Mate_2__TP_3_2014

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Trabajo Práctico 3: Aplicaciones de la derivada Matemática II 
 
 
 
1 
Derivación implícita de funciones 
 
1. Obtener, en cada caso, el 
dx
dy mediante derivación implícita. 
a) 8xy2  
b) 2y7x 22  
c)   1xyy 32  ln 
d) 532 yx11yx  
e) 1y3ex y2  
f)  yxyex ln 
 
2. Dada la curva 4yx 22  
 
a) Hallar los puntos para los cuales la pendiente de la recta tangente a dicha curva es 1. 
b) Determinar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal. 
 
Regla de L’Hopital 
 
3. Calcular los siguientes límites, indicando previamente en cada caso el tipo de indeterminación. 
 
a) 
2
x
0x x
x1e 

lim 
b) xx
0x
ln.lim

 
c) 










)(.lim 1es s
1
s
 
d) 







 1x
x
1x
x
2
3
2
3
x
lim 
e) 
16t
2t
24t 


lim 
f) x
x
ex

lim
 
Aproximación de funciones 
 
4. Dada la función 
1x
1
xf

)( 
a) Determinar su dominio de definición y luego graficarla. 
b) Obtener la ecuación explícita de la recta tangente )(xty  a la gráfica de f en el punto de abscisa 51x 0 , . 
c) Agregar al gráfico obtenido en b) el trazado de la recta tangente. 
d) Calcular ),( 41f . 
e) Calcular ),( 41t y comparar el resultado con el obtenido en el ítem anterior. 
f) Interpretar en el gráfico el error cometido con la aproximación efectuada. 
g) ¿Es posible calcular, utilizando la misma recta tangente, un valor aproximado de ),( 80f ? Justificar. 
 
5. Calcular valores aproximados de: ),ln(;; 311401243 utilizando la ecuación de la recta tangente al gráfico de una 
función f elegida convenientemente en un punto adecuado. 
 
 Trabajo Práctico 3: Aplicaciones de la derivada Matemática II 
 
 
 
2 
6. Dadas las funciones 
 
i) xx
2
1
xf 2 )( x0 = 2,  x = 1 
ii) 12xxf  )ln()( x0 = 3,  x = -0,5 
 
a) Calcular, en cada caso, f y df para los valores de 0x y x dados. 
b) Representar gráficamente la función e indicar en dicho gráfico f , df y dff  . 
 
7. Mediante diferenciales calcular en forma aproximada: ),ln(;; 311401243 . Comparar con lo obtenido en el 
ejercicio 5. 
 
8. Calcular df para 3x1  y 
2
1
x  , sabiendo que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el 
punto de abscisa 3x1  es 8x9y3  . 
 
9. 
a) Hallar el polinomio de grado n que mejor aproxima a cada una de las siguientes funciones en un entorno de 0x . 
 
i) x21xf )( 2n  4x 0  
ii) 
x1
1
xf

)( 3n  0x 0  
iii) )()( 1x2exf  3n  1x 0  
 
b) Utilizar en cada caso el polinomio que corresponda para calcular un valor aproximado de 10e
80
1
88 ,;
,
;, . 
 
10. Desarrollar según la fórmula de Mac Laurin de orden 3 la función  1xxf  ln)( . Utilizar la fórmula obtenida 
para calcular un valor aproximado de  31,ln . 
 
Sugerencia: Podrás revisar el trabajo realizado en los ejercicios anteriores en las simulaciones sobre polinomio de Taylor 
y de Mc. Laurin que se encuentra en Web Campus, en la sección de recursos digitales. 
 
Estudio de funciones 
 
11. Para cada una de las siguientes funciones, hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Determinar 
los extremos relativos. 
 
a)    2x1x
2
1
xf 2 )( 
b) 3xxf )( 
 Trabajo Práctico 3: Aplicaciones de la derivada Matemática II 
 
 
 
3 
c) 
4x
x1
xf
2
2


)( 
 
12. Los directivos de una industria automotriz estiman que la demanda de un cierto modelo de automotores, en 
miles de pesos, está dada por 32
x2
e3p

 , donde x representa cantidad de autos, x  1,6 y p es el precio por 
unidad. Determinar el precio y la cantidad de unidades para los cuales el ingreso total de la industria es máximo. 
 
13. Hallar el valor de a de modo que (-1,f(-1)) sea un punto crítico de la función 1x2exf 1xa   )()( . ¿En ese 
punto crítico hay un extremo relativo? Justificar. 
 
14. Para cada una de las funciones cuyas gráficas se presentan a continuación: 
 
a) Determinar su dominio de definición. 
b) Indicar los extremos relativos y/o absolutos. 
c) Identificar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. 
d) Indicar los puntos de inflexión. 
e) Identificar los intervalos de concavidad positiva y de concavidad negativa 
 
 i) ii) 
 
 
15. Determinar los intervalos de concavidad positiva y negativa y los puntos de inflexión de las siguientes funciones: 
 
a) 3 2xxf )( 
b)   x2 ex1xf )( 
c) x6x2xf 3 )( 
d) 
x
1
xxf )( 
e) 
x
x
xf
ln
)(  
 
 Trabajo Práctico 3: Aplicaciones de la derivada Matemática II 
 
 
 
4 
16. Para cada una de las siguientes funciones estudiar dominio, asíntotas, continuidad, intervalos de crecimiento y de 
decrecimiento, máximos y mínimos locales y absolutos, intervalos de concavidad positiva y negativa, puntos de 
inflexión. Realizar la representación gráfica. Determinar el conjunto imagen en cada uno de los casos. 
 
a)    2x1xxf 2 )( 
b) 
2
2
1x
x
xf
)(
)(


 
c) 
2tetf )( 
 
17. Analizar intervalos de crecimiento y de decrecimiento e intervalos de concavidad positiva y negativa de las 
funciones que tienen las siguientes características: 
 
a) 
2x
1x
xf

)(´ sabiendo que Dom f = R - {0} 
b) 
3x
1x
xf
2


)(´ sabiendo que Dom f = Dom f’‘