Ecuaciones de Maxwell final

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Física II (Electricidad y Magnetismo)
LIBROS RECOMENDADOS
•Apuntes de la cátedra (Campus General de Fisica II)
•Sears- Zemasnky -Tomo II
•Tepler, TomoII
•Roederer, de electricidad y magnetismo (EUDEBA)
•Fisica para Ciencia de la Ingeniería, Mckelvey
•Serway- Jewett 
Profesora : Dra. Elsa Hogert
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Ecuaciones de Maxwell
Bibliografía consultada:
•Apuntes de la cátedra de Fisica II
•Sears- Zemasnky -Tomo II
•Fisica para Ciencia de la Ingeniería, Mckelvey
•Serway- Jewett --Tomo II
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𝜵.𝑫 = 𝝆𝑳𝜵.𝑩 = 𝟎
𝜵⊗𝑬 = −𝝏𝑩𝝏𝒕
𝑫.𝒅𝑺װ = 𝒒𝑳඾𝑩.𝒅𝑺 = 𝟎
ර𝐄. 𝐝Ԧ𝐥 = −𝛛 .𝐁װ 𝐝Ԧ𝐒𝛛𝐭
Maxwell en 1865 reúne las leyes de Biot y Savart , Coulomb, Gauss, 
Faraday y Ampere para reformular los campos E y M
Comprueba la validez de :
𝑬(𝒓) = 𝟏𝟒𝝅𝜺𝟎න𝝆(𝒙′, 𝒚′, 𝒛′). 𝒓 − 𝒓′𝒓 − 𝒓′ 𝟑 𝒅𝒙′𝒅𝒚′𝒅𝒛′ Ley de COULOMB𝑩 = න 𝝁𝟎𝟒𝝅 𝑰𝒅𝒍′ × 𝒓 − 𝒓′𝒓 − 𝒓′ 𝟑 Ley de BIOT Y SAVART
Ley de GAUSS
Ley de GAUSS
Ley de MAXWELL -AMPERES
Se cumple siempre
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𝑴 = 𝒎𝑯
𝑩 = 𝝁𝟎 𝟏 + 𝝌𝒎 𝑯 = 𝝁𝟎𝝁𝒓𝑯 = susceptibilidad magnética 
= Permeabilidad magnética = 𝜇𝑟 𝜇0
𝑫 = 𝜺𝟎𝑬 + 𝑷𝑫 = 𝜺𝒓𝜺𝟎𝑬𝑷 = 𝝌 𝜺𝟎𝑬
Susceptibilidad eléctrica e>0
Permitividad dieléctrica del medio 𝜺𝒓𝜺𝟎
𝐁 : Vector Inducción Magnética
𝜌𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒: densidad volumétrica de carga libreԦ𝐉𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝜎𝐄 : densidad volumétrica de corriente libre o de conducción
𝐇 : Vector Campo Magnético
𝐄 : Vector Intensidad de Campo Eléctrico
𝐃 : Vector Desplazamiento Eléctrico
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Resumiendo
Fuerza de Coulomb y Ley de Gauss E
•Los campos E ejercen fuerzas sobre las q, y las q crean campos E
Fuerza de Lorentz y Leyes de Biot-Savart y Ampere
•Los campos B ejercen fuerzas sobre las I, y las I crean campos B
Ley de Ohm y y Leyes de Biot-Savart y Ampere
•Los campos E crean I y las I crean campos B
• Ley de Faraday
•Los B (variables) crean I, y ….. ¿¿crean campos E??
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La ley de Ampere fue formulada para corrientes estacionarias
ර𝑯.𝒅Ԧ𝒍 = 𝑰𝑪 𝜵⊗𝑯 = Ԧ𝑱
Portadores de carga en movimiento𝑰𝑪 = 𝒅𝒒𝒅𝒕 = නԦ𝑱 . 𝒅𝑺
∇. Ԧ𝐽 = 0
Cuando I es 
estacionaria
Pero si I no es estacionaria ∇. Ԧ𝐽 No es nula
∇. ∇ ⊗𝐻 = 0Pero se sabe que
Da idea de la cantidad de carga que está saliendo o 
entrando en un punto
A la ecuación de Amper le falta un término que contemple que ∇. Ԧ𝐽 ≠ 0
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Ley deAmpere cuando la corriente no depende del tiempo
t=0 s
t=1s
En el volumen de control y para 
todo tiempo, la cantidad de 
portadores es la misma: 12 𝑑𝑞𝑒𝑛 𝑉𝑑𝑡 = 0
La es siempre la misma.
Para Dt=1 s, entran 4 y salen 4.
Ԧ𝐽𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒
Ley de Ampere diferencial 𝜵 ×𝑯 = Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆𝜵 ⋅ (𝜵 × 𝑯) = 𝜵 ⋅ Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 = 𝟎
La Ley de Ampere es compatible con corrientes constantes
∇. Ԧ𝐽 = 0
t=2s
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Cuando la corriente depende del tiempo….
t=0 s
𝑞𝑒𝑛V(0) = 12
t=1s
𝑞𝑒𝑛V(1) = 8
Entraron 4 
Salieron 8
t=2s
Entraron 12 . 
Salieron 4𝑞𝑒𝑛V(2) = 16
Hay 12 en el volumen 
de control
𝐝𝐪𝐞𝐧 𝐕𝐝𝐭 = +𝟖 > 𝟎
𝒅𝒒𝒆𝒏 𝑽𝒅𝒕 = −𝟒 < 𝟎
∇ ⋅ Ԧ𝐉𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒 ≠ 0 ∇ × 𝐇 ≠ Ԧ𝐉𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒
∇. Ԧ𝐽 > 0
∇. Ԧ𝐽 < 0
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Ecuación de continuidad
𝜵 ⋅ 𝑫 = 𝝆𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆
Generalización de Maxwell: solución a la inconsistencia
඾Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 ⋅ 𝒅𝑨 = 𝑰𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆
Por conservación de la carga
𝝏𝝆𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆𝝏𝒕 = 𝝏𝝏𝒕 𝜵 ⋅ 𝑫
𝜵 ⋅ Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 = −𝝏𝝆𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆𝝏𝒕 Ecuación de continuidad
𝜵 ⋅ (Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 + 𝝏𝑫𝝏𝒕 )=0
𝜵 ×𝑯 = Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 + 𝝏𝑫𝝏𝒕 = Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 + Ԧ𝑱𝑫𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
=ම𝜵. Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒅𝑽
ම𝜵. Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒅𝑽 = − 𝒅𝒅𝒕ම𝝆𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒅𝑽
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∇ × 𝐇 = Ԧ𝐉𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒 + 𝜕𝐃𝜕𝑡
ර𝑪(𝑺)𝑯 ⋅ 𝒅𝒍 = ඵ𝑺 Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 ⋅ 𝒅𝑨 + 𝒅𝒅𝒕ඵ𝑺 𝑫 ⋅ 𝒅𝑨
Ley de Ampere - Maxwell 
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El Capacitor
~
R
En el dieléctrico Ԧ𝐽𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = 0∇ × 𝐇 = 𝜕𝐃𝜕𝑡 = Ԧ𝐉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Medios lineales, isótropos, homogéneos
En los cables Ԧ𝐽𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 ≠ 0∇ × 𝐇 = Ԧ𝐉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝐵 = 𝜇𝐻
රC(𝑆2)𝐇 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = 1𝜇 රC(𝑆2)𝐁 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = ඵ𝑆2 𝜕𝐃𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝐀 =ඵ𝑆2 Ԧ𝐉𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 ⋅ 𝑑𝐀
රC(𝑆1)𝐇 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = 1𝜇 රC(𝑆1)𝐁 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = ඵ𝑆1 Ԧ𝐉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ⋅ 𝑑𝐀 11
𝜵 ×𝑯 = Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 + 𝝏𝑫𝝏𝒕= Ԧ𝑱𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 + Ԧ𝑱𝑫𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
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රC(𝑆)𝐇 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = ඵ𝑆1 ∇ × 𝐇 ⋅ 𝑑𝐀 =ඵ𝑆2 ∇ × 𝐇 ⋅ 𝑑𝐀රC(𝑆)𝐇 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = ඵ𝑆1 ∇ × 𝐇 ⋅ 𝑑𝐀 = 𝑖𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐රC(𝑆)𝐇 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = ඵ𝑆2 ∇ × 𝐇 ⋅ 𝑑𝐀 = 𝑖𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧
La corriente de conducción
resulta numéricamente
igual a la de desplazamiento
iconducción= idesplazamiento
Oscilación del campo E entre placas genera la corriente
de desplazamiento, (no cargas en movimiento)
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L
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𝐁 = 𝜇2𝜋 𝜋𝑟𝐽𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 ෰𝜙 = 𝜇2𝜋 𝑖𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 𝑟𝑅2 Ǎ𝑒𝜙 𝑟 < 𝑅𝜇2𝜋 𝑖𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 1𝑟 Ǎ𝑒𝜙 𝑟 > 𝑅
𝐁 = 𝜇2𝜋 𝑖𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 1𝑟 Ǎ𝑒𝜙
•Líneas de B son cerradas
•Simetría cilíndrica 
•Sin efectos de borde 𝑩 = 𝑩 𝒓 ෬𝒆𝝓
iconduc
E
B
B
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Ley de Faraday - Maxwell 
∇ × 𝐄 = −𝜕𝐁𝜕𝑡
රC(𝑆)𝐄 ⋅ 𝑑Ԧ𝐥 = − 𝑑𝑑𝑡ඵ𝑆 𝐁 ⋅ 𝑑𝐀
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𝐁 𝑡
𝐄 𝑡
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Entonces
𝐄 𝑟 = 𝑑𝐵𝑑𝑡 𝑟2 Ǎ𝑒𝜑 𝑟 < 𝑅𝑑𝐵𝑑𝑡 𝑅22𝑟 Ǎ𝑒𝜑 𝑟 > 𝑅
iconduc E(t)
B
B
conductor
𝐁 𝑟 = 𝜇2𝜋 𝑖𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 𝑟𝑅2 Ǎ𝑒𝜙 𝑟 < 𝑅𝜇2𝜋 𝑖𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧 1𝑟 Ǎ𝑒𝜙 𝑟 > 𝑅







 












 




B(t)
E
De la Ley de Ampere-Maxwell De la Ley de Faraday-Maxwell
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~
R
C
EC
L
V(t)
EL (debido a ) 
BL
Bconductor
BC (debido a )
𝜕𝐷𝜕𝑡
𝜕𝐵𝜕𝑡
Bconductor
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∇. 𝐷 = 𝜌𝐿∇. 𝐵 = 0
∇⊗ 𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡∇⊗ 𝐻 = Ԧ𝐽𝑐 + 𝜕𝐷𝜕𝑡
඾𝐷.𝑑 Ԧ𝑆 = 𝑞𝐿඾𝐵.𝑑 Ԧ𝑆 = 0
ර𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = −𝜕 .𝐵װ 𝑑 Ԧ𝑆𝜕𝑡ර𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐼𝑐 + 𝜕 .𝐷װ 𝑑 Ԧ𝑆𝜕𝑡
Ecuaciones de MAXWELL
Ԧ𝐣 = 𝜎 𝐄 𝐃 = 𝜀 𝐄 𝐁 = 𝜇 𝐇
 es la conductividad específica,
 la constante dieléctrica y
 la permeabilidad magnética, 
Cuando los cuerpos están en reposo 
relativo y el material es isótropo, 
homogéneo y no ferromagnético ,
 y  son parámetros constantes.
Relaciones constitutivas del medio.
𝑭𝑳 = 𝒒. (𝑬 + 𝒗⊗𝑩)
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Si se tiene E y B variables en el tiempo, que se propaga en el vacío, libre de
cargas y de corrientes, las ecuaciones de Maxwell expresan:
ሜ∇. ሜ𝐸 = 0ሜ∇. ሜ𝐵 = 0ሜ∇ ⊗ ሜ𝐸 = −𝜕 ሜ𝐵𝜕𝑡ሜ∇⊗ ሜ𝐵 = 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕 ሜ𝐸𝜕𝑡
∇. 𝐷 = 𝜌𝐿∇. 𝐵 = 0∇⊗ 𝐸 = − 𝜕𝐵𝜕𝑡∇⊗𝐻 = Ԧ𝐽𝑐 + 𝜕𝐷𝜕𝑡
𝐃 = 𝜀0 𝐄 𝐁 = 𝜇0 𝐇 𝐼 = 0, 𝜌 = 0
Para obtener E y Bሜ∇ ⊗ ሜ∇⊗ ሜ𝐸 = −𝜕 ሜ𝐵𝜕𝑡 ሜ∇⊗ ሜ∇⊗ ሜ𝐸 = ሜ∇( ሜ∇. ሜ𝐸) − ሜ∇2𝐸ሜ∇ ⊗ ሜ∇⊗ ሜ𝐸 = − ሜ∇2𝐸ሜ𝜵⊗ ሜ𝜵⊗ ሜ𝑬 = − ሜ𝜵𝟐𝑬 = − ሜ𝜵⊗ 𝝏 ሜ𝑩𝝏𝒕Este archivo fue descargado de https://filadd.com�
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ሜ∇ ⊗ ሜ∇⊗ ሜ𝐸 = − ሜ∇2𝐸 = − ሜ∇⊗ 𝜕 ሜ𝐵𝜕𝑡 = −𝜕 ሜ∇⊗ ሜ𝐁𝜕𝑡
ሜ∇⊗ ሜ𝐵 = 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕 ሜ𝐸𝜕𝑡ሜ∇2𝐸 = 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕2 ሜ𝐸𝜕𝑡2
ሜ∇2 ሜ𝐸 − 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕2 ሜ𝐸𝜕𝑡2 = 0ሜ∇2 ሜ𝐵 − 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕2 ሜ𝐵𝜕𝑡2 = 0
ሜ∇2 ሜ𝐸 = ∇2𝐸𝑥 ො𝑥 + ∇2𝐸𝑦 ො𝑦 + ∇2𝐸𝑧 Ƹ𝑧
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ሜ∇2 ሜ𝐸 − 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕2 ሜ𝐸𝜕𝑡2 = 0ሜ∇2ሜ𝐵 − 𝜇𝑜𝜀𝑜 𝜕2 ሜ𝐵𝜕𝑡2 = 0 ∇
2𝑢 − 1𝑣2 𝜕2𝑢𝜕t2 = 0
𝑐 = 1𝜀0𝜇0donde 𝜇0𝜀0 ≈ 8,85.10−12 𝑠2𝐶2𝑚3𝐾𝑔 4𝜋. 10−7𝑚𝐾𝑔𝐶2𝐶 = 1𝜇0𝜀0 = 2,997924562.108𝑚𝑠
Al propagarse, estas ondas transporta energía de un punto a otro. Como las ondas se 
pueden mover por el vacío, no hay desplazamiento físico de materia como en el caso de 
la propagación del sonido. 
La presencia de la onda, que consiste en campos eléctricos y magnéticos en oscilación, 
se detectan fácilmente con instrumentos apropiados
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ONDAS TRASVERSALES ?
¿ Qué es la perturbación?
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ONDAS SENOIDALESሜ𝑬(x, t) = 𝑬𝒐sen( ሜ𝒌. ljr−ω 𝒕)ෝ𝒚𝑩(x, t ) = 𝑩𝒐sen( ሜ𝒌. ljr−ω 𝒕)ො𝒛
donde: E
o
y B
o
es la amplitud máxima de los campos
w es la pulsación, w = 2pf
f es la frecuencia (número de ondas por unidad de 
tiempo)
k = 2p/l es el vector N° de onda
l es la longitud de onda
r es el vector posición
Ondas planas trasversales que se propagan 
en la dirección x (Ondas monocromáticas 
linealmente polarizadas)
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𝑬 𝒓, 𝒕 = 𝑬𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝒌. 𝒓 − 𝒊𝝎𝒕 ෝ𝒚𝑩 𝒓, 𝒕 = 𝑩𝟎 𝒄𝒐𝒔( 𝒊𝒌. 𝒓 − 𝒊𝝎𝒕)ො𝒛
𝜵 ⋅ 𝑬 = 𝟎𝜵 ⋅ 𝑩 = 𝟎De ො𝑦 ⋅ k = 0Ƹ𝑧 ⋅ k = 0 E y B son perpendiculares a la dirección de 
propagación k
De 𝜵 × 𝑬 + 𝟏𝒄 𝝏𝑩𝝏𝒕 = 𝟎 𝐵0 = 𝜇𝜀 𝐸0 = 𝐸0𝑣
Onda transversal que 
se propaga en la 
dirección k
Ondas Electromagnéticas planas
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M
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ENERGÍA TRANSPORTADA POR ONDAS 
ELECTROMAGNÉTICAS
c
𝑢 = 12 𝜀0𝐸2 + 12𝜇0 𝐵2
B0 = E0c = ε0μ0E0u = ε0E2
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FLUJO DE ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA
Las ondas electromagnéticas como las que hemos
descrito son ondas que transportan energía de
una región a otra.
El valor medio temporal de la energía transferida por unidad de área transversal = la intensidad de
la radiación en ese punto, la intensidad luminosa
I = S = EoBo2μ0 = Eo22μ0c = 12 ε0μ0 Eo = 12 ε0cE02
𝑑𝑙 = 𝑣 𝑑𝑡
A
S
Ԧ𝑆 = 1μ𝐸 × 𝐵
En cualquier punto x, la magnitud del vector de Poynting varía con el tiempo (aproximadamente 5 x 1014 Hz 
para la luz visible). 
Cualquier receptos de em ( por ejemplo el ojo) capta el valor medio temporal de la energía, 
Podemos describir esta transferencia de 
energía en términos de energía transferida por 
unidad de tiempo por unidad de área transversal, 
Vector de Poynting
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ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
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