Sem 1 - conceptos, segmentos, angulos y teoremas en triangulos

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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
GEOMETRÍA
Definición: Es una rama de las matemáticas que tiene por objetivo el estudio de las figuras geométricas.
Figura geométrica:
Geometría Plana o Planimetría Geometría del Espacio o Estereometría
Términos geométricos:
i. Postulado o Axioma:
ii. Teorema:
iii. Corolario:
iv. Definición:
Es un subconjunto no vacío del espacio.
Nota:
El espacio 
es el 
conjunto 
de todos 
los puntos
Proposiciones que se admiten sin una demostración o prueba.
Triángulo Cuadrilátero Circunferencia
Proposición (hipótesis-conclusiones) que exigen una demostración o prueba. 
Proposición deducible inmediatamente de algún teorema. 
Cubo Cono
Es la descripción del tema a tratar. 
Nota:
Postulado
Teorema
Corolario
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Términos no definidos, Conceptos primitivos o Elementos Fundamentales:
1) Punto: 2) Recta: 3) Plano:
Notación:
Punto 𝐴:
Notación:
Recta 𝐿: Notación: Plano 𝑃:𝐴 ി𝐿 o 𝐴𝐵
Postulado de la Recta:
𝑃
Por dos puntos 
diferentes pasa una 
y sólo una recta que 
las contiene.
Nota:
Figuras colineales: Figuras coplanares:Son aquellas figuras contenidas en una
misma recta.
Son aquellas figuras contenidas
en un mismo plano.
𝐴, 𝐵 y 𝐶 son 
puntos colineales
𝐴 − 𝐵 − 𝐶
𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 son 
segmentos colineales
𝐴, 𝑃𝑄 y el triángulo 𝑀𝑁𝐿 son coplanares
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Segmento:
Notación:
Segmento 𝐴𝐵: 𝐴𝐵
𝐴 y 𝐵 son los extremos 
del segmento
Axioma de orden en la línea recta:
Si los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son colineales y 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶, 
entonces se dice que 𝐵 está entre 𝐴 y 𝐶 o 𝐵 está entre 
𝐶 y 𝐴. 
𝐴𝐵 = 𝐴; 𝐵 ∪ Τ𝑋 𝐴 − 𝑋 − 𝐵
Longitud del 𝐴𝐵: 𝐴𝐵 = 𝑑
Notación:
𝐴 − 𝐵 − 𝐶
Notación:
𝐶 − 𝐵 − 𝐴
Semirrecta:
Notación:
Semirrecta 𝑂𝐴:
Semirrecta 𝑂𝐵:
𝑂 es el origen para ambas semirrectas, pero no
pertenece a ninguna de ellas.
son semirrectas opuestas.y
Porción de línea recta comprendida entre dos puntos
de ella.
= − 𝑂
Rayo:
Notación:
Rayo 𝑂𝐴:
Rayo 𝑂𝐵:
𝑂 es el origen para ambos rayos, además pertenece
a cada una de ellas.
son rayos opuestos.y
= 𝑂𝐴 ∪ Τ𝑋 𝑂 − 𝐴 − 𝑋
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Punto medio de un segmento:
El punto medio de un segmento es aquel punto de
dicho segmento que lo divide en dos segmentos
congruentes.
Si 𝑀 ∈ 𝐴𝐵 y 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵
Entonces:
𝑀: punto medio del 
segmento 𝐴𝐵El punto medio de un 
segmento es único
Segmentos congruentes:
Dos segmentos congruentes son aquellos que tiene
igual longitud.
Notación:
𝐴𝐵 ≅ 𝑃𝑄
↔ 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 = 𝑑
Operaciones con las longitudes:
Puesto que se puede asociar a la longitud de todo
segmento un número real positivo, podemos realizar
las siguientes operaciones matemáticas con dichas
longitudes.
✓Adición:
En el gráfico:
𝐴 − 𝐵 − 𝐶
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶Se cumple: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐
✓Sustracción:
En el gráfico:
𝐴 − 𝐵 − 𝐶
𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵Se cumple: 𝑐 − 𝑏 = 𝑎
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ÁNGULOS
Definición:
Notación: ángulo 𝐴𝑂𝐵: ∢𝐴𝑂𝐵
Elementos:
• Lados: 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵
• Vértice: 𝑂
Medida del ∢𝐴𝑂𝐵:
Nota:
La región angular 
es la unión del 
ángulo con su 
región interior
El ángulo es aquella figura geométrica
formada por dos rayos no colineales con
un mismo origen.
𝑚∢𝐴𝑂𝐵 = 𝛼
Bisectriz de un ángulo:
Es aquel rayo contenido en su región angular que tiene
como origen el vértice del ángulo y formado con sus
lados ángulos de igual medida.
En el gráfico 𝑃 ∈ 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 tal 
que 𝑚∢𝐴𝑂𝑃 = 𝑚∢𝐵𝑂𝑃 = 𝛽
𝑂𝑃: Bisectriz del ∢𝐴𝑂𝐵
Entonces:
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CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS:
Según su medida los ángulos se clasifican en:
• Ángulo agudo: • Ángulo recto: • Ángulo obtuso:
𝟎° < 𝜶 < 𝟗𝟎°
𝜷 = 𝟗𝟎°
𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵
𝟗𝟎° < 𝝎 < 𝟏𝟖𝟎°
• Ángulo oblicuo:
Es aquel ángulo cuya medida es diferente a 90°, por ende los ángulos agudos y obtusos son oblicuángulos.
Es aquel ángulo cuya medida es
menor a 90°.
Es aquel ángulo cuya medida es
igual a 90°.
Es aquel ángulo cuya medida es
igual a 90°.
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Según la posición de sus lados dos o más ángulos se clasifican en:
• Ángulos consecutivos:
𝒙 = 𝜶 + 𝜷
𝒙 = 𝜶 + 𝜷+ 𝜽
• Ángulos opuestos por el vértice:
𝜶 = 𝜷
𝑂𝐴 y 𝑂𝐶
son rayos 
opuestos
• Ángulos adyacentes:
Es el par de ángulos coplanares con vértice común y un
lado común tal que sus regiones interiores son disjuntas.
En el gráfico,
Los ángulos 𝐴𝑂𝐵 y 
𝐵𝑂𝐶 son adyacentes
Se cumple:
Son tres o más ángulos coplanares tal que de par en par
son adyacentes.
Los ángulos 
𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝑂𝐶 y 
𝐶𝑂𝐷 son 
consecutivos
• Par lineal: Es el par de ángulos adyacentes tal que sus
lados no comunes son opuestos.
En el gráfico,
𝑂𝐴 y 𝑂𝐶: opuestos
→ Los ángulos 𝐴𝑂𝐵 y 𝐵𝑂𝐶 forman un par lineal
Postulado del Par Lineal:
Si dos ángulos forman un par lineal, entonces sus medidas
suman 180°.
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𝜶 + 𝜷 = 𝟗𝟎°
Según la suma de sus medidas dos ángulos se clasifican en:
• ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Los ángulos 𝐴𝑂𝐵 y 
𝐶𝑂´𝐷 son 
complementarios, 
entonces:
Complemento de 𝛼: 𝐶𝛼
𝑪𝜶 = 𝟗𝟎° − 𝜶
• ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
“Los ángulos complementarios son agudos”
Los ángulos 𝐴𝑂𝐵 y 𝐶𝑂´𝐷 son suplementarios, 
entonces:
𝜶 + 𝜷 = 𝟏𝟖𝟎°
Suplemento de 𝛼: 𝑆𝛼 𝑺𝜶 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶
“Los ángulos suplementarios y adyacentes forman un 
par lineal”
Dos ángulos son complementarios si sus medidas
suman 90°.
Dos ángulos son suplementarios si sus medidas
suman 180°.
Nota:
Nota:
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Rectas Paralelas:
Observaciones:
Rectas Secantes:
➢ ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
En el gráfico, si 𝐿1 ∥ 𝐿2, entonces: 𝜶 = 𝜷
Postulado:
En el gráfico 𝐿1 y 𝐿2
son rectas 
coplanares que no se 
intersectan
𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅
𝐿1 ∥ 𝐿2: paralelas
En el gráfico 𝐿1 y 𝐿2
son secantes en 𝐹
𝐿1 ∩ 𝐿2 = 𝐹
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA RECTA SECANTE A DOS RECTAS PARALELAS
𝑙𝑎 "𝑧"
(Postulado)
Es aquella proposición no evidente aceptada sin necesidad de una
demostración.
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➢ ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: ➢ ÁNGULOS CONJUGADOS:
𝜽 = 𝜹
𝜸 +𝝎 = 𝟏𝟖𝟎°
Demostración:
• Por ángulos opuestos por el vértice:
• Por ángulos alternos internos:
• Por ángulos alternos internos:
• En el punto 𝐵:
En el 
gráfico, si 
𝐿1 ∥ 𝐿2
En el 
gráfico, si 
𝐿1 ∥ 𝐿2
Demostración:
→
𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 𝜃
∴ 𝜃 = 𝛿∎
→
𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 𝛾
∴ 𝛾 + ω = 180°∎ 𝑙𝑎 "𝐶"
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TEOREMA 1:
Si 𝐿1 ∥ 𝐿2
𝒙 = 𝒂 + 𝒃
TEOREMA 2:
Si 𝐿1 ∥ 𝐿2
𝒙 = 𝒂 − 𝒃
Demostración: Prueba:
• Por 𝐹 se traza
• Por ∢𝑠 alternos:
• Finalmente en 𝐹:
• Por 𝑃 trazamos • Por ∢𝑠 alternos:
• Finalmente en 𝑃:
Entonces:
𝑙𝑎 "𝑀"
Se cumple:
𝑚∢𝐴𝐹𝐿 = 𝑎
∴ 𝑥 = 𝑎 + 𝑏∎
𝑚∢𝐴𝑃𝑆 = 𝑎
∴ 𝑥 = 𝑎 − 𝑏∎
𝑚∢𝐵𝐹𝐿 = 𝑏y 𝑚∢𝐵𝑃𝑆 = 𝑏y
𝐹𝐿 ∥ 𝐿1
𝑃𝑆 ∥ 𝐿1
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TEOREMA 3:
Si 𝐿1 ∥ 𝐿2
entonces:
𝜶 + 𝜽 = 𝜷 + 𝜸 + 𝝋
Observación:
Demostración:
• Por 𝑃 trazamos 𝐿3 ∥ 𝐿1.
• En 𝑃:
• Por el teorema 1:
𝛼 = 𝛽 + 𝑏
𝜃 = 𝜑 + 𝑎
𝛼 + 𝜃 = 𝛽 + 𝑎 + 𝑏 + 𝜑
∴ 𝛼 + 𝜃 = 𝛽 + γ + 𝜑∎
Generalización del teorema:
En el gráfico, si 𝐿1 ∥ 𝐿2, se cumple:
𝒂 + 𝒄 + 𝒆 + 𝒈 = 𝒃 + 𝒅 + 𝒇
“La suma de las medidas de los ángulos (que se 
van alternando) que van hacia un sentido 
(determinadas por las paralelas) es igual a la 
suma de las medidas que van hacia al otro” 
(serrucho)
𝑎 + 𝑏 = 𝛾
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TEOREMA4: TEOREMA 5:
Según el gráfico, si 𝐿1 ∥ 𝐿2
se cumple:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝒙
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 = 𝟏𝟖𝟎°
Según el gráfico, si 𝐿1 ∥ 𝐿2
se cumple:
𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 + 𝜶𝟑 +⋯+ 𝜶𝒏 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒏 − 𝟏
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TRIÁNGULOS
Definición:
• Vértices:
Notación:
𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶 :
Elementos:
• Lados:
Dado tres puntos no colineales A, B y C, se
denomina triángulo a la unión de los segmentos AB,
BC y AC.
Triángulo 𝐴𝐵𝐶
𝐴, 𝐵 y 𝐶.
𝐴𝐵, 𝐵𝐶 y 𝐴𝐶.
∆𝐴𝐵𝐶 , se lee triángulo 𝐴𝐵𝐶
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 puntos no colineales
Nota:
Triángulo
Curvilíneo
Triángulo
Mixtilíneo
Regiones determinadas en el plano por un triángulo:
Región Triangular:
Región
interior
Exterior
relativo a 𝐵𝐶
Exterior
relativo a 𝐴𝐵
Exterior relativo a 𝐴𝐶
Es la unión del triángulo con su región interior.
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Perímetro de la Región Triangular:
Semiperimetro de la R. T.:
Observación:
Triángulo Región interior
Región 
triangular
2𝑝
𝑝 𝒑 =
𝒂 + 𝒃 + 𝒄
𝟐
𝟐𝒑 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
Teoremas Fundamentales:
Teorema 1:
En el gráfico, se cumple:
𝜶 + 𝜷 + 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎°
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos
interiores es 180°.
Teorema 2:
En el gráfico, se cumple:
𝒙 = 𝜷 + 𝜽
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual
a la suma de las medidas de dos ángulos interiores
opuestos a él.
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Teorema 3:
En el gráfico, se cumple:
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟔𝟎°
En todo triángulo la suma de las medidas de los
ángulos exteriores, tomados uno por vértice, es
igual a 360°.
Observaciones:
Postulado de Arquímedes:
El menor
recorrido 
para ir desde 
𝐴 hacia 𝐵 es 
𝐴𝐵 = 𝑑.
Sean los puntos 𝑃 y 𝑄, 
tenemos:
(1): línea envuelta
(2): línea envolvente
Se cumple:
El menor recorrido para ir de
un punto a otro es en línea
recta.
1 < (2)
Teorema de la Existencia:
En el gráfico, se cumple:
𝒂 − 𝒄 < 𝒃 < 𝒂 + 𝒄
Siendo: a>c
En todo triángulo la longitud de uno de sus lados es menor a la
suma pero mayor a la diferencia de las longitudes de los otros
dos lados.
Teorema de la Correspondencia:
En el gráfico, se cumple:
Si: θ < 𝛼 →
Si: 𝑐 < 𝑎 →
En todo triángulo a mayor ángulo se le opone mayor lado y
viceversa.
𝒄 < 𝒂
𝜽 < 𝜶
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Teorema:
𝑃 es un punto 
interior del 
triángulo 𝐴𝐵𝐶
Se cumple:
Donde: 𝑝 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
y 2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Demostración:
Para ir de 𝐴 hacia 𝐶: 𝑏 < 𝑥 + 𝑧 < 𝑐 + 𝑎
Para ir de 𝐴 hacia 𝐵: 𝑐 < 𝑥 + 𝑦 < 𝑏 + 𝑎
Para ir de 𝐵 hacia 𝐶: 𝑎 < 𝑦 + 𝑧 < 𝑐 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 < 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐
2𝑝 < 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 < 4𝑝
∴ 𝑝 < 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 2𝑝
(+)
𝑝 < x + y + z < 2𝑝
Teorema:
Sea 𝑃 un punto en el 
interior del △𝐴𝐵𝐶
Si: 𝑎 ≥ 𝑐 ≥ 𝑏
Se cumple:
𝑝 < 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 𝑎 + 𝑐
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Demostración:
• Por 𝑃 se traza 𝑀𝑁 ∥
𝐴𝐶.
• Por correspondencia:
𝛼 ≥ 𝜃 ≥ 𝛽
• Se observa: 𝜔 > 𝛼
𝜔 > 𝜃→
• En el △ 𝑃𝐵𝑁: 𝑦 < 𝐵𝑁
• En el △ 𝐴𝑀𝑃: 𝑥 < 𝐴𝑀 +𝑀𝑃
• En el △ 𝑃𝑁𝐶: 𝑧 < 𝑃𝑁 + 𝑁𝐶
• En △𝑀𝐵𝑁: 𝑀𝑁 < 𝑀𝐵
(+)
∴ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 𝑎 + 𝑐∎
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +𝑀𝑁 < 𝑎 + 𝑐 +𝑀𝑁
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Teoremas Adicionales:
𝒙 = 𝜶 + 𝜷 + 𝜽
𝒂 + 𝒃 = 𝒎+ 𝒏
𝜶 + 𝜷 = 𝜽 + 𝜸
𝜶 + 𝜷 + 𝜽 +𝝎 = 𝟑𝟔𝟎°
𝒂 + 𝒃 = 𝒙 + 𝒚
𝒙 + 𝒚 = 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°
𝜶 + 𝜷 + 𝜽 + 𝜸 + 𝝋 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 + 𝒇 = 𝟑𝟔𝟎°