Sem 14 - relacion de areas cuadrangulares y areas circulares

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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teoremas en toda región cuadrangular:
En el gráfico,
𝔸ℂ = 𝔹𝔻
Demostración:
• Por razón de áreas △𝑠 en el △ 𝐴𝐵𝐶:
Teorema 1:
Teorema 2:
𝔸
𝔹
=
𝑚
𝑛
• Por razón de áreas △𝑠 en el △ 𝐴𝐷𝐶:
𝔻
ℂ
=
𝑚
𝑛
• Igualando:
𝔸
𝔹
=
𝔻
ℂ
∴ 𝔸ℂ = 𝔹𝔻∎
En el gráfico:
Si 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 y 
𝐴𝑁 = 𝑁𝐷
𝔸 + ℂ = 𝔹
Teorema 3:
Si 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 y 
𝐴𝑁 = 𝑁𝐷
𝕏 + ℤ = 𝕐
se cumple:
𝔸 + ℂ = 𝔹 + 𝔻
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Teorema 4:
En el gráfico,
Si 𝑀, 𝑁, 𝑃 y 𝑄 son 
puntos medios
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝕊
𝔸 + ℂ = 𝔹 + 𝔻
Demostración:
• △𝐴𝑀𝑄~△ 𝐴𝐵𝐷:
• Análogamente:
(de 1 a 2)
𝔸𝐴𝐵𝐷 = 4𝔸→
• △ 𝐶𝑁𝑃~△ 𝐶𝐷𝐵:
𝔸𝐶𝐷𝐵 = 4ℂ→
(de 1 a 2)
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 4 𝔸 + ℂSumando:
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 4 𝔹 +𝔻
→ 4 𝔸 + ℂ = 4 𝔹 + 𝔻
∴ 𝔸 + ℂ = 𝔹 +𝔻∎
• Notamos:
𝔸 + ℂ = 𝔹 +𝔻 =
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷
4
𝔸 + ℂ + 𝔹 +𝔻 =
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷
2
∴ 2𝕊 = 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷∎
En el gráfico,
Si 𝑀, 𝑁, 𝑃 y 𝑄 son puntos medios
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝔸𝑀𝑁𝑃𝑄
También:
𝐴𝐵𝐶𝐷: 
cuadrilátero no 
convexo
𝐴𝐵𝐶𝐷: cuadrilátero 
convexo
Importante:
“En ambos casos sea el cuadrilátero convexo o no 
convexo, el cuadrilátero que se forma al unir 
consecutivamente los puntos medios de los lados es 
un paralelogramo conocido como el paralelogramo 
de Varignom”
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Teoremas en toda región trapecial:
Teorema 5:
En el gráfico:
se cumple:
𝕏 = 𝕐
Si 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Demostración:
• Sea: 𝔸𝐴𝑃𝐷 = 𝕊
• Por fórmula básica:
𝔸𝐴𝐵𝐷 = 𝕊+ 𝕏 =
𝑏ℎ
2
𝔸𝐴𝐵𝐷 = 𝕊 + 𝕐 =
𝑏ℎ
2
→ 𝕊+ 𝕏 = 𝕊 + 𝕐
∴ 𝕏 = 𝕐∎
Teorema 6:
En el gráfico:
se cumple:
𝕏 + ℤ = 𝕐
Si 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Demostración:
• Por teorema de 
regiones trapeciales:
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = ℓ𝑑
• Por fórmula básica:
𝕐 =
ℓ𝑑
2
y 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝕐
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝕐∎
→ 2𝕐 = ℓ𝑑
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Teorema 7:
En el gráfico:
Si 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶,
Teorema 8:
𝐴𝑀 = 𝑀𝐷 y 
𝐵𝑁 = 𝑁𝐶
se cumple:
𝕏 = 𝕐
Demostración:
• Por área de regiones
trapeciales:
∴ 𝕏 = 𝕐∎
𝕏 =
𝑚 + 𝑛
2
ℎ
𝕐 =
𝑚 + 𝑛
2
ℎ
En el gráfico:
Si 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶,
𝑀, 𝑁 y 𝐿 son 
puntos medios
se cumple:
𝔸 + 𝔹 = ℂ
Demostración:
• Sea: 𝔸𝑃𝑄𝐶𝐷 = 𝕊
∴ 𝔸 + 𝔹 = ℂ∎
• Por el Teorema 6:
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝕊 + ℂ
• Por el Teorema 7:
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝔸+ 𝔹 + 𝕊
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Teoremas en toda región paralelográmica:
Teorema 𝟗:
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
se cumple:
𝔸 = 𝔹
Teorema 𝟏𝟎:
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
se cumple:
𝔸 = 𝔹 = ℂ = 𝔻
Teorema 𝟏𝟏:
En el gráfico:
se cumple:
𝔸 + ℂ = 𝔹
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
Teorema 𝟏𝟐:
En el gráfico:
se cumple:
𝕏 + ℤ = 𝕐 +𝕎
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
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Teorema 𝟏𝟑:
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
se cumple:
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝕏 + 𝕐
Teorema 𝟏𝟒:
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
paralelogramo
se cumple:
𝕏 + ℤ = 𝕐
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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
Área del Círculo:
𝔸𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟
2
Área del Sector Circular:
𝔸𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜: área del círculo
Nota:
Luego del corte, 
extendemos todas 
las circunferencias
Notamos:
𝔸𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝔸△
𝔸𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 =
2𝜋𝑟𝑟
2
∴ 𝔸𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟
2
𝔸𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 =
𝜋𝑟2𝜃
360°
Área del Segmento Circular:
Por diferencia:
𝔸𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 𝔸𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑖𝑟𝑐.
− 𝔸△
𝔸𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
=
𝜋𝑟2𝜃
360°
−
𝑟2
2
𝑠𝑒𝑛𝜃
360° → 𝜋𝑟2
𝜃 → 𝔸𝑠𝑒𝑐.𝑐𝑖𝑟𝑐.
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Área de la Corona Circular:
Por diferencia:
𝔸 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 𝜋𝑅2 − 𝜋𝑟2
𝔸 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 𝜋 𝑅2 − 𝑟2
Teorema:
En el gráfico
𝑇 es punto de tangencia
𝔸 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 𝜋
ℓ2
4
Área del Trapecio Circular:
Área de la Faja Circular:
𝔸𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
=
𝜃
360°
𝜋 𝑅2 − 𝑟2
𝔸𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
=
ℓ1 + ℓ2
2
ℎ
𝔸 𝑓𝑎𝑗𝑎
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 𝑅2 𝜋 −
𝜋
360°
𝜃 + 𝛼 +
1
2
𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝛼
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Demostración:
Lúnulas de Hipócrates:
Demostración:
Se cumple: 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐
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𝕏 = 𝔸 + 𝔹+ ℂ
Demostración:
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Árbelo o Cuchilla de Zapatero:
Demostración: Demostración: