𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥). 𝑦. 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 
[𝑝(𝑥). 𝑦 − 𝑓(𝑥)]. 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 
𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 
𝑝(𝑥) ≠ 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 
Multiplicamos por F(x) para que sea exacta 
𝐹(𝑥). [𝑝(𝑥). 𝑦 − 𝑓(𝑥)]. 𝑑𝑥 + 𝐹(𝑥). 𝑑𝑦 = 0 
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
𝑃𝑦 = 𝑄𝑥 
𝐹(𝑥). 𝑝(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝐹(𝑥). 𝑑𝑥 =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑝(𝑥)
 
 
 
∫ 𝐹(𝑥). 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝐹(𝑥)
𝑝(𝑥)
 
∫ 𝐹(𝑥). 𝑑𝑥 = ln 𝐹(𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑒∫ 𝐹(𝑥).𝑑𝑥 
 
 
𝑦′ + 𝑝(𝑥). 𝑦 = 𝑞(𝑥). 𝑦. ln 𝑦 𝑣 = ln 𝑦 
𝑣 = ln 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 𝑒𝑣 → 𝑦′ = 𝑒𝑣. 𝑣′ 
𝑒𝑣. 𝑣′ + 𝑝(𝑥). 𝑒𝑣 = 𝑞(𝑥). 𝑒𝑣 . 𝑣 
Dividiendo ambos miembros por 𝑒𝑣 
𝑣′ + 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑣 
𝑣′ − 𝑞(𝑥). 𝑣 = −𝑝(𝑥) 𝐸𝐷 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝑞(𝑥). 𝑣 = −𝑝(𝑥) 
𝑑𝑣 − 𝑞(𝑥). 𝑣. 𝑑𝑥 = −𝑝(𝑥). 𝑑𝑥 
[−𝑞(𝑥). 𝑣 + 𝑝(𝑥)]. 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 = 0 
𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 
−𝑞(𝑥) ≠ 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 
Multiplicamos por F(x) para que sea exacta 
𝐹(𝑥). [−𝑞(𝑥). 𝑣 + 𝑝(𝑥)]. 𝑑𝑥 + 𝐹(𝑥). 𝑑𝑣 = 0 
𝑃𝑦 = 𝑄𝑥 
𝐹(𝑥). (−𝑞(𝑥)) =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
 
−𝑞(𝑥). 𝑑𝑥 =
𝑑𝐹(𝑥)
𝐹(𝑥)
 
 
 
ln 𝐹(𝑥) = − ∫ 𝑞(𝑥). 𝑑𝑥 
𝐹(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝑞(𝑥).𝑑𝑥 
 
Dada la integral ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
1
0
2𝜋
0
2
0
 ¿Es cierto que representa el volumen de un 
cilindro circular recto de altura 2 y radio 1? 
Falso, porque falta el valor absoluto del jacobiano de transformación 
∭ 𝑑𝑉
𝑅
= ∭ |𝐽 (
𝑥 𝑦 𝑧
𝑟 𝜃 𝑧
)| . 𝑑𝑉
𝑇
 
 
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
 𝑑𝑉 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∭ 𝑑𝑉
𝑅
= 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 
∫ ∫ ∫ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
1
0
2𝜋
0
2
0
 
 
 
- ¿Es cierto que ∫ ∫ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = [∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥]
2
? Justifique. 
∫ ∫ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) [∫ 𝑓(𝑦)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)[𝐹(𝑦)𝑎
𝑏]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
∫ 𝑓(𝑥)[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]. [𝐹(𝑥)𝑎
𝑏] 
 
 
[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]. [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)] = [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]2 
[∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥]
2
= [𝐹(𝑥)𝑎
𝑏]2 = [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)]2 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 
 
2.a- Deduzca la fórmula para calcular el momento de inercia de la lámina circular 
de radio r centrada en el origen de densidad variable, con respecto a una recta de 
ecuación 𝑦 = 𝑘, 𝑘 > 0 𝑦 𝑘 > 𝑟. 
 
 
Si R es una región cerrada y acotada del plano 𝑥𝑦 cuya área es A. Si ℎ(𝑥, 𝑦) = 6 
∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 pruebe que ∬ ℎ(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴 = 6𝐴 
∬ ℎ(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∬ 6
𝑅
 𝑑𝐴 = 6. ∬ 𝑑𝐴
𝑅
= 6. 𝐴 
∬ ℎ(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = lim
‖𝑃‖→0
∑ ℎ(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖)
𝑛
𝑖=1
 ∆𝐴 = lim
‖𝑃‖→0
∑ 6
𝑛
𝑖=1
 ∆𝐴 = lim
‖𝑃‖→0
6. ∑ ∆𝐴
𝑛
𝑖=1
 
∬ ℎ(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = 6. lim
‖𝑃‖→0
∑ ∆𝐴
𝑛
𝑖=1
= 6. 𝐴 
 
2.a- Deduzca usando integrales triples el cambio de variables adecuado el volumen 
del cilindro elíptico 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 de altura h. 
 
 
∭ 𝑑𝑉
𝑅
= ∭ |𝐽 (
𝑥 𝑦 𝑧
𝑟 𝜃 𝑧
)|
𝑇
 𝑑𝑉 
Ecuaciones de transformación 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥 = 𝑎. 𝑟. cos 𝜃 
𝑦 = 𝑏. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑧 = 𝑧 
𝐽 (
𝑥 𝑦 𝑧
𝑟 𝜃 𝑧
) = |
𝑥𝑟 𝑥𝜃 𝑥𝑧
| = ⋯ . . = 𝑎. 𝑏. 𝑟 
∭ 𝑑𝑉
𝑅
= ∭ 𝑎. 𝑏. 𝑟
𝑇
 𝑑𝑉 = 𝑎. 𝑏. ∭ 𝑑𝑉
𝑅
= 𝑎. 𝑏. ∬ [∫ 𝑟
ℎ
0
 𝑑𝑧]
𝑅′
𝑑𝐴
= 𝑎. 𝑏. ∬[𝑟. 𝑧0
ℎ]
𝑅′
𝑑𝐴 = 𝑎. 𝑏. ∬[𝑟. ℎ]
𝑅′
𝑑𝐴 = 𝑎. 𝑏. ℎ. ∬ 𝑟
𝑅′
𝑑𝐴