Ejercicios universitarios de Analisis real 274

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PRÁCTICA DIRIGIDA N. 1 
PREGUNTA 1. Sea ||. || la norma euclideana en 𝑅𝑛. Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛, entonces ||𝑥 + 𝑦||
2
=
||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
 es válido si y solo si 〈𝑥, 𝑦〉 = 0. 
Solución 
Hip: Si ||𝑥 + 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
 demostrar que 〈𝑥, 𝑦〉 = 0 
Como ||𝑥 + 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
 
⟹ 2〈𝑥, 𝑦〉 = 0 ⟹ 〈𝑥, 𝑦〉 = 0. 
Hip: Si 〈𝑥, 𝑦〉 = 0 demostrar que ||𝑥 + 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
 
Veamos ahora que: ||𝑥 + 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
 
Por lo tanto, ||𝑥 + 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
. 
PREGUNTA 2. ¿El ejercicio anterior es válido para una norma en general que proviene de una 
producto interno.? 
PREGUNTA 3. Sea ||. || la norma euclideana en 𝑅𝑛. Si ||𝑥 + 𝑦|| = ||𝑥|| + ||𝑦||, con 𝑦 ≠ 0, 
demuestre que existe 𝛼 ≥ 0 tal que 𝑥 = 𝛼𝑦. 
Solución 
Si ||𝑥 + 𝑦|| = ||𝑥|| + ||𝑦|| ⟹ ||𝑥 + 𝑦||
2
= (||𝑥|| + ||𝑦||)
2
 
⟹ ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ 2||𝑥||||𝑦|| + ||𝑦||
2
 ⟹ 〈𝑥, 𝑦〉 = ||𝑥||||𝑦|| 
⟹ 〈𝑥, 𝑦〉2 = ||𝑥||
2
||𝑦||
2
 ⟹ ||𝑥||
2
||𝑦||
2
− 〈𝑥, 𝑦〉2 = 0 
Tomamos 𝑤 = 𝑥 −
〈𝑥,𝑦〉
〈𝑦,𝑦〉
𝑦 
⟹ 〈𝑤, 𝑤〉 = 〈𝑥 −
〈𝑥, 𝑦〉
〈𝑦, 𝑦〉
𝑦, 𝑥 −
〈𝑥, 𝑦〉
〈𝑦, 𝑦〉
𝑦〉 = ||𝑥||
2
−
〈𝑥, 𝑦〉
〈𝑦, 𝑦〉
〈𝑥, 𝑦〉 = ||𝑥||
2
−
〈𝑥, 𝑦〉2
||𝑦||
2 
〈𝑤, 𝑤〉 =
(||𝑥||
2
||𝑦||
2
− 〈𝑥, 𝑦〉2)
||𝑦||
2 = 0 ⟹ 〈𝑤, 𝑤〉 = 0 𝑠𝑠𝑠 𝑤 = 0 
⟹ 𝑤 = 𝑥 −
〈𝑥,𝑦〉
〈𝑦,𝑦〉
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 =
〈𝑥,𝑦〉
〈𝑦,𝑦〉
𝑦 =
〈𝑥,𝑦〉
||𝑦||
2 𝑦 = 𝑟𝑦, 𝑟 =
〈𝑥,𝑦〉
||𝑦||
2 ≥ 0, 𝑦 ≠ 0 
⟹ 𝑥 = 𝑟𝑦, 𝑟 ≥ 0. 
PREGUNTA 4. ¿ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥1𝑦1 + 2𝑥1𝑦2 + 2𝑥2𝑦1 + 3𝑥2𝑦2 define un producto interno sobre 𝑅
2? 
Solución 
Veamos que 〈𝑥, 𝑦〉 ≥ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 no siempre se cumple 
En efecto: 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥1
2 + 4𝑥1𝑥2 + 3𝑥2
2, como 1 > 0 𝑦 △= 16𝑥2
2 − 4(1)(3𝑥2
2) = 4𝑥2
2 ≥ 0 
⟹ 𝑝(𝑥1, 𝑥2) = 〈𝑥, 𝑦〉 no siempre es no negativo. 
Por lo tanto, 〈𝑥, 𝑦〉 no define un producto interno sobre 𝑅2. 
PREGUNTA 5. Si 〈, 〉 es un producto interno en 𝑅𝑛, demuestre que existe 𝐴 matriz 𝑛𝑥𝑛 simétrica 
tal que 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥𝑇𝐴𝑦, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛. 
Solución 
Tomando 𝐴 = (
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
) la matriz identidad de 𝑅𝑛 (simétrica) es tal que para 
𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) , 𝑦 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) dos elementos de 𝑅
𝑛; 
𝑥𝑇𝐴𝑦 = (
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
) (
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
) (𝑦1, … , 𝑦𝑛) = (
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
) (𝑦1, … , 𝑦𝑛) = 𝑥1𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑦𝑛 = 〈𝑥, 𝑦〉 
Por lo tanto, 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥𝑇𝐴𝑦 
PREGUNTA 6. ¿El ejercicio anterior es válido para cualquier producto interno? 
PREGUNTA 7. Sea ||. || la norma euclidiana en 𝑅𝑛. Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅𝑛 tales que 
||𝑥 − 𝑧|| = ||𝑥 − 𝑦|| + ||𝑦 − 𝑧||. Pruebe que existe 𝑡 ∈ [0,1] tal que 𝑦 = (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑧. ¿Es 
válido para las normas del máximo y de la suma? 
Solución 
Sean 𝑢 = 𝑥 − 𝑦, 𝑣 = 𝑦 − 𝑧 
⟹ ||𝑢 + 𝑣|| = ||𝑢|| + ||𝑣||, esta igualdad ocurre cuando en la desigualdad triangular 
||𝑢 + 𝑣|| ≤ ||𝑢|| + ||𝑣|| se tiene que 𝑢 = 𝛼𝑣. 𝛼 > 0 ∈ 𝑅 
⟹como 𝑢 = 𝛼𝑣 
𝑥 − 𝑦 = 𝛼(𝑦 − 𝑧) = 𝛼𝑦 − 𝛼𝑧 ⟹ 𝑥 + 𝛼𝑧 = 𝛼𝑦 + 𝑦 = (𝛼 + 1)𝑦 
⟹
1
𝛼+1
𝑥 +
𝛼
𝛼+1
𝑧 = 𝑦 ⟹ (1 −
𝛼
1+𝛼
) 𝑥 +
𝛼
𝛼+1
𝑧 = 𝑦 haciendo 𝑡 =
𝛼
1+𝛼
∈ [0,1] 
Pues como 0 < 1 ⟹ 𝛼 < 𝛼 + 1 ⟹
𝛼
1+𝛼
< 1 ⟹ 𝑡 < 1 ≤ 1 
Y 𝛼 ≥ 0 ⟹
𝛼
𝛼+1
≥ 0 ⟹ 𝑡 ≥ 0 
Por lo tanto, (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑧 = 𝑦, 𝑡 ∈ [0,1] 
¿Verificará para ||𝑥||
𝑀
 𝑦 ||𝑥||
𝑆
? NO. 
Tomando 𝑥 = (1,0), 𝑦 = (0,0), 𝑧 = (0,1) 
Se cumple que ||𝑥 − 𝑧||
𝑆
= ||𝑥 − 𝑦||
𝑆
+ ||𝑦 − 𝑧||
𝑆
 pero que no existe 𝛼 ∈ [0,1] tal que 
𝑦 = (1 − 𝛼)𝑥 + 𝛼𝑧 
En efecto: 
(0,0) = (1 − 𝛼)(1,0) + (0, 𝛼) = (1 − 𝛼, 𝛼) 
⟹ 1 − 𝛼 = 0 𝑦 𝛼 = 0 ⟹ 1 = 0 (contradicción). 
Análogo para ||𝑥||
𝑀
. 
PREGUNTA 8. Sea 〈, 〉 un producto interno en 𝑅𝑛. Consideremos la aplicación ||. ||: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 
definida por ||𝑥|| = √〈𝑥, 𝑥〉. Probar que |〈𝑥, 𝑦〉| ≤ ||𝑥||||𝑦|| 
Solución. En teoría. 
PREGUNTA 9. Si ||. || es una norma en 𝑅𝑛 inducido por un producto interno 〈, 〉. Muestre que 
||𝑥 + 𝑦||
2
+ ||𝑥 − 𝑦||
2
= 2 (||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
) (Identidad del Paralelogramo) 
||𝑥 + 𝑦||
2
− ||𝑥 − 𝑦||
2
= 4〈𝑥, 𝑦〉 (Identidad de Polaridad) 
Solución 
Identidad del Paralelogramo. 
Por hipótesis; ||𝑥||
2
= 〈𝑥, 𝑥〉, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 
||𝑥 + 𝑦||
2
+ ||𝑥 − 𝑦||
2
= 〈𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦〉 + 〈𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦〉
= ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
+ ||𝑥||
2
− 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
= 2 (||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
) 
Por lo tanto, ||𝑥 + 𝑦||
2
+ ||𝑥 − 𝑦||
2
= 2(||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
). 
Identidad de Polaridad. 
||𝑥 + 𝑦||
2
− ||𝑥 − 𝑦||
2
= 4〈𝑥, 𝑦〉 
Análogo que en lo anterior; 
||𝑥 + 𝑦||
2
− ||𝑥 − 𝑦||
2
= ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
− ||𝑥||
2
+ 2〈𝑥, 𝑦〉 − ||𝑦||
2
= 4〈𝑥, 𝑦〉 
Por lo tanto, ||𝑥 + 𝑦||
2
− ||𝑥 − 𝑦||
2
= 4〈𝑥, 𝑦〉. 
PREGUNTA 10. Considere en 𝑅𝑚 y en 𝑅𝑛 la norma euclidiana. 
a) Dada la aplicación lineal 𝐴: 𝑅𝑚 ⟶ 𝑅𝑛, muestre que existe una única aplicación lineal 
𝐴∗: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅𝑚, denominada la transpuesta (o adjunta) de 𝐴, tal que 〈𝐴𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝐴∗𝑦〉 
para cualquier 𝑥 ∈ 𝑅𝑚, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛. 
b) Dado 𝑏 ∈ 𝑅𝑛, la ecuación 𝐴𝑥 = 𝑏 posee solución 𝑥 ∈ 𝑅𝑚 si y solo si 𝑏 es ortogonal a 
todo elemento del núcleo de 𝐴∗ 
c) Muestre que el núcleo de 𝐴∗ y la imagen de 𝐴 tienen la misma dimensión. 
PREGUNTA 11. Una aplicación lineal 𝐴: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅𝑛 se denomina simétrica cuando 𝐴∗ = 𝐴. 
Muestre que el conjunto de las aplicaciones lineales simétricas 𝑆 es un subespacio vectorial de 
dimensión 
𝑛(𝑛+1)
2
 en 𝐿(𝑅𝑛; 𝑅𝑛). Cuando 𝐴∗ = −𝐴, se dice que 𝐴 es antisimétrica. Muestre que el 
conjunto de las aplicaciones lineales antisimétricas 𝐴 es un subespacio vectorial de dimensión 
𝑛(𝑛−1)
2
 en 𝐿(𝑅𝑛; 𝑅𝑛). Muestre que 𝐿(𝑅𝑚; 𝑅𝑛) = 𝑆 ⊕ 𝐴. 
PREGUNTA 12. Muestre que para todo funcional lineal 𝑓 ∈ (𝑅𝑛)∗ = {𝑓: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 ∶ 𝑓 𝑒𝑠 𝑡. 𝑙} 
existe un único vector 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 tal que 𝑓(𝑥) = 〈𝑦, 𝑥〉 cualquiera que sea 𝑥 ∈ 𝑅𝑛, donde 〈, 〉 es el 
producto interno usual de 𝑅𝑛. 
Solución 
Teorema. Sea 𝑉 un espacio euclídeo finito dimensional. La aplicación 𝜓: 𝑉 ⟶ 𝑉∗ definida por 
𝜓(𝑣) = 𝑣∗ tal que 𝑣∗(𝑥) = 〈𝑥, 𝑣〉, ∀𝑥 ∈ 𝑉, es un isomorfismo. 
Notación para 𝑣∗ ≔ 𝑓𝑣 
Demostración: 
Si 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 ⟹ 𝜓(𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + 𝑣)∗ 
Veamos que, 
(𝑢 + 𝑣)∗(𝑥) = 〈𝑥, 𝑢 + 𝑣〉 = 〈𝑢 + 𝑣, 𝑥〉 = 〈𝑢, 𝑥〉 + 〈𝑣, 𝑥〉 = 〈𝑥, 𝑢〉 + 〈𝑥, 𝑣〉 = 𝑢∗(𝑥) + 𝑣∗(𝑥) 
⟹ (𝑢 + 𝑣)∗(𝑥) = 𝑢∗(𝑥) + 𝑣∗(𝑥) = (𝑢∗ + 𝑣∗)(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑉 
⟹ (𝑢 + 𝑣)∗ = 𝑢∗ + 𝑣∗ 
⟹ 𝜓(𝑢 + 𝑣) = 𝜓(𝑢) + 𝜓(𝑣) 
Si 𝑢 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈ 𝐾 ⟹ 𝜆𝑢 ∈ 𝑉 
⟹ 𝜓(𝜆𝑢) = (𝜆𝑢)∗ 
Veamos que, 
(𝜆𝑢)∗(𝑥) = 〈𝑥, 𝜆𝑢〉 = 𝜆〈𝑥, 𝑢〉 = 𝜆〈𝑢, 𝑥〉 = 𝜆𝑢∗(𝑥) = (𝜆𝑢∗)(𝑥) 
⟹ (𝜆𝑢)∗(𝑥) = (𝜆𝑢∗)(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑉 
⟹ (𝜆𝑢)∗ = 𝜆𝑢∗ = 𝜆𝜓(𝑢) 
⟹ 𝜓(𝜆𝑢) = 𝜆𝜓(𝑢) 
Por lo tanto, 𝜓 es lineal. 
𝜓 es inyectiva 
Sea 𝑢 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜓) ⟹ 𝜓(𝑢) = 0 ⟹ 𝑢∗ = 0 
⟹ ∀𝑥 ∈ 𝑉; 𝑢∗(𝑥) = 0(𝑥) = 0, pero 𝑢∗(𝑥) = 〈𝑥, 𝑢〉 ⟹ 〈𝑥, 𝑢〉 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑢 = 0 
Así, 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = {0} 
𝜓 es sobreyectiva 
Como 𝜓: 𝑉 ⟶ 𝑉∗ es una transformación lineal, se tiene que 
dim(𝑉) = dim(𝐼𝑚(𝜓)) + dim(𝐾𝑒𝑟(𝜓)) = dim(𝐼𝑚(𝜓)) + 0 = dim(𝐼𝑚(𝜓)) 
⟹ dim(𝑉) = dim(𝑉∗) = dim(𝐼𝑚(𝜓)) , 𝐼𝑚(𝜓) ⊂ 𝑉∗ 
⟹ 𝑉∗ = 𝐼𝑚(𝜓) 
⟹ 𝜓 es un isomorfismo. 
Con ello, consideremos 𝐵 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛} una base de 𝑅
𝑛 ortonormal 
Como 𝑓 ∈ (𝑅𝑛)∗ entonces 
𝑓: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 𝑡. 𝑙 
𝑤 ↦ 𝑓(𝑤) 
Luego, ∀𝑗 = 1, … , 𝑛 se tiene 𝑓(𝑥𝑗) ∈ 𝑅 
⟹ 𝑓(𝑥1)𝑥1 + 𝑓(𝑥2)𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)𝑥𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)𝑥𝑗 ∈ 𝑅
𝑛
𝑛
𝑗=1
 
Tomemos 
𝑦 = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)𝑥𝑗 ∈ 𝑅
𝑛
𝑛
𝑗=1
 
Sea 𝑓𝑦: 𝑅
𝑛 ⟶ 𝑅, la aplicación definida por 𝑓𝑦(𝑥) = 〈𝑥, 𝑦〉 
Para 𝑘 ∈ {1, … , 𝑛}, 𝑥𝑘 ∈ 𝐵 
⟹ 𝑓𝑦(𝑥𝑘) = 〈𝑥𝑘 , 𝑦〉 = 〈𝑥𝑘 , ∑ 𝑓(𝑥𝑗)𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
〉 = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=1
〈𝑥𝑘 , 𝑥𝑗〉 = 𝑓(𝑥𝑘) 
⟹ 𝑓𝑦(𝑥𝑘) = 𝑓(𝑥𝑘), ∀𝑘 = 1, … , 𝑛 ⟹ 𝑓 = 𝑓𝑦 
⟹ 𝑓(𝑥) = 𝑓𝑦(𝑥) = 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑦, 𝑥〉, ∀𝑥 ∈ 𝑅
𝑛 
⟹ 𝑓(𝑥) = 〈𝑦, 𝑥〉, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 
Unicidad. 
Si 〈𝑥, 𝑢〉 = 〈𝑥, 𝑣〉, ∀𝑥∈ 𝑅𝑛 ⟹ 〈𝑥, 𝑢 − 𝑣〉 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 ⟹ 𝑢 − 𝑣 = 0 ⟹ 𝑢 = 𝑣 
PREGUNTA 13. Considere en 𝑅𝑚 y 𝑅𝑛 la norma euclidiana. Si 𝐴: 𝑅𝑚 ⟶ 𝑅𝑛 es una aplicación 
lineal, entonces son equivalentes: 
a) ||𝐴𝑥|| = ||𝑥|| para todo 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 
b) ||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦|| = ||𝑥 − 𝑦|| para cualquier 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 
c) 〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 para cualquier 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 
d) Todo conjunto ortonormal en 𝑅𝑚 es transformado por 𝐴 en un conjunto ortonormal en 
𝑅𝑛 
e) Las columnas de la matriz de 𝐴 también forman un conjunto ortonormal en 𝑅𝑛. 
Cuando 𝑚 = 𝑛, se tiene también 𝐴𝐴∗ = 𝐼 y la aplicación lineal 𝐴 es denominada ortogonal. 
Solución 
𝑎) ⟹ 𝑏) Si ||𝐴𝑥|| = ||𝑥||, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 ⟹ ||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦|| = ||𝑥 − 𝑦||, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 
En efecto: 
〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 =
1
4
(||𝐴𝑥 + 𝐴𝑦||
2
− ||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦||
2
) =
1
4
(||𝐴(𝑥 + 𝑦)||
2
− ||𝐴(𝑥 − 𝑦)||
2
) 
=
1
4
(||𝑥 + 𝑦||
2
− ||𝑥 − 𝑦||
2
) = 〈𝑥, 𝑦〉 
Ahora, veamos: 
||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦||
2
= ||𝐴𝑥||
2
− 2〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 + ||𝐴𝑦||
2
= ||𝑥||
2
− 2〈𝑥, 𝑦〉 + ||𝑦||
2
= (||𝑥|| − ||𝑦||)
2
 
⟹ ||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦|| = ||𝑥|| − ||𝑦|| 
𝑏) ⟹ 𝑐) Si ||𝐴𝑥 − 𝐴𝑦|| = ||𝑥 − 𝑦||, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 ⟹ 〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑦〉, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 
En efecto: 
𝑐) ⟹ 𝑑) 〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑦〉, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 ⟹ Todo conjunto ortonormal en 𝑅𝑚 es transformado por 
 𝐴 en un conjunto ortonormal en 𝑅𝑛 
En efecto: 
Sea 𝐵 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} ⊂ 𝑅
𝑚 un conjunto ortonormal 
⟹ ||𝑥𝑖|| = 1, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 y 〈𝑥𝑖 , 𝑥𝑗〉 = 𝛿𝑖𝑗 
〈𝐴𝑥𝑖 , 𝐴𝑥𝑗 〉 = 〈𝑥𝑖 , 𝑥𝑗〉 = 𝛿𝑖𝑗 y como 〈𝐴𝑥, 𝐴𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑦〉, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
𝑛 en particular para 𝑦 = 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 
〈𝐴𝑥, 𝐴𝑥〉 = 〈𝑥, 𝑥〉 ⟹ ||𝐴𝑥|| = ||𝑥||, ∀𝑥 ∈ 𝑅 
⟹, como ||𝑥𝑖|| = 1 ; ||𝐴𝑥𝑖|| = 1, ∀𝑖 ∈ {1, . , , , 𝑛} 
Por lo tanto, 𝐵′ = {𝐴𝑥1, … , 𝐴𝑥𝑛} es un conjunto ortonormal en 𝑅
𝑛. 
𝑑) ⟹ 𝑒) Todo conjunto ortonormal en 𝑅𝑚 es transformado por 𝐴 en un conjunto ortonormal en 
 𝑅𝑛 ⟹ 𝐴∗𝐴 = 𝐼 (Aplicación identidad de 𝑅𝑛) 
En efecto: 
𝑒) ⟹ 𝑓) 
En efecto: 
𝑓) ⟹ 𝑎) 
En efecto: 
PREGUNTA 14. Dados los números reales 𝑎, 𝑏, 𝑐 a fin de que exista en 𝑅2 un producto interno 
tal que 〈𝑒1, 𝑒1〉 = 𝑎, 〈𝑒1, 𝑒2〉 = 〈𝑒2, 𝑒1〉 = 𝑏 𝑦 〈𝑒2, 𝑒2〉 = 𝑐, es necesario y suficiente que 𝑎 >
0 𝑦 𝑎𝑐 > 𝑏2. 
PREGUNTA 15. Existe en 𝑅3 un producto interno tal que 
〈𝑒1, 𝑒1〉 = 2, 〈𝑒2, 𝑒2〉 = 3, 〈𝑒3, 𝑒3〉 = 4, 〈𝑒1, 𝑒2〉 = 0, 〈𝑒2, 𝑒3〉 = 〈𝑒3, 𝑒2〉 = 1 
PREGUNTA 16. Sea 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅𝑛 definimos [𝑎, 𝑏] = {(1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 ∶ 𝑡 ∈ [0,1]}. Si 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], 
entonces ||𝑏 − 𝑎|| = ||𝑏 − 𝑐|| + ||𝑐 − 𝑎||, donde ||. || es la norma euclideana. 
PREGUNTA 17. ¿El ejercicio anterior es válido para una norma que proviene de un producto 
interno? 
PREGUNTA 18. Considere 𝑑: 𝑅𝑛𝑥𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 definida por 
𝑑(𝑥, 𝑦) = {
0, 𝑥 = 𝑦
1, 𝑥 ≠ 𝑦
 
Mostrar que 𝑑 define una distancia en 𝑅𝑛. ¿Esta distancia proviene de una norma? 
Solución 
PREGUNTA 19. Muestre que toda norma ||. || en 𝑅 es de la forma ||𝑥|| = 𝛼|𝑥|, 𝛼 > 0 es una 
constante y 𝑥| es el valor absoluto de 𝑥. Concluya que toda norma en 𝑅 proviene de un producto 
interno. 
Solución 
Como 𝑥. 1 = 𝑥 entonces tomando norma; ||𝑥. 1|| = ||𝑥|| ent ||𝑥|| = ||𝑥. 1|| = |𝑥|||1|| 
El valor ||1|| es fijo, entonces, definimos 𝛼 = ||1|| > 0 ent ||𝑥|| = 𝛼|𝑥|, 𝛼 > 0. 
Si la norma proviene de un producto interno, entonces cumple la ley del Paralelogramo. 
En efecto: 
||𝑥 + 𝑦||
2
= 𝛼2|𝑥 + 𝑦|2 = 𝛼2(𝑥 + 𝑦)2 
||𝑥 − 𝑦||
2
= 𝛼2|𝑥 − 𝑦|2 = 𝑎2(𝑥 − 𝑦)2 
Sumando; 
||𝑥 + 𝑦||
2
+ ||𝑥 − 𝑦||
2
= 𝛼2[(𝑥 + 𝑦)2 + (𝑥 − 𝑦)2] = 𝛼2(2(𝑥2 + 𝑦2)) = 2𝛼2(𝑥2 + 𝑦2) 
||𝑥 + 𝑦||
2
+ ||𝑥 − 𝑦||
2
= 2𝛼2(𝑥2 + 𝑦2) = 2(𝛼2𝑥2 + 𝛼2𝑦2) = 2 (||𝑥||
2
+ ||𝑦||
2
) 
Por lo tanto, ||, || proviene de un producto interno. 
PREGUNTA 20. Demuestre que una métrica 𝑑 en 𝑅𝑛 proviene de una norma si y solo si 
𝑑(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑎) = 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑑(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = |𝜆|𝑑(𝑥, 𝑦), ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 𝑦 𝜆 ∈ 𝑅 
Solución 
Hipótesis: Si 𝑑 es una métrica en 𝑅𝑛 que proviene de una norma, es decir, 𝑑(𝑥, 𝑦) =
||𝑥 − 𝑦||, ∀𝑥. 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 entonces vamos a probar que, efectivamente se cumple: 
𝑑(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑎) = 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑑(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 𝑦 𝜆 ∈ 𝑅 
En efecto: Sean 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛, 𝜆 ∈ 𝑅, se cumple que 
𝑑(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑎) = ||𝑥 + 𝑎 − (𝑦 + 𝑎)|| = ||𝑥 − 𝑦|| = 𝑑(𝑥, 𝑦) 
𝑑(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = ||𝜆𝑥 − 𝜆𝑦|| = ||𝜆(𝑥 − 𝑦)|| = |𝜆|||𝑥 − 𝑦|| = |𝜆|𝑑(𝑥, 𝑦) 
Hipótesis: Si 
𝑑(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑎) = 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑑(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 𝑦 𝜆 ∈ 𝑅 
Entonces demostremos que la métrica 𝑑 en 𝑅𝑛 proviene de una norma. 
En efecto: 
Definimos 𝑑: 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 por 𝑑(𝑥, 0) = ||𝑥|| 
Afirmación 1. 𝑑(𝑥, 𝑦) = ||𝑥 − 𝑦|| esto garantiza que 𝑑 sea inducido por un producto interno. 
En efecto: 
Afirmación 2. ||, || es un producto interno. 
En efecto: 
PREGUNTA 21. Sea 𝑋 ⊂ 𝑅2 tal que la métrica euclideana induce en 𝑋 la métrica discreta. 
Muestre que 𝑋 tiene como máximo tres elementos. ¿Si 𝑋 ⊂ 𝑅3? Generalice para 𝑅𝑛. 
PREGUNTA 22. Fije números reales 𝛼, 𝛽 con 𝛼 < 𝛽 y para cada 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) colocamos 
||𝑥|| = sup{|𝑥1 + 𝑥2𝑡 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑡
𝑛−1| ∶ 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽}. Pruebe que esto define una norma en 𝑅𝑛, 
la cual no proviene de un producto interno. 
PREGUNTA 23. Sea ||. || una norma en 𝑅𝑛, ||. || proviene de un producto interno si y solamente 
si ||. || satisface la identidad del paralelogramo. 
Solución. En teoría. 
PREGUNTA 24. 〈, 〉 es un producto interno en 𝑅𝑛 si y solo si 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥𝑇𝐴𝑦, con 𝐴 matriz 
simétrica 𝑛𝑥𝑛 cuyos autovalores son estrictamente positivos. 
PREGUNTA 25. Sea 𝑑: 𝑅𝑛𝑥𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 una métrica en 𝑅𝑛. Verifique que 
𝛼(𝑥, 𝑦) = √𝑑(𝑥, 𝑦), 𝛽(𝑥, 𝑦) =
𝑑(𝑥, 𝑦)
1 + 𝑑(𝑥, 𝑦)
 𝑦 𝛾(𝑥, 𝑦) = mín{1, 𝑑(𝑥, 𝑦)} 
son métricas en 𝑅𝑛.