CEPREUNALM-GEOMETRÍA

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TU INGRESO ES DIRECTO 
GEOMETRÍA 
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UNALM 
TU INGRESO ES DIRECTO 
 
GEOMETRÍA 
Josué Alata Rey 
Sandro Alencastre Calderón 
Antonio Gutiérrez Curl 
Carlos Gutiérrez Curi 
Zelideth Pérez Torres 
Dandy Rueda Castillo 
Angel Salazar Minaya Ll 
Roni Roca Meneses 
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Universidad Nacional Agraria La Molina 
Rector 
Dr. ENRIQUE FLORES MARIAZZA 
Vicerrector Académico 
Dr. JorcGeE ALARCÓN Novoa 
Vicerrectora de Investigación 
Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ 
CE 
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UNALM 
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Centro de Estudios Preuniversitarios 
Director I | 
Ma. Víctor TrEJO CADILLO | | 
Jefe de la Unidad Académica | 
M6. TEÓFILO CHIRE MURILLO 
Jefe de la Unidad Administrativa 
IG. MiGuUEL DELGADO GARCÍA 
Edición 2019 
 
GEOMETRÍA Soxta revisión: Sandro Alencastre Calderón 
Universidad Nacional Agraria La Molina Impreso por : GRÁFICA BRACAMONTE 
Centro de Estudios Preuniversitarios Gustavo Adolfo Bracamonte Heredia 
Jr, Almirante Guisse 939 - Jesús María Calle Eloy Ureta N* 076 ] 
Teléfono: 433-5131 / 330-7010 / 330-8434 Urb. El Mercurio - San Luis - Lima 
e-mail: prelamolinaíMlamolina.edu.pe Telf.: 326-5361 / Lima 30 - Perú 
ventas/Dbracamonte.com.pe 
Novena reimpresión, diciembre de 2019 
Tiraje; 1000 ejemplaros impreso en 6l Perú / Printed in Peru 
: Derechos reservados. Prohibida su reproducción 
1otal o parcial sin permiso del editor. 
ISBN: 978-612-45966-4-3 
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca 
Nacional del Perú N”: 2019.13412 
 
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ÍNDICE 
Presentación 3 
Introducción 10 
UNIDAD 1 
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
Qué es la geometria? 12 
Términos no definidos en geometria: Punto, recta y plano 12 
Algunos postulados 13 
Algunas definiciones iniciales 13 
Angulos 15 
Resumen 20 
Ejercicios resueltos 21 
Ejercicios propuestos 130 
UNIDAD 2 
EL TRIÁNGULO 
Triángulos 36 
Teoremas básicos del triángulo 38 
Lineas y puntos notables del triángulo 41 
Casos particulares 44 
Ángulos formados por lineas notables 44 
Resumen Y7 
Ejercicios resueltos 48 
Ejercicios propuestos 57 
UNIDAD 3 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Congruencia de triángulos 69 
Postulados de congruencia de triángulos 69 
Teoremas de la congruencia de triángulos 70 
Resumen 73 
Ejercicios resueltos 74 
Ejercicios propuestos 83 
UNIDAD 4 
POLÍGONOS 
- Conjuntos convexos y no convexos 89 
- Poligonos 89 
Clasificación de los poligonos 90 
Fórmulas para polígonos convexos 92 
 
O5 
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Resumen 94 
Ejercicios resueltos 95 
Ejercicios propuestos 100 
UNIDAD 5 
CUADRILÁTEROS 
Cuadriláteros 106 
Clasificación 106 
Resumen 110 
Ejercicios resueltos 111 
Ejercicios propuestos 117 
UNIDAD 6 
LA CIRCUNFERENCIA 
La Circunferencia 123 
Angulos en la Circunferencia 124 
Posiciones Relativas de dos Circunferencias 126 
Propiedades de la Circunferencia 128 
Teoremas de la Circunferencia 130 
Resumen 132 
Ejercicios resueltos 133 
Ejercicios propuestos 138 
UNIDAD 7 
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Proporcionalidad 150 
Semejanza de triángulos 152 
Resumen 155 
Ejercicios resueltos 156 
Ejercicios propuestos 
162 
UNIDAD 8 
RELACIONES MÉTRICAS 
Relación métrica 168 
Proyacciones 168 
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 169 
Aplicación en la semicircunferencia 170 
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo 171 
Identificación del tipo de triángulo mediante conceptos de relaciones métricas 173 
Relaciones métricas en la circunferencia 173 
Resumen 174 
- Ejercicios resueltos 174 
Ejercicios propuestos 181 
 
06 
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UNIDAD 9 
SUPERFICIE PLANA 
Superfifie y área 193 
Área de la región triangular 193 
Area de la región cuadrangular 199 
Area de la región circular 202 
Resumen 204 
Ejercicios resueltos 205 
Ejercicios propuestos 210 
UNIDAD 10 
GEOMETRÍA DEL ESPACIO 
Geometría del Espacio 222 
Rectas y planos en el espacio 22 
Sólidos geométricos 225 
Poliedros regulares 225 
Prisma 227 
Cilindro de revolución 228 
Pirámide 228 
Cono de revolución 230 
Esfera 231 
Resumen 232 
Ejercicios resueltos 233 
Ejercicios propuestos 239 
UNIDAD 11 
TRONCO DE SÓLIDOS 
Intersección de una pirámide por un plano paralelo a su base 257 
Tronco de pirámide de bases paralelas 259 
Tronco de cono de bases paralelas 261 
Tronco de prisma 263 
Tronco de cilindro 265 
Resumen 266 
Ejercicios resueltos 267 
Ejercicios propuestos 274 
BIBLIOGRAFÍA 281 
CLAVES DE EJERCICIOS PROPUESTOS 282 
 
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INTRODUCCIÓN 
Desde sus inicios, la Geometria ha sido un curso determinante para el aprendizaje y 
dominio de las matemáticas, puesto que su estudio se basa en: conceptos, demostraciones, 
análisis, construcción de figuras y/o trazos auxiliares, 
El objetivo principal de este libro es de ayudar a los estudiantes a incrementar su 
capacidad de análisis en las matemáticas, de tal manera que durante su vida universitaria 
estén familiarizados con la investigación y resolución de los diversos problemas que se 
les presente. 
Este libro consta de un marco teórico, un resumen, problemas resueltos y problemas 
propuestos, de tal manera que el estudiante pueda ir avanzando en forma progresiva los 
once capítulos que contiene este libro. 
Finalmente, quisiera expresar mi profundo agradecimiento a todos los profesores del 
curso que han contribuido en la elaboración y/o corrección de este libro, que estoy seguro 
será de mucha utilidad para nuestros estudiantes del Centro de Estudios Preuniversitarios 
de la Universidad Nacional Agraria La Molina. 
 
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PRESENTACIÓN 
El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina 
(CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestructuró y relanzó las publicaciones propias, 
con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente 
para el beneficio académico de nuestros estudiantes. 
Te presentamos estos nuevos ejemplares de nuestra colección de 9 libros (Álgebra, 
Aritmética, Geometría, Trigonometría, Biología, Física, Química, Razonamiento 
Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los 
Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes 
en su preparación preuniversitaria. 
Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad 
Nacional Agraria La Molina —- UNALM y en diversas instituciones de preparación superior, 
considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento 
y lograr un mejor aprendizaje.Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos 
que facilitan $u comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados 
de dificultad a manera de guía práctica, y un conjunto de problemas propuestos también 
con diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con el objetivo de lograr 
en los estudiantes un auto aprendizaje significativo. 
A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo 
comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que 
sea la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso el CEPRE-UNALM 
te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño 
y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos. 
Finalmente quiero expresar mi sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores 
y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los 
libros y lograr esta nueva reimpresión. 
Ma. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO 
Director del CEPRE-UNALM 
 
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UNIDAD 1 
 
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS 
FUNDAMENTALES 
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OBJETIVOS: 
Al finalizar la unidad, el alunno debe ser capaz de; 
+ 
Identificar segmentos congruentes. 
Nombrar e identificar las partes de un ángulo. 
Identificar áneulos congruentes. 
Clasificar y graficar ángulos. 
Identificar la bisectriz de un ángulo. 
Identificar ángulos adyacentes, ángulos complementarios y suplementarios, 
Resolver problemas relacionados con ángulos. 
CONTENIDO: 
11 QUÉES LA GEOMETRÍA? 
1.2 TÉRMINOS NO DEFINIDOS EN GEOMETRÍA: PUNTO, RECTA Y PLANO 
1.3 ALGUNOS POSTULADOS 
14 ALGUNAS DEFINICIONES INICIALES 
1.5 Ángulos 
RESUMEN 
EJERCICIOS RESUELTOS 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
A parte de las operaciones aritméticas usuales, ningún otro conocimiento previo es requerido. 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 11 
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1.1 QUÉ ES LA GEOMETRÍA? 
La Geometria es una de las ramas más antiguas de la matemática que tiene por objeto el estudio 
de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio. —Etimológicamente, 
Geometria significa “medida de la tierra” del griego geos (tierra) y metrón (medida), 
El historiador griego Heródoto (Siglo Quinto A.C) sustenta que los origenes de la Geometría 
datan de los antiguos egipcios, sin embargo estudios recientes muestran que los conocimientos 
matemáticos de los Babilonios eran más avanzados, inclusive en Geometría. Por ejemplo, el 
teorema de Pitágoras realmente no fue descubierto por Pitágoras o sus seguidores, pues ya los 
Babilonios y mucho antes que ellos, los Sumerianos, conocían com mucha precisión este 
resultado. 
Euclides o Eucleides - como fue su verdadero nombre — fue un matemático griego que vivió 
en Alejandría por los años 300 A.C. que tuvo la brillante idea de coleccionar y sistematizar los 
conocimientos matemáticos de aquellos tiempos, en su gran mayoría de Geometría, En su obra 
los Elementos de Enclides, Libro L se presentó la base axiomática para la Geometria. Uno de 
esos resultados fue el polémico Quinto postulado de Enclídes que trajo como consecuencia la 
aparición de llamadas geometrías no euclidianas. Precisamente este postulado distingue la 
Geometria euclidiana de las que no lo son y que abordaremos en este libro. 
1,2 TÉRMINOS NO DEFINIDOS EN GEOMETRÍA: PUNTO, RECTA Y PLANO 
Los términos PUNTO, RECTA y PLANO son aceptados en Geometría sin definición y servirán 
para definir cualquier otro ente geométrico. 5e pueden hacer descripciones para darles 
significado, como se verá a continuación, pero de ninguna manera debe verse como un intento de 
definirlos. 
Punto. Un punto puede representarse si se hace una marca en un papel con la punta de un lápiz o 
por un pequeño circulo. Sin embargo, un punto no tiene tamaño, sólo tiene posición. 
Para hacer referencia a un punto, se usarán letras mayúsculas. 
 
».Á «B 
«mM .E 
Fig. 1.1 Representación de los puntos A, B, My K. 
Recta. Una recta puede imaginarse como conjunto de puntos que se disponen de manera continua 
en una misma dirección, o mejor como una linea que se prolonga indefinidamente en direcciones 
opuestas, 
Al dibujar una recta es usual hacerlo con puntas de flecha en los extremos para indicar el 
hecho que la recta no termina, como se muestra en la figura 
 
Fig 1,2 Recta 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 12 
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Para hacer referencia a una recta se eligen dos puntos A y B y se escribe AB. para indicar la 
recta que pasa por A y B. Sin embargo, también puede usarse una letra minúscula o mayúscula 
para designarla, 
A » : » 
A 
Fig. 1.3 Representaciones de la recta 
Plano. Un plano puede imaginarse como tuna superficie plana que se extiende indefinidamente. 
Por ejemplo, una plancha de vidrio nos da la idea de un plano, Como en el caso de la recta, un 
plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Una recta divide al plano en dos 
semplanos. 
Para designar un plano se usa cualquier letra mayúscula. Gráficamente, un plano se representa 
como sigue 
Fig. 1.4 Plano P 
1,3 ALGUNOS POSTULADOS 
P1. Postulado de existencia 
a) En una recta e fuera de ella hay infinitos puntos. 
b) En ro plano o fuera de el hay infinitos puntos. 
P2, Postulado de determinación de una recta 
Dados dos puntos distintos existe una única recta que pasa por dichos puntos, 
P3. Postulado de la distancia 
Entre dos puntos existe una única distancia. 
Pa. Postulado del plano 
Tres puntos no colineales determinan un plano que pasa por ellos. 
P3. Postulado de inclusión 
Situna recta pasa por dos puntos de un plano, entonces dicha recta está contenida en el plano. 
14 ALGUNAS DEFINICIONES INICIALES 
Definición 1.1 Un conjunto de puntos se dice que son colineales si están en la misma recta. 
Definición 1.2 Un conjunto de puntos se dice que son coplanares si están en un mismo plano. 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 13 
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Defiuición 1.3 Una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos. Las figuras geométricas 
son llamadas planas, si sus puntos están en un mismo plano, 
Definición 1.4 Dados dos puntos distintos A y B, el conjunto formado por los puntos 
comprendidos entre ellos, incluvendo a A y B, es llamado segmento de recta y se denotará por 
AB. 
Definición 1.5 La longitud de un segmento es la distancia entre sus extrentos. 
Las expresiones: m AB, AB ó6BA denotarán la medida del segmento AB. 
Definición 1.6 Dados dos puntos distintos A y B, la reunión del segmento AB y los puntos X 
tales que B está entre A y X es llamado rayo o semirrecia. 
Un rayo o semirrecta será denotado por: AB. 
A B Xx 
Fig:1.5 Rayo AB 
Definición 1.7 Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. 
Para denotar la congruencia de dos segmentos 4B y CE seusará el simbolo = como sigue: 
AB =CE 
es decir: 
AB =CE equivale a AB=CE 
Definición 1.8 Dos rectas son concurrentes si ellas Henen tn único punto en comtn. 
La figura muestra dos rectas concurrentes en el punto P 
Fig 1.6 Rectas concurrentes 
Definición1.9 Dos rectas son paralelas cuando están contenidas en un mismo plano y no tienen 
ningún punto en común. 
Para denotar que las rectas L y M. son paralelas se escribirá: L.// M. 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 14 
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En la figura se muestra las rectas paralelas L y M contenidas en el plano P 
 
 
Fig. 1.7 Rectas paralelas 
1.5 ÁNGULO 
Definición 1.10 En ángulo es la reunión de dos ravos no colineales que tienen el mismo origen 
o extremo. Los des rayos se llaman lados del ángulo y el extremo comin se llama vértice. 
La figura muestra al ángulo definido por los rayos AB y AC. 
Ángulo BAC = ABU AC 
B 
Elementos: 
e EXTERIOR 
Lados: AB y AC, INTERIOR 
Vértice: A A 
Región interior. A : 
Región exterior. 
EXTERIOR 
Notación: 4¿BACó ZCABÓ ZAó Zu 
Fig. 18 Ángulo BAC 
1.5.1 Medida de un ángulo 
La medida de un ángulo depende de la extensión a la que debe ser rotado uno de sus lados para 
que coincida con el otro lado del ángulo. La medida de un ángulo puede hacerse haciendo uso de 
las unidades de medida angular tales como los grados sexagesimales, radianes, etc. 
El valor de la medida del ángulo se considerará en el rango: 0<0 < 180%. 
La medida de un ángulo ABC será denotado por: m 4 ABC 
1.5.2 Congruencia de ángulos 
Definición 1.11 Dos omás ángulos son congruentes si tienen la misma medida. 
 
A c 
Para establecer que dos ángulos . 
ABC y DEF son congruentes, se 
escribirá: p 
Z ABC = Z DEF A 
B E F 
Fig. 1.0 Ángulos congruentes 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 15 
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1.53 Clasificación de los ángulos 
A) Por su medida: 
+ Ángulo agudo —: Es el ángulo cuya medida es mayor que 0? y menor que 90", 
= Ángulo recto; Esel ángulo cuya medida es igual a 90*, 
= Ángulo obtuso : Es el ángulo cuya medida es mayor que 90* y menor que 180", 
LC 
490 oa 90<04< 180 
En (b) (e) 
Fig, 1.10 Clasificación de los ángulos por su medida 
B) Por la relación de sus medidas: 
+ Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90%. Cada 
ángulo es el complemento del otro. Fig. 1.11-a. 
= Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180%, Cada 
ángulo es el suplemento del otro. Fig. 1.11-b. 
VAN de 
Complemento (01) = 90 —« a+p=180% | Suplemento (a) = 180 -—a 
(a) (b) 
Fig. 1.11 Ángulos complementarios y suplementarios 
 
 
 
 
C) Por relación de lados: 
= Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, pero 
no tienen puntos interiores comunes. 
En la figura 1,12, los ángulos AOB y BOC son adyacentes. 
 
 
 
 
A E A B 
B 
E a 180*—a 
Cc o c A ñn O e 
(b) Angulos adyacentes (2) Angulos adyacentes (a) Ángulos adyacentes comal a sun) o 
Figura 1.12 Ángulos adyacentes 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 16 
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A los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC de la Fig. 1.12 —c también se les 
denomina par lineal. 
+ Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos 
opuestos. 
Dos rectas secantes generan cuatro ángulos 
en dos pares de ángulos opuestos por el 
vértice que es el punto común. 
Los ángulos opuestos por el vértice tienen 
igual medida por lo que son congruentes. 
La figura 1.13 muestra a las rectas 
secantes, AC con BD ,dondeel ¿AOB y 
el ¿COD son opuestos por el vértice; lo 
mismo que los ángulos BOC con 
Z¿AOD. 
Definición 1.12 
Si un ángulo es congruente a su adyacente 
suplementario, las rectas que contienen sus 
lados se dicen perpendiculares u ortogonales 
En la Fig. 1.14 los ángulos AOB y su adyacente 
suplementario BOC son congruentes, por tanto 
las rectas que contienen a sus lados son rectas 
perpendiculares. 
Notación: Y ¡4 iy, Fis. 114 Rectas perpendiculares 
Teorema 1,1 
La suma de las medidas de los ángulos que tienen su vértice en un punto de una recta y se ubican 
en unmismo semiplano (porción del planeo a un lado de la recta) es igual a 180% 
a+p+y+06=180* 
 
Teorema 1.2 
La suma de las medidas de los ángulos con 
vértice común y cuyos rayos son coplanares es 
3609 
] Respecto a la figura 1.15, el teorema 1.2 
establece que; a. ++ +0=360", 
 
Fig. 1.16 Ángulos coplanares 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 17 
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1.5.4 Bisectriz de un ángulo 
Se llama bisectriz de un ángulo al rayo que parte del vértice, se ubica en la región interior y 
determina con los otros lados del ángulo, dos ángulos adyacentes congruentes. 
En la figura, OF es la bisectriz del 4 AOB, por 
tanto, mm AOF =m ¿FOB= a ó 
equivalentemente: 
¿£AOF= Z¿FOB 
 
Teorema 1.3 Fig..1.17 Bisectriz del £ ACB 
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto. 
Demostración: 
Hipótesis: 
Los ángulos AOB y BOC son suplementarios 
siendo sus bisectrices OM y OF, respectivamente. 
Tesis:m 4 MOF =90* 
De la figura, y por hipótesis, los ángulos 
AOB y BOC son suplementarios, 
entonces: 
 
 
Fig. 1.183 Bisectrices de ángulos adyacentes 
la +2P =180" + «a +P=90> enpiemenacios 
pero m 4 MOF = a +$ 
Por lo tanto, m 4 MOF = 909 
Postulado 6 (Quinto postulado de Enclides) 
Por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela. 
1.5.5 Ángulos formados por dos paralelas y una secante 
La figura 1.19 muestra a las paralelas L, y Ls cortadas por la transversal secante Ly. 
Ly 
a/sb Li 
 
EXT L; 
Fiz. 1.19 Rectas paralelas cortadas por una secante 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 18 
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Los ángulos determinados por L;. Lo y L; se llamarán: 
Ángulos correspondientes: son ángulos congruentes con vértices diferentes, ubicados a un 
mismo lado de la secante: y, uno es interior y el otro exterior: aye: byfdyh;cyg. 
Ángulos alternos: son ángulos congruentes, situados en lados opuestos de la secante y con 
vértices diferentes; unos s0n internos y otros externos; 
e Internos: cyf eyd 
* Externos: a y h; g y b. 
Ángulos conjugados: son ángulos suplementarios, situados a un mismo lado de la secante, con 
vértices diferentes y unos son internos y otros externos: 
Internos: cye dy L 
e Externos ayg: byh. 
Postulado 8 
Si dos rectas paralelas son concurrentes con una tercera, entonces, los ángulos alternos (o ángulos 
correspondientes) son congruentes. 
Teorema 1.4 
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son congruentes o suplementarios. 
La figura muestra ángulos cuyos lados son paralelos, donde OA / 0C y 080“ 00D 
 
Cc 
A ; a . - A € 
Q e i 30% ¿ p PE 
e S a c o E . q 
B 
 
a =p a=B a+ A =180* 
 
Fig. 1,20 Ángulos de lados paralelos 
Teorema 1.5 
Dos ángulos cuyos Agonos son respectivamente perpendiculares son congruentes o suplementarios. 
 
 
 
 
 
 a=P a+p= 1807 
Fig. 1,20 Ángulos de lados perpendiculares 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 19 
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RESUMEN 
Un conjunto de puntos se dice que son: colineales si están en la misma recta y coplanares si están en 
wn misno plano. 
Una figura peométricaes cualquier conjunto de puntos. Las figuras geométricas son llamadas 
planas, si sus puntos están en un mismo plano, 
Dados dos puntos distintos A y B, el conjunto formado por los puntos comprendidos entre ellos, 
incluyendo a A y B, es llamado segmento de recta. 
La longitud de un segmento es la distancia entre sus extremos. 
Dados dos puntos distintos A y B, la reunión del segmento AB y los puntos X tales que B está entre A 
y Xes llamado rayo o semirrecta. 
Dos segmentos son congruentes sí tienen la mismo longitud. 
Dos rectas son: 
Y concurrentes si ellas tienen un único punto en común, 
Y paralelas cuando están contenidas en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. 
Y coincidentes si 5e trata de la misma recta. 
Un angulo es la reunión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen o extremo. Los dos 
rayos se laman lados del angulo y el extremo común se llama vértice, 
Dos o más ángulos son congritentes si tienen la misma medida. 
Si un ángulo es congruente a su adyacente suplementario, las rectas que contienen a sus lados se 
dicen perpendiculares 1 ortogonales 
Los ángulos se clasifican en: 
 
 
 
 
Por su medida Por la relación de sus medidas Por la relación de sus lados 
| agudos complementarios adyacentes 
rectos suplementarios opuestos por el vértice 
obtusos 
La bisectriz de un ángulo es un rayo que parte del vértice, se ubica en la región interior y determina 
con los otros lados del ángulo, dos ángulos advacentes congruentes 
Dn par lineal está formado por dos ángulos advacentes suplementarios, 
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces: 
Y Los ángulos correspondientes y alternos son congruentes 
Y Los ángulos conjugados son suplementarios, 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 20 
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1.1 
13 
13 
EJERCICIOS RESUELTOS 
La suma de las medidas de dos ángulos es 70? y el complemento de la medida del primero 
es el doble de la medida del segundo. Calcule la diferencia de dichos ángulos. 
Solución: 
Sean a y f las medidas de los ángulos nombrados en el problema, planteamos las 
ecuaciones: 
a+p=Wicccicccccc: (8) 
Mea iii (8) 
Resolviendo (a) y (b): 
a= 50", fi =20* 
Por lo tanto: x= - f =50* -20* =30* 
Si a mo de dos ángulos suplementarios se le disminuye 15% y al otro 259, este último 
resulta ser igual a los cuatro tercios de lo que queda del anterior. Halle el suplemento del 
complemento de la diferencia de dichos ángulos, 
Solución: 
Sea a y (1807 — a) los ángulos suplementarios, planteamos la ecuación: 
(180 -0)-25= L (0-15 
3 
Resolviendo se tiene: a =75" 
Por lo tanto: 
x = 180* — [90* - (105% — 759)] 
=120" 
El triple del complemento de un ángulo, más el doble del suplemento del mismo es 250%. 
Halle la medida de dicho ángulo, 
Solución: 
Sea x el ángulo geométrico, planteamos la ecuación: 
390% — x) + 2(180* — x) = 250P 
Resolviendo se tiene: x= 76" 
 
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1.4 El complemento de la medida de un ángulo excede en 6? a los dos quintos del suplemento 
de la medida del mismo ángulo, Calcule la medida de dicho ángulo, 
Solución: 
Consideremos a x como la medida del ángulo cuya medida se va a determinar. 
El complemento de x es: 90% —x 
El suplemento de xes: 180% - x 
Por condición del problema se establece la relación: 
2 
90% —x = — (180 * - x)+ 6” 
5 
resolviendo la ecuación se obtiene: x = 20% 
 
 
1.5 Enla figura, si e— PB =40%, halle la m 4 BOC. B 
B 
A c 
NN LA Mi úL 
Solución: 
Consideremos x = m 4 BOC 
Como los ángulos ADB y BOC forman un par lineal, entonces, x es suplemento de [): 
x=180*-B... (1) 
Por condición del problema: 
a-B=40"... (2) 
Solucionando el sistema de ecuaciones se Hene;: x= 65%, 
16 Losángulos AOB y BOC son suplementarios. Si m 4 AOB >m 4 BOC; y los ángulos 
BOC con COD son complementarios, halle la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos AOB con COD, 
Solución: 
Con las condiciones del problema se grafica la figura, en la cual OM y ON son bisectrices 
de los ángulos AOB y COD, respectivamente; y m 4 MON =x 
Por ser suplementarios: 
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1.7 
1.8 
mm AOM+m 4 MON = 180% 
E AN 
por ser complementarios: 
m / BON + im 4 NOD = 909 
SS A 
resolviendo (1) y (2) se tiene: x = 135% 
En la figura, OM es bisectriz del ZBOC. 
Si m Z EOB—m Z MOD = 702, calcule 
la medida del ángulo COD. Solución: 
Sea x=m / COD 
Como Om es bisectriz: 
m Z BOM =m 4 MOC= f 
Del dato: m 4 EOB — m 4 MOD = 70? 
 900+x -(B+x)=70" e P=20" 
 
De la figura: x +2 = 90? 
Por tanto, x= 50", 
Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son adyacentes, de modo que la bisectriz OM, del 
ángulo AOB, forma un ángulo recto con la bisectriz OD del ángulo BOE. Si el ángulo 
MOE mide 150", calcule la m 4 MOB. 
Solución: 
Con las condiciones del problema se tiene 
la figura adjunta, donde :m 4 MOB =x 
A 
AR 
 
- Resolviendo el sistema se tiene: x = 30% 
 
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PRE 
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1.9 Enla figura, L, // La. "A se 
Demuestre que x= a+( 
+ Li 
Solución: 
Porel vértice del 4 x se traza L; paralela a L, y Lo. y 
Ly con las secantes forman los ángulos 0 y vo, ld 
como se muestra, resultando 0 +0=x 
 
Por ser alternos internos: 
a=w y P=0 
 
Por lo que: x= a + $. 
1.10 Enla figura, L; // Lo. Sia + PB =286", la dE 
calcule el valor de x. 
 +* Li 
Solución: 
En la figura se ubican los ángulos 
adyacentes suplementarios de a y P:iy Sa 
por el ejemplo 9, la suma de éstos es x: p 
 
 
 
 
 
180%-= “ha 
x =(1802—a)+(180%-[) S 
0 104 180 p 
por tanto, x= 742. JAN Lo 
1.11 Enla figura, L, // Lo; y Ly // La. La . 
Calcule el valor de x. _ 62 / 
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Solución: 
En la figura se identifican los ángulos a y 
como se muestra. 
Por ser ángulos correspondientes se ene: 
a=62* y P=46* 
Por ser ángulos adyacentes en un mismo 
semiplano: 
a+ px =180* 
con lo que: x= 180% — (629 +46% )=72* 
1,12 Enla figura, L, (/ Ls y 08 1 DF. 
Calcule el valor de cr, 
Solución: 
En lá figura, por opuestos por el vértice: 
mX¿LDE=a >—m2<FDL;=0-a 
 
Por ángulos de lados paralelos: 
Z¿BOL;¡= £¿FDLs =m £ BOL, =9-a 
 
Entonces, m ¿AOB=0-(0-a) 
m ¿AOB=0u 
Los ángulos AOB con AOC son 
adyacentes suplementarios: a. + 50 = 180% 
Resultando: (1 = 30%, 
1.13 Respecto a la figura, calcule x. 
 
 
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1.14 
1.15 
Solución: 
Considerando los ángulos opuestos por el vértice generados por las rectas Ly, La se tiene: 
8 + (90* - 28) = 60* 
de donde 0 =30f, 
Por ángulos suplementarios; (30% + 90%) +x = 180% 
Por lo tanto: x= 60P. 
Se tienen los ángulos consecutivos: AOB. BOC, COD y DOE: tal que los rayos OA y OE 
se oponen. Si OB es bisectriz del ángulo AOD, OC es bisectriz del ángulo BOE y la 
mé DOE = 28”, calcule la m.4COD. 
Solución: 
Dibujamos los ángulosy colocando sus Cc 
valores de acuerdo al enunciado: 
Sumamos las medidas de los ángulos: 
28% + x + (28% + x) + (28% +2x) = 180" 
 
de donde x= 24. 
Se tienen los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD y DOE: de tal manera que: 
mkADOC +m2<BOD +1mC0E = 2201, Sim<BOD = — 2 nZADE. calcule m¿AOE. 
3 
Solución: 
Dibujamos los ángulos y colocamos un 
valor referencial a la medida de cada 
ángulo: 
Nuestra incógnita será: x = 0+P+0+0 
Del enunciado planteamos: 
(0+B) + (B+0) + (B+co) = 2207 
AM 
 
Pero sabemos también que: 
p+0= S (0+P+0+0) 
PUE ccoo 0) 
Reemplazando (b) en (a): 
x+ . x = 220 
o setiene x= 140%. 
 
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1.16 
1,17 
En la figura, L, || Lo. 
Halle el valor de a. 
Solución: 
Trazamos tres rectas paralelas a L,, tal 
como se muestra en la figura. Por ángulos 
correspondientes y alternos internos. 
agregamos los ángulos que aparecen en 
negnita: 
Por lo tanto: 
20.+ 20 = 64" 
de donde a = 16, 
64? 
 
 
 
 En la figura, L, || Lo. : 
Calcule el valor de x. 
63" 
53 
 
Solución: 
Trazamos tres rectas paralelas a L;. tal 
como se muestra en la figura. Por ángulos 
alternos internos y complementarios, 
calculamos los ángulos que aparecen en 
negrita: 
Por lo tanto: x = 25* + 35* = 60P, 
 
 
 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 27 
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1.18 En la figura, L;, Ls y Li son rectas paralelas. 
Calcule B. 
L; 
 
Solución: 
Trazamos las rectas L, y Ls paralelas a L,, tal como se muestra en la figura: 
 
De las rectas L, y L4. y por ángulos alternos internos calculamos el ángulo de 80* 
Por consiguiente: 2a. = 30", de donde a = 40". 
De las rectas L; y Ls. y por ángulos alternos internos trasladamos el ángulo de 90* 
Por lo tanto: P = 90" + 40" = 130, 
 
 
1.19 Enla figura, las rectas L; y Lo son paralelas, 
Si 0+8 = 1501, calcule el valor de 6. 28 
+ + Ly 
130 a 
B 
30 
+ + Ls 
Solución: 
Trazamos la recta L; paralela a L, como se 
muestra en la figura: 
 
Considerando las rectas paralelas L; y L, y 
la secante 
ij La, por ángulos correspondientes, 
trasladamos el ángulo de 30, 
 
 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 28 
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1.20 
11) Ls, por ángulos correspondientes 
trasladamos el ángulo de 6. 
Usando el dato: q + 8 =150" y el resultado obtenido en el problema resuelto 9 se tiene: 
20 +30 = 360* — 1509 
por tanto, 0 =42* y a =108*, 
Respecto a la figura, calcule 4 + PB +0. 
 3 pa 
Por el punto de intersección de Ls y Ls 
tracemos una paralela a L, como se 
muestra en la figura. 
Solución: 
Teniendo en cuenta que los ángulos 
opuestos por el vértice y correspondientes 
son congruentes se tiene 
 0+P+0=1800 
 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 29 
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1.2 
1.3 
1.4 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
Determine la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho 
ángulo es igual a 1608. 
A) 55* 
B)75* 
C)95* 
D) 1059 
E) 125* 
Considere los ángulos adyacentes complementarios ¿AOB y ¿BOC. 
5i méAOB - méBOC = 12”, Calcule la m.¿BOC., 
A) 24? 
B) 399 
Cy 449 
D) 69* 
E) 840 
¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para ser equivalente al suplemento del 
complemento de dicha medida? 
A) la mitad 
B) el doble 
0) el triple 
Dj) lo mismo 
E) Nada 
Encuentre la medida de un ángulo, sabiendo que su suplemento excede al complemento del 
complemento de su medida en el triple de dicha medida, 
A) 189 
B) 20* 
0225" 
D) 36* 
E) 30* 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 30 
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1.5 
1.6 
1.7 
18 
Si la suma de las medidas de los suplementos de dos ángulos es 230"; y la diferencia entre 
ambos es 50%; encuentre el complemento del menor. 
A) 40% 
B) 30" 
0) 50* 
D) 62%30' 
E) 60* 
Considere los ángulos consecutivos ¿AOB y 4BOC, tal que m¿A0C = 130%, Encuentre la 
medida del ángulo formado por las bisectrices del ZADB y 4¿BOC. 
A) 65* 
B) 13* 
C) 18" 
D) 26* 
E) 52* 
La diferencia entre las medidas de dos ángulos consecutivos 4AOB y ¿BOC es 30%. 
Encuentre la medida del ángulo que forman OB y la bisectriz del 4AOC. 
A) 5" 
B) 10" 
C) 15" 
D) 20* 
E) 35 
Considere los ángulos consecutivos: ¿AOB, ¿BOC y ¿C0D. Se trazan las bisectrices 
OP y OQ de los ángulos ZAOB y ZCOD. Si mZAOC + mZBOD = 156”, calcule la 
mZPOQ. 
A) 66" 
B) 88* 
C) 116* 
D) 78" 
E) 96" 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 31 
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1,9 Considere los ángulos consecutivos: Z¿AOB, ¿BOC y 4COD: tal que, los ángulos AOC y 
BOD son suplementarios. Determine el ángulo formado por las bisectrices de ¿AOB y 
¿COD. Si méBOC =42* y méAOB = 21mC0D 
A) 60% 
B) 90" 
045 
D) 68* 
E) 86" 
En la figura, L, // L,. Calcule x. E 
4 
A) 16? 36* | 20 
B) 32* 
C) 249 
D) 18* 
E) 20" 
En la figura, L, / L,. Calcule x. 
A) 50" 
B) 100* 
C) 110* noo > 
D) 55% 
E) 635" A Ly L; 
En la figura, L; (/ La, Calcule x. 
A) 60" 
B) 36* 
0) 15* 
D) 30" 
E) 18 
 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 32 
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1.13 Enla figura, L, // L;. Calcule x. 
A) 66* 5 
B) 116* x L, 
Cc) 26" 30 1004 
D)96* 
E) 80* 
1.14 En la figura, L;. Ls y Lz son paralelas, Calcule x. 
A) 50* L; 
B) 30" qe 
0) 600 a, La 
D) 80* pe 
E) 70* > 
1.15 Enla figura, L, // Ls. Calcule x, 
A) 100? 
B) 60" 
C) 120* 
D) 150" 
E) 135 
 
1.16 Enla figura, L, /' L;. Calcule x. 
 
L; 
A) 20" E 0+x 
B) 40" 1009 
C) 60* 
D) 80* 0 E 
E) 100? 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 33 
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1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
En la figura, L, “L;. Calcule x. 
A) 120" 
B) 60* 
C) 80* 
D) 40" 
E) 20* 
 
En la figura, L, (f L,. Calcule x, 
A) 40” 
B) 80" 
C) 120* 
D) 100% 
E) 130" 
 
En la figura, Li (Ls. Calcule x. 
A) 36 
B)35" 
0) 435" 
D) 120* 
E) 10% 
 
En la figura, calcule la medida del ángulo agudo que deben formar L, y Ls de modo que las 
rectas La y Ly sean paralelas. 
A) 20* 
B) 22% 
C) 289 
D) 18* 
E) 24* 
 
 
Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 34 
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UNIDAD 2 
 
EL TRIÁNGULO 
 
34 
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OBJETIVOS: 
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 
* Definir un triángulo e indicar cuáles son sus elementos. 
+ Reconocer y ser capaz de graficar los diferentes tipos de triángulos que existen. 
* Utilizar las principales propiedades generales del triángulo. 
eIdentificar y graficar las líneas y puntos notables. 
* Resolver problemas sobre las propiedades generales del triángulo. 
CONTENIDO: 
2.1 TRIÁNGULOS 
2.1,2 Definición y elementos 
2.1.2 Clasificación 
2.1,3 Triángulos rectángulos notables 
2.2 TEOREMAS BÁSICOS DEL TRIÁNGULO 
2.3 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 
2.4 CASOS PARTICULARES 
2.5 ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES 
RESUMEN 
EJERCICIOS RESUELTOS 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
CONOCIMIENTOS PREVIOS: 
* Operaciones numéricas y algebraicas básicas. 
e Procedimientos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de ler y 2do grado. 
* Unidad 1 del libro: Angulo Geométrico. 
 
Unidad 2 - El triángulo 35 
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2.1 EL TRIÁNGULO: 
2.1.1 Definición: 
Es la figura geométrica resultado de la reunión de los segmentos que unen tres puntos no colineales, 
Asi, siA, By Cson tres puntos ho colineales, entonces la reunión de los segmentos AB, AC y BC es 
el triángulo ABC, denotado por A ABC. 
Simbólicamente: AABC= AB uw AC ou BC (Ae BC 
La figura 2.1 muestra al triángulo ABC, donde se tiene: 
 
B 
A) ELEMENTOS: p 
- Vértices: Los puntos A, By C. EXTERIOR EXTERIOR 
- Lados: los segmentos AB, AC y BC 
- Ángulos: 4BAC, ZABC y ZACB; o también, INTERIOR 
considerando a los vértices: ZA, Z<By €; y a Je Me 
considerando a las medidas: Za, ¿By 6. Estos 
ángulos son los internos o interiores. CO 
Ángulo exterior: es el ángulo adyacente suplemen- Fig. 2.1: El triángulo ABC 
tario de un interior. Las figura 2.2 muestran los 
ángulos exteriores del triángulo. 
 
 
B 
B 
A », NS y PE 
Cc c 
Fig. 2.2: ángulo exterior del inióngnlo ABC 
Un triángulo tiene 6 ángulos exteriores en tres pares opuestos por el vértice. Así, en la fig. 2.2, los 
ángulos 1, 2 y 3 son los exteriores y los 4, 5 y 6 son los respectivos opuestos por el vértice, 
B) PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO: 
Es la suma de las longitudes de los lados del triángulo; se designa por 2.p; y €n la fig. 2.3, 
2p =mab +m AC +mBc =AB+AC+BC. 
Semiperimetro: —p= ABE TAE usualmente, se dispone: AB=C; BC=a y AC =b; por lo 
3 
a+b+ce 
 que: p== 
de 
b 
Í ] A Fig. 2.3 perímetro del triangulo 
 
Unidad 2 - El triángulo 36 
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2.1.2 Clasificación: 
A) Por la longitud de sus lados; 
Triángulo escaleno : Ningún par de lados son congruentes. Fig. 2.4 a 
Triángulo isósceles : Dos de sus lados son congruentes. Fig. 2.4 b 
* Triángulo equilátero : Los tres lados son congruentes. Fig. 2.4 € 
Nx Acs /A 
(b) (e) 
Fig. 24 Clasificación por lados 
BE) Por la medida de sus ángulos: 
+ Triángulo acutángulo —: Los tres ángulos son agudos. Fig. 2.5 a. 
* Triángulo rectángulo —: Uno de los ángulos es recto (907). El lado opuesto al ángulo recto se 
llama hipotenusa y los otros lados, catetos. Fig. 2.5 b. 
* Triángulo obtuisáneulo : Uno de sus ángulos es obiuso. Fig 2.5 e. 
* Triángulo equiángulo —: Los tres ángulos son congruentes y miden 607. Fig. 2.5 d. 
B 60- 
a 8 60s 609 
(a) (b) (<) (d) 
Fig. 25: clasificación por ángilos 
2.13 Triángulos rectángulos notables: 
En el manejo de las ciencias matemáticas básicas, se hacen, comúnmente, uso de triángulos 
rectángulos, cuyas relaciones de sus elementos es conocida. Asi se tienen los siguientes triángulos 
rectángulos: 
e Escaleno: ángulos agudos de 30* y 609; lados proporcionales a: k,2k yk 3.Fig.2.64 
e Isósceles: ángulos agudos de 45*; lados proporcionales a;k,k yk 2 .Fig.2.6b 
* Escaleno: ángulos agudos de 377 y 53%, lados proporcionales a: 3k, 4k y 5k. Fig. 2.6c 
d $ 
La AA k k 4k k 
300 60* 45 439 
2k ED Sk 
(a) (b) (e) 
Fig. 2.6: triángulos rectángulos notables 
Además existen otros: 18.5? y 71.5%; 26.5* y 63.5? ; etc. 
 
Unidad 2 - El triángulo 37 
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2.2 TEOREMAS BÁSICOS DEL TRIÁNGULO: 
Teorema 2.1 (de los angulos internos) 
En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos internos es 180%. 
 
 
 
Hipótesis: 
Sea el A ABC, con medidas de ángulos interiores; 
a, Py. 
Tesis: 
a+p+0= 180% 
Demostración: Ml 
La recta L pasa por el vértice B y es paralela a 
AC . 
Por altemos internos se tiene los ángulos A 
adyacentes de vértice B, como se muestra en la 
figura. Estos ángulos están en un mismo a 
semiplano, por lo que: 
a+ p+6= 180% 
Teorema 2.2 (de los ángulos exteriores) 
En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores, sin considerar los apuestos por el vértice, es 
360”. 
Hipótesis: 
Sea el A ABC, con medidas de ángulos interiores: 
a, b y 6: y cuyos ángulos exteriores adyacentes m 
respectivos, som (p, 0) y O. “a. B 
Tesis: p 
p+o+0o= 3608 
 
 
 
Demostración: 
Por definición de ángulo exterior: a o 
p=180* «a A 
==.====b 
9 =180*- f pr c 
o =180*-8 s Fig. 2.8: teorema N*2.2 
Efectuando la suma de las relaciones: r 
p+0+0= 540" -(a+B+0) 
Por el teorema anterior al + [+ 6 = 1809 
Entonces, | p+0+0=360* 
Unidad 2 - El triángulo 38 
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Teorema 23 (dela medida del ángulo exterior) 
La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos 
internos no advacentes ol ángulo exterior. 
Hipótesis: 
Sea el A ABC. El ¿BCE es el ángulo exterior relativo al vértice C, La méBCE =D, 
Los ángulos interiores relativos a los vértices A y B miden a y [, respectivamente. 
 
 
Tesis: 
D=0+p B 
Demostración: 
En el A ABC: 
a+pemdc=180% ...... Teorema anterior, 
méC0+ 0 = 180% ..... Del. Zextenor. 
Operando el sistema de relaciones: 
a+ +mC0=m<C+ q D 
resultando: A TE 
b=a+p Fig. 2.9: teorema NL 3 
Corolarlo: 
En todo triangulo la medido de un angulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas de los 
angulos interiores no advacentes. 
De la figura anterior se establece: Db> ay D>p 
Teorema 2.4 (de la desigualdad co un mismo triángulo) 
Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a estos lados no som 
congruentes y el dugulo mayor es el opuesto al lado mayor, 
Hipótesis: 
Sea el A ABC, donde BC> AB 
Tesis: 
mA >méC 
 
Demostración: A 
Sobre el lado ec seubica E tal que bc z=BE . 
Se traza AE . 
 
Fig. 2.10: teorema N" 2 4 
A ABE: es isósceles + me<BAE = meAEB 
Pero má AEB>=m<0 cnnococoos por E exterior del A AEC 
méBAE >m2ZC momen (1) 
mZA > mZBAE .......... (2), porser AE interior al ZA 
Sumando las relaciones 1 com 2 
meékBAE + mA > mé 0 +mXBAE 
Resultando: méáaA > méC 
 
Unidad 2 - El triángulo 39 
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El recíproco al teorema dice: sí dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces, los lados 
opuestos a estos angulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor. 
Teorema 2.5 (de la desigualdad triángular) 
En todo triangulo, la longitud de un lodo cualquiera es mavor que la diferencia de las longitudes de 
los otros dos lados, pero menor que la sima de las mismos longitudes. 
Hipótesis: 
Sea el A ABC 
Tesis: 
AB-BC=< AC < AB+ BC 
 
Demostración: 
Sobre el lado añ se ubica el punto E de manera que Fig 241 
BE = BC. Se traza CE, entonces: 
m¿BEC =m¿ECB = 0 
DO is (1) por exterior A EBC 
asB nnniuiin (2) por exterior A EBC 
Sumando las relaciones 1 con 2: 
B+a <+B8 
 
a <0 
En el A ACE se tiene: AE< AC 
Pero EB = BC 
Sumando AE+EB<AC+BC 
Luego AB<AC+BC 0... (3)También AC<AB+ BC ....... (4) 
De la relación 3: AB-=BO=SAC uuu. (5) 
De 4 con 5 se concluye: AB-BC< AC < AB+ BC 
Teorema 2.6 
La suma de los longitudes de los segmentos que unen un punto del interior del triángulo con los 
extremos de un lado, es menor que la suma de los longitudes de los otros dos lados del triangulo. 
á . B 
Hipótesis: 
Enel A ABC, O es punto interior, ca y oc sonlos 
segmentos que unen el punto O con los extremos Ay €. 
Tesis: 
0A+0C< AB +BC 
Demostración: 
Se prolonga AD hasta E en el lado ec. Fig 2.12 
Enel AABE: AE< AB+BE ........... (leorema) A 
AN 
En el A OEC se tiene: 
OC<DE+ EC arcieiccmccinans (2) 
Sumado las desigualdades 1 con 2 
AD+OE+0C=< AB+ OE +BE+EC 
Resultando: DA+OC<AB+BC 
 
Unidad 2 - El triángulo 40 
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2.3 LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: 
Son lineas rectas que se relacionan con el triángulo cumpliendo una condición especifica, Se tiene a: 
A) La Altura: 
Es el segmento que se traza desde un vértice y es perpendicular a la recta del lado apuesto a dicho 
vértice, Fig, 2,13 
B B B 
A H co" um A c “Ta € 
Fig. 2.13: altura a , elativa al lado AC del hiáugulo ABC 
La figura muestra la altura del triángulo ABC (acutángulo, obtusángulo y rectángulo), relativa al 
vértice B o, relativa al lado ac y esel segmento BH, en los dos primeros y Ba en el triángulo 
rectángulo; Observe que en el triángulo rectángulo, la altura relativa a un cateto es el otro cateto. 
Todo triángulo tiene tres alturas. Las rectas que contienen a las alturas concurren en un mismo punto 
llamado ortocentro, el cual se ubica en la región interior, cuando el triángulo es acutángulo, en el 
vértice del lado recto, cuando es triángulo rectángulo, y en la región exterior, cuando es obtusángulo. 
Figura 2,14 
 
-ñ 
al % 
. h 
" 
Fig 21M Ortocéntro del triingulo ABC 
B) La Mediona: 
Es el segmento que se traza desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Fig. 2.15 
La figura 2.15 muestra la mediana BM del | tariceutro | 
tnángulo ABC, relativa ál lado ac, donde 
M es el punto medio del lado ac . IPS 
A a A 
B 
» 2? 
Fig. 2.13: Mediana y baricentro del 4 ABC 
 
Unidad 2 - El triángulo 41 
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Todo triángulo tiene tres medianas. Las medianas cónctren en un mismo punto llamado baricentro, 
el cual se ubica en la región interior del triángulo. El baricentro está a dos tercios de la distancia de 
cada vértice y a un tercio del punto medio del lado opuesto. Al baricentro también se le denomina 
centro de gravedad de la región tnangular o gravicentro, 
a La Mediatriz: 
Es lá recta que interseca perpendicularmente, por su punto medio al lado del triángulo. Fig. 27 
B 
La fig. 2.16 muestra a la mediatriz del triángulo ABC, É 
relativa al lado 4e , donde M es el punto medio del lado 
4. 
Todo triángulo tiene tres mediatrices, las cuales son relativas 
a cada lado; y éstas son concurrentes en Un mismo punto 
llamado circuncentro. 
El cireuncentro de un triángulo se ubica en el interior, siel 4 na E 
triángulo es acutángulo; en el punto medio de la hipotenusa, | 
si el triángulo es rectángulo; y en el exterior, si el triángulo 
es obtusángulo, como se muestra en la fig. 2.17, 
 
Fíg. 2.16: Mediatriz relativa al lado 
Ac del iringulo ABC 
B: B B 
PA mA A A 
c A c A 2 
Fig. 2.17 Ubicación del CIRCUNCENTRO Q, en el triángulo ABC 
D) LaBisectriz: 
Es el segmento de bisectriz de un ángulo del triángulo, comprendido entre el vértice y el punto de 
intersección con el lado opuesto. 
Bisectriz interior: 
Es la bisectriz del ángulo interior, la fig. 2.18 muestra la bisectriz ñE , relativa al lado ac oal vértice 
B del A ABC. 
Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales son relativas a cada lado o vértice; y éstas 
son concurrentes en un mismo punto llamado incentro, ubicado en la región interior del triángulo. La 
fig. 2.19 muestra el incentro I del triángulo ABC. 
B 
B 
 
 
E 
Fig. 2.18 Bisechi: BE del d ABC 
Fie. 2,19 Dicentro del a ABC 
 
Unidad 2 - El triángulo 42 
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Bisectriz exterior: 
Es la bisectriz del ángulo exterior y comprende desde el vértice hasta el punto de intersección con la 
prolongación del lado opuesto. 
La fig. 2.20 muestra la bisectriz exterior BE , relativa al lado ac o0al vértice B del A ABC. 
En todo triángulo tiene tres bisectrices exteriores. Dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del 
tercer vértice concurren en un mismo punto llamado excentro, el cual es relativo al lado opuesto al 
tercer vértice, por lo que, todo triángulo tiene tres excentros. La fig. 2.21 muestra el excentro E, 
relativo al lado BP del A ABC. 
 
 
aL 
€ E € 
Fig. 2.20: Bisectriz exterior BE. Fig. 2.21: Excentro E del 4 ABC 
E) La ceviana: 
Se denomina de esa forma al segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o 
prolongación de éste, en el triángulo. Fig. 2.22. 
 
p F 
Fig 2222: Cevianas BD. BF y AR del 4 ABC 
En todo triángulo acutángulo, la bisectriz interior, la altura y la mediana son cevianas interiores: y la 
bisectriz exterior es ceviana externa, 
En la fig. 2.23 se observa que la bisectriz, altura, mediana y mediatriz, son elementos diferentes para 
un triángulo en general. 
 
 
Fig. 2.23: Lineas Notables 
 
Unidad 2 - El triángulo 43 
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2.4 CASOS PARTICULARES: 
En todo triángulo isósceles, las lineas notables relativas al lado desigual coinciden y los puntos 
notables se encuentran alineados. Fig. 2.24. 
B 
L 
Altura 
Mediana Circuncentro 
Mediatriz Báricentro 
Bisectriz 
Inceutro 
Ortoceniro 
A ES Ac 
Fig. 2,24: Lineas y puntos notables en el triángulo isósceles 
En el triángulo equilátero, las lineas notables relativas a cualquiera de sus lados coinciden y los 
puntos notables también coinciden en un mismo punto, Fig, 2,25. 
Ortocentro 
 
 
 
Fig. 2,25: Lineas y puntos notables en el triángulo equilátero. 
215 — ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES: 
A) Por dos bisectrices interiores: 
La medida del ángulo formado por las bisectrices de 
dos ángulos interiores, es igual a 90% más la mitad de 
 
la medida del tercer ángulo. 
E 
ES 2 AAIC có +a+pPS 180% incio nióciconcianana 1 ÍA AABC :2a+méB+2B= 180% o... 2 ALO ÉS € 
Resolviendo 1 y 2 en: Fig. 2.26: Ángulo formado por dos 
0 = 90% +mB/2 bisectrices intertores 
 
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B) Por dos bisectrices exteriores: 
Las bisectrices exteriores relativas a dos vértices de un 
triángulo, forman un ángulo cuya medida es el 
complemento de la mitad de la medida del ángulo 
interno del tercer vértice. 
 
 
 
 
 
Demostración: E 
ABEC :5+a+pP=180% cccconcciononmso 1 A Y, 
AABC :2P =m2ZA + 180? -2a ...(Z ext.) £ 
> a+ =(180+m24A4)/2...... 2 Fig. 2.27 Angulo formado por dos 
Resolviendo 1 y 2: bisectrices exteriores 
ó=90* -mé¿A/2 
C) Por una bisectriz interior y una exterior: 
B 
La medida del ángulo formando por una bisectriz A E 
interna con una externa, trazadas desde dos vértices 
de un triángulo, es igual a la mitad de la medida del 
ángulo del tercer vértice. 
Demostración: 
AAECIO+O SB cnc [Lex] 
=:p- a A =E p-a A 6 
AABC: 2P=20+mé4B incorrorrnrororonor 2 Fig. 2,28: Angulo formado por una! bisectrE interior y una bisectre exterior 
Resolviendo 1 y 2en 0: 
 
6 =mB/ 
 
D) Por una altura y una bisectriz interior: 
La medida del ángulo formado por una altura y una 
bisectriz interior, trazadas de un mismo vértice, es 
igual a la semidiferencia de las medidas de los 
 
 
ángulos de los otros dos vértices. 
Demostración: 
DO BHO :8+a4+ mZC0=90 cnc. 1 
Mb AHB :mA+m2ZABH=90" 
— MmáA+a-D= 0 nnniniinn 2 
Resolviendo 1 y 2: Fig. 2.29: Angulo formado por una 
altura y una bisectriz intertor 
 
|O=(mZA-m2C)/2 
 
 
Unidad 2 - El triángulo 45 
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E) Por dos alturas: 
La medida del ángulo formado por dos alturas 
relativas a dos vértices de un triángulo, es igual al 
suplemento de la medida del ángulo en el tercer 
vértice, 
Demostración: 
DL AHO :mZAOH=m2%B ...( lados) 
En vértice O: 8+m4B = 180% 
Entonces, 
 
 
 
 8 = 130” - m<B 
Fig. 2.30: Angulo formado por dos alturas 
E) Por dos mediatrices: 
La medida del ángulo formado por las mediatrices de 
dos lados de un triángulo, es igual al suplemento de 
la medida del ángulo formado por dichos lados, 
Demostración: 
Se traza os y se forman los tnángulos 
rectángulos OPB y OQB 
La suma de ángulos del triángulo OPB con el 
del triángulo OQB es 360?, esto es: 
8 + 1m.¿B +1m£P +m.40 =360* 
Pero 
méP +m240 = 180* 
Entonces, 
 
 
Fig. 2.31: Angulo formado por dos mediatrices 
 
 
0 = 180" - méB 
 
 
Unidad 2 - El triángulo 46 
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RESUMEN 
Clasificación de los triángulos: 
 
 
POR LONGITUDES DE LADOS: POR MEDIDA DE LOS ANGULOS: 
e Triángulo escaleno + Triángulo acutángulo 
e Triángulo isósceles *« — Triángulo rectángulo 
e Triángulo equilátero e Triángulo obtusángulo 
e. Triángulo equiángulo 
Teoremas Básicos: 
Teorema 2.1 — En todo triángulo, la suma de las medidas de los angulos internos es 1807, 
Teorema 2.2 En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores, sín considerar los opuestos por 
el vértice, es 3609. 
Teorema 2.3 La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de 
los ángulos internos no adyacentes al angulo exterior, 
Teorema 2.4 Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a 
estos lados no son congruentes v el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor. 
Teorema 2.5 — En todo triangulo, la longitud de un lado cualquiera es mayor que la diferencia de las 
longitudes de los otros dos lados, pero menor que la suma de las mismas longitudes, 
Teorema2.6 — La suma de las longitudes de las segmentos que unen un punto del interior del 
triángulo con los extremos de un lado, es menor que la suma de las longitudes de los 
otros dos lados del triángalo. 
Lineas y Puntos Notables: 
* Altura: Ortocentro 
* Mediana: —Baricentro 
* Mediatrizz Circuncetro 
* Bisectriz: Incentro y Excentro 
Ángulo formado: 
 
* Por dos biseciírices interiores: w =90* + m¿B/2 
* Por dos bisectrices exteriores: 5 =390* - méA/2 
+ Poruna bisectriz interior y una exterior: — 4=mZB2 
+ Poruna altura y una bisectriz interior: 8 = (méA —-mZ0)/2 
+ Pordos alturas: 8 = 180% -m.<B 
e Por dos mediatrices: 0=180* - m.<B 
Unidad 2 - El triángulo 47 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
21 Enla figura, EF=EC=BC; mé¿A=25% ymé¿AFE=35*. Halle la m<¿FOB. 
B 
F 
 
Solución: 
Se ubica en la figura los datos del problema. 
Por 4 exterior del A AFE: 
meéFEC=25* +35" 
méFEC= 60% 
Al unir F con €, el A EFC es equilátero donde EF 
=EC=FC y, méóEFC=m<ECF = 60* 
En el vértice FE; 35% 4:60” + m24CFB = 180? 
mZCFB = 85* 
A FEC es isósceles + mZ<CFB = mZFBC, y 
méFCB = 1809 - (85% +85% = 109 
x= 10% 
 
 
22 Enla figura, halle el valor de x. 
Solución: 
En A ABC: mC = 180?- (90? + qt + 201) 
mZC = 90? - 3a 
Por Zexterior de A AED, en D: 
E A A A | 
Similamente en A ABD, en D: 
30 = 45430 + 0-a= 413 ca. 2 
Relación 2 en l:x=2 (15%) 
x=30* 
 
 
 
Unidad 2 - El triángulo 48 
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2.3 Enla figura si las rectas m y n son paralelas, el triángulo ABC es equilátero, halle el valor de a. 
 
Solución: 
Por dato m.¿C = 60% 
Por correspondientes: m4DEN = a 
En A EDF: m¿F = a - 90% 
En A FGC, por teorema de suma de ángulos: 
a - 90 + a + 607 = 180% 
Resolviendo a = 105% 
 
2.4. Enla figura, halle x, si las rectas L1 y L2 son paralelas; y a =22*. 
L, 
 
Solución: 
Por los conceptos: ángulos alternos internos, suma de ángulos y ángulo exterior, se completa 
la información de la figura. L, 
 
 
 
L; 
da=6:+0 => 0=30 -6* sus Y 
B=90.-2a+x —1=20+b-90" 0... 2 
Relación 1 en 2: x= 50-90 
Por dato, a =22*, sail E 
end x=14* 
Unidad 2 - El triángulo 49 
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25 — Enuntriángulo los lados miden 4, 3 y Ax *- 2, Calcule el rango de variación del valor de x. 
Solución: 
Por el teorema de la desigualdad triangular: 
4-3 <dx?-2 <4+43 
1 <Ax Pa <7 
Analizando por partes: 
pasta > AE EX cion 1 
De Jit-2<7 3 x<aó .. 2 
Entonces, 
Aa <x< far 
26 —Enuntriángulo ABC, el <A es el de mayor medida, los lados miden: AB=4 y BC=6. Halle la 
longitud de ac , siendo AC el mayor número entero. 
Solución: 
Por el teorema de desigualdad eu el triángulo: ñ 
A AS 5 
Por teorema de la existencia: 4 Cc 
6-4<x<6+4 x 
A 
2<x<l0 —$ A 
Analizando 1 y 2 resulta: 
x<6, luego, 
x=5 
2.7 Exteriormente aun triángulo ABC, se construye el triángulo equilátero BDC. Si AB =4, 
AC=7; y el ángulo ABC es el mayor, halle el mayor valor entero que puede tomar el perímetro 
del triángulo BDC. 
Solución: 
Se efectúa la figura que representa al problema. 
E: AAA 
 
Unidad 2 - El triángulo 50 
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Enel A ABC: 
xR=7T y 7-4<ox<T+4 
k<7Yy3EXx<0un 
analizando, resulta: xXx <7 ui 2 
2enl: 3x<21 
entonces, perimetro del A BDC =20 
 
 
 
 
 
 
 
28 — Enun triángulo ABC, ce es bisectriz exterior y m.B = 3(m4A). Si AC = BE, calcule la 
méA. 
Solución: 
Se efectúa la figura que representa al problema, donde: mZA=a=> meé<B=3a 
En A ABC: m Zext. en € =4a 
EnA AEC:m ext. enC=2a 
=> m2ZE=a, con lo que: 
ABCE y AACE son isósceles, entonces, la 
méEBC = la. 
En el punto B, por suplementarios: 
ja +20 = 180" 
a =36* 
méA = 36 
29 — Enuntriángulo ABC, la altura BH determina sobre el lado ac dos segmentos: AH y HC que 
miden 2 m y 71m, respectivamente. Si mA = 2 (m.£C), calcule AB. 
Solución: 
Se efectúa la figura que representa al problema 
Efectuando un análisis de los ángulos internos se 
traza la ceviana Bo de forma que el A ABD es 
isósceles con m<D =2a A 
- Por caso especial en A isósceles AH =HD=2, y 
IP 1DG=7-2=35 
Unidad 2 - El triángulo 51 
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2.10 
2.11 
Por £ extdel A BDC en D: 
m4B=20-a=a — ABDC: isósceles, donde: 
BD=DC=5. 
Entonces, en A ABD: AB=BD=5 
AB=5m 
En la figura, calcule la DOC. 
Solución: 
Considerando a m¿DOC = a. 
Analizando los ángulos exteriores en los vértices B y 
D, resulta, respectivamente: 64? y 66*; lo queverifica 
a C exceñtro, BC y DC bisectrices exteriores; y a 
AD, bisectriz interior del A ABC, 
Por 4 formados por bisectrices: 
méACB=52*/2=26* 
En A BOC por teorema del .£ exterior en O 
o =64* + 26* 
o=88* 
méDOC = 88” 
 
En un triángulo ABC se trazan las perpendiculares, BH y BP, alas bisectrices de los ángulos 
A y C, respectivamente, Halle la m¿HBP, si m.éB = 20%. 
Solución: 
Se dibuja el A ABC del problema 
Sea 0 el £ formado por las bisectrices interiores 
de A y C: 
6 = 90? + (20%/2) = 100 
El incentro, P, B y H forman dos triángulos 
rectángulos donde se cumple: 
mZHBP + 0 = 180? +m.HBP = 80? 
 
 
Unidad 2 - El triángulo 52 
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2.12. Enla figura, “0” es el ortocentro e 
*T” es el incentro del tnángulo ABC. 
Halle el valor de 6. 
Solución: 
En la figura, por concepto de incentro y 
ortocentro, se completa las alturas AH y cr; y los 
ángulos de valor Q: 
Por £ de lados .L: mZPCB=mZ<HAB = 0 
Por bisectriz: m.ZTIAC = 29 
En APC: 48 +60 =907 
Resolviendo 6 =18* 
 
2.13 Enun triángulo ABC se ubica el punto M en BC tal que AB = MC. 5: m¿BAC = 28%, calcule el 
menor valor entero que le corresponde a la medida del ángulo ABC. 
Solución: 
Como BC > AB, entonces: 28% > 152% - X 
Por lo tanto: X > 124% 
28 152%x 
Entonces: Xara = 1259 A e 
2.14 Enla figura, calcule: m 4 BMA +1m 4 ADB-m ¿BCA, 
Solución: 
De la figura: mm ¿4 BMA+2a+ z =180* 
m ¿ADB +4 +2z=180* 
sumando ambas ecuaciones: 
m BMA +m £ ADB +3(a+z) = 360? ....(1) 
además en A ABC: 
m Z BCA + 3(a +2) = 1809 .....(2) 
()-(): 
mm ZBMA +m 4 ADB-m ¿BCA= 180* 
 
 
 
Unidad 2 - El triángulo 53 
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215 En un triángulo isósceles ABC, AB = AC, se ubica en su interior el punto M de forma tal que 
los ángulos ABM y CAM son congruentes y en el triángulo ABM, el ángulo exterior en M mide 
40*. Calcule la medida del ángulo BCA. 
Solución: 
En A ABC:m <ABCO=m-<ACB (dato) 
Entonces: a+ m Z¿MBD=z, luego: m 4¿MBD =z-a 
En a ADC: m ZADB=a+z (propiedad del ángulo exterior) 
En A MBD:7+4+z-a+ 40% = 1809 
Por lo tanto: 2 = 70* 
 
 
 
 
2.16 En un triángulo equilátero ABC, el perímetro es 72 y Mes el punto medio AB. PorM se traza 
ME perpendicular a BC y luego RDperpendiculara AC. Calcule AD. 
Solución: 
B 
Como el perímetro del triángulo ABC es 72, entonces cada lado mide 24 
entonces: AM = MB = 12 
A MEB (30*; 60%): MB = 12, entonces BR = 6, 
por lo tanto: RC =24-6=18 
á RDC (30; 60%) RC = 13, entonces CD=%9 c 
por lo tanto: AD=24-9=15 
2.17 En un triángulo ABC, ADes bisectriz interior. El punto M esta en la prolongación de ADy el 
E la prolongación de AC. situados de forma tal que: CD=CE; y, m ¿ABC=2m 4 MODE. 
Calcule la medida del ángulo MDE, 
Solución: 
ADCE:m¿DCA=a+a=2a — (propd, del ángulo exterior) 
A ABC: 2x+22+ 24 = 180"... (1) (suma de ángulos internos) 
AADE:2+4=%......... (2) (propd. del ángulo exterior) 
Reemplazando (2) en (1): 
2x +2x =180* A » 
Luego: x =45* E 
Unidad 2 - El triángulo 54 
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2.18 
2.19 
2.20 
En un triángulo equilátero ABC, AM es una ceviana interior y en su prolongación se ubica el 
punto D de forma que: m 4 BCD=390* y CD= AB. Calcule la medida del ángulo AMB, 
Solución: 
4 ACD: 27 +60? + 90% = 1809 
entonces: z= 15 
A AMC: 
x=60+2=75% (propiedad del ángulo exterior) 
 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, BR es altura. Se ubican los puntos M y D en 
BRy RC, respectivamente, de forma tal que BC y MD son paralelas. Halle la relación en que 
están los ángulos MBD y MAR. 
F 
Solución: 
Como BC y MD son paralelas, entonces 
 
M es el ortocentro del A ABD A 
por lo tanto x= ya que tienen el mismo complemento 
 
luego: +1 
En un triangulo ABC, méBAC=48* y mé£ACB = 12% Si M es el incentro y R es el 
circuncentro, calcule m¿MAR. 
Solución: 
Á ABC: a + 48* + 12? = 180", de donde: a= 120* 
luego: m 4 ARC = 120* (propiedad del circuncentro) 
 A ARC: 224 120% = 180* por lo tanto z = 30? A de la figura: x= 24% +2 =54% 
 
Unidad 2 - El triángulo 55 
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2.21 En un triangulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la ceviana interior BR y se prolonga hasta un 
punto M tal que m 4 MCA =30* y m 4 MBC =3(m 4 ABM). Calcule la medida del ángulo 
AMB. 
Solución: 
A ABC: se traza BD1 AC, entonces: AJ =JC 
por lo tanto 4 ADC es isósceles ya que DJ es altura y mediana 
En Á DIC:a+ m ZJDC=3%90", pero por dato a=30" 
entonces: m 4 JDC =60* =m ¿JDA porque 
el a ADC esisósceles, esto significa que m 4 ADM = 60? 
por lo tanto M es excentro del a ABD 
entonces: q. 24%. 5p+ (propiedad del excentro) 
z 
 
2.22 Enun triángulo ABC, m Z ABC =16%, m ZACB=37", BC =20; y BM es bisectriz interior. 
Calcule AM. 
Solución: 
Se traza BR perpendicular a la prolongación de CA 
En Á CRB (377; 53%: BC = 20, entonces BR = 12 
En A MRB (45"; 45"): BR=MR=12 
En Á CRB: 37% +16%+m ¿ABR = 90? 
luego m 4 ABR =37* 
En A ARB (37%: 53%): BR = 12, entonces: a=9 
de la figura: ME =x +a=12 
luego: x=3 
Unidad 2 - El triángulo 56 
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2.1 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
En un triángulo se cumple que uno de sus ángulos internos mide 20% más que el segundo y 35% 
menos que el tercero. Indique, ¿cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? 
L El triángulo es isósceles, 
IL El triángulo es obtusángulo. 
TIL. El triángulo es rectángulo. 
A) SololI 
B) IyI 
C) Solo I 
D) Iy In 
E) Solo MM 
22 En un triángulo ABC, AB = 12, BC=(2k+5) y AC =k-2. Calcule el perimetro de dicho 
triángulo, si k es un número entero. 
A) 24 
B) 18 
C) 27 
D) 22 
E) 25 
2.3. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en A, en la región exterior y relativa al lado BC se 
ubica el punto F de forma tal que el ángulo BCF es obtuso. 51 AB =5, BF= 13 y BC = (2k-6), 
calcule la suma de los valores enteros que puede tomar k. 
A) 36 
B) 30 
C) 24 
D) 28 
E) 32 
24 Exterior a un tnángulo ABC y relativo al lado BC se encuentra el punto F de modo que AF =5 y 
BF = 4. Halle el mayor valor entero de CF, si la suma de las longitudes de los lados 
AB y BCes 11. 
A) 14 
B) 15 
O 12 
D) 13 
E) 16 
 
Unidad 2 - El triángulo 57 
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2.5 Enlos lados BC y AC de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) estan los puntos M y E, 
respectivamente, ubicados de forme tal que BM= BR. Sim 4 ABR = 36*, calcule la medida 
del ángulo MRE, 
A) 12* 
B) 15* 
C) 189 
D) 24* 
E) 30* 
2.6 Enun triángulo rectángulo ABC, recto en B, la m 4 BCA = 40% AM es una ceviana interior 
que cumple con BC+BM=AC. Calcule la medida del ángulo MAC. 
A) 259 
B) 30* 
Cc) 209 
D) 35* 
E) 409 
2.7 Enla figura, AB=BC,m £ APD=90" y m Z ABC =40*. Calcule x. 
A) 50" 
B) 30* 
0) 60 A 
D) 25* 
E) 35* p 
2.8 Enun triangulo isósceles ABC (AB = BC), la bisectriz exterior del ángulo € interseca en M a la 
prolongación de la bisectriz interior AR. Calcule la medida del ángulo RMC, si AR=AC. 
A) 272 
B) 300 
C) 18* 
D) 36" 
E) 20” 
 
Unidad 2 - El triángulo 58 
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2.9 
2.10 
2.11 
2,12 
En un triangulo equilátero ABC se traza la ceviana interior CR y se prolonga hasta un punto M 
tal que AM = BC. Calcule la medida del ángulo BMC. 
A) 2? 
B) 37 
C) 15 
D) 25 
E) 30* 
En un triángulo ABC, M es el excentro relativo al lado BC. En el interior del triángulo BMC 
está el punto O que equidista de B, M y C. Calcule la suma de las medidas de los ángulos BAC 
y BOC. 
A) 90? 
B) 120* 
C) 150* 
D) 160* 
E) 180* 
En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD. Si AB = 8, BD = 5 y 
m ¿CAB m ¿ CBD 
a ZACD + + calcule la medida del ángulo BCA. 
A) 15% 
B) 30% 
C) 18,52 
D) 26,5% 
E) 22,5 
En un triángulo equilátero ABC, F, M y G son los puntos medios de AB, BC y AC, 
respectivamente. Si la distancia del ortocentro O del inángulo FMG a FM es 2, calcule OA. 
a 4 
B) 6 
Cc) 10 
D) 8 
E) 12 
 
Unidad 2 - El triángulo 59 
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2.13 Enun triángulo acutángulo ABC, la ceviana BM pasa por el circuncentro O de dicho 
triángulo. Si se cumple que m 4 ABM = 22* y m 4 MAO = 35*, calcule la medida del ángulo 
BMC. 
A) 69 
B) 65* 
C) 799 
D) 66? 
E) 88* 
2.14 En wn triángulo ABC, BHes altura y en dicha altura se ubica el punto M de modo que: 
mé¿ABM =m ¿MCA=x; y m ¿MCB=m £ MAC = 2x. Calcule x. 
A) 189 
B) 152 
C) 20* 
D) 30* 
E) 24* 
2,15 En un tnángulo ABC, m £ ABC =40 y m 4 BAC = 60, Se trazan las cevianas interiores 
AF y CG tal que m 4GAF= 10%", AG=CF y FC=6. Calcule CG. 
A) 5 
B) 4 
06 
D) 8 
E) 9 
2.16 Enel interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se establece el punto F tal 
que se cumple AF=BC ym ¿BAF=m ¿ACF. Calcule la medida del ángulo BAF. 
A) 18,59 
B) 30* 
C) 45* 
D) 53" 
E) 26,5" 
 
Unidad 2 - El triángulo 60 
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2.17 Enun triángulo ABC se toma el punto M en BC y se traza MH perpendicular a AC. En AB 
se torna el punto E tal que BR = 2.AH, m 4¿BRM=m ¿BCA=B y m ¿BAC =2 P. Halle fi, 
A) 309 
B) 37 
C) 459 
D) 60* 
E) 53* 
2.18 Se tiene el triángulo obtusángulo ABC, obruso en A, en el cual AC=12 y 3AB=2EC. Si 
BH es altura, calcule el máximo valor entero de AH. 
A) 18 
B) 22 
C) 20 
D) 24 
E) 23 
2.19 Enun triángulo ABC, m 4 ABC = 1007, se toma el punto M exterior y relativo al lado Ac tal 
que AB= AM, m 4 AMC = 160% y m 4 BAM = 60*. Calcule la medida del ángulo MAC. 
A) 20% 
B) 12* 
Cc) 107 
D) 119 
E) 15% 
2.20 En un triángulo ABC, M es un punto interior tal que m BAM =m ¿MAC =3w, CM = BC, 
m ¿BOM=2w y m ACM =w, Calcule w, 
A) 10% 
B) 8* 
C) 7,59 
D) 122 
E) 6? 
 
Unidad 2 - El triángulo 61 
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2.21 En un inángulo ABC, AB =BC, la altura BH y la mediana AM se intersecan en P. Calcule 
BH. si PM=>/2 y mZBPM=45". 
A) 
B) 
2) 
D) 
E) 
e 
3
5
 
==
 
0
 
2.22 En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bisectriz interior BF; luego se trazan las 
bisecirices de los ángulos BHF y BFC que se intersecan en el punto E. 51 m.¿BAF es mayor que 
la m4BCA en 407, determine la medida del ángulo HEF. 
A) 5 
B) 10* 
C) 15 
D) 20* 
E) 30" 
2.23 En un triángulo ABC, la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 28*; se traza 
CM perpendicular a la prolongación de la bisectriz interior BN, Determine mZACM. 
A) 10 
B) 12* 
C) 14 
D) 16 
E) 28* 
2.24 En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro “O”, la altura AH se prolonga hasta un punto F 
de modo que el triángulo OCF es rectángulo (recto en C), Si mABC = 65%, calcule la 
méOFC. 
A) 322 
B) 65 
C) 45" 
D) 25* 
E) 30” 
 
Unidad 2 - El triángulo 62 
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2.25 
2.26 
2.27 
2.28 
En un triángulo ABC se prolonga la bisectriz interior AE hasta un punto F de modo que 
EC = CF. Si el ángulo ABC nude 70?, calcule la medida del ángulo ACF. 
A) 35 
B) 60 
C) 65 
D) 70 
E) 140 
En un triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro “O”, tal que la mZíOCA = 102, 
méOCB =20* y OC = 12, Halle la distancia del punto “O” al lado AB. 
A) 6 
B) 8 
Cc) 9 
D) 64% 
E) 44% 
En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), m2ABC = 36", CF es una ceviana interior y “O” 
es el circuncentro del triángulo AFC. Calcule la m¿OCF. 
A) 9 
B) 18* 
Cc) 27 
D) 36* 
E) 30* 
En un triángulo acutángulo ABC, H es el ortocentro, 1 es el incentro y O el circuncentro. 
Además, méAHC = mZA0OC., Calcule la m¿AIC. 
A) 135 
B) 75 
C) 90* 
D) 105* 
E) 120" 
 
Unidad 2 - El triángulo 63 
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2.29 En un triángulo ABC, de ortocentro O, m¿0AC = 35% y m£0CA = 25%. Halle la m¿ABC. 
A) 
B) 
O) 
D) 
E) 
s0* 
33" 
60* 
65* 
Or 
2.30 En un triángulo ABC se traza la altura BM, y se cumple con que m ¿ACB =2m4ABM. Calcule 
AC. sí BC=10. 
A) 
B) 
a) 
Dj 
E) 
E 
9 
10 
12 
15 
2.31 En la figura, halle 0+P, si méABC = 48* 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) 
36 
2 
42 
18 
30* 
 á 
c 
232 Enun triángulo ABC, AB=6cm y AC= l4cm, calcule el mayor valor entero que puede tomar 
la mediana AM. 
A) 6cm 
B) 
c) 
8cm 
Tem 
Dj 10cm 
E) Sc 
 
Unidad 2 - El triángulo 64 
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2.33 Enla figura, L1, L2 y L3 son paralelos. Si en el triángulo ABC la altura relativa a AC mide 7cm 
y en el triángulo AFC la altura relativa a AC mide 3 cm, calcule MY, 
 
 
 
 
A) 5cm . e EA 
B) Tcm 
C) 8cm 
D) 10cm 
E) 20cm t NY = 
+ m . L; 
F Y 
2,34 En un triángulo ABC, AB=3 y BC=5, ¿Cuántos valores enteros puede tomar el segmento AC? 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) A
 
2,35 — En un triángulo ABC, “E” es el excentro relativo a BC ,“H" el ortocentro y mZBEC = 50F, 
Calcule la m.¿ABH. 
A) 5 
B) 10* 
Cc) 15 
D) 20* 
E) 25 
2.36 En un triángulo acutángulo ABC se trazan, las alturas AM y BN; y las bisectrices de los 
ángulos MBN y MAN que se intersecan en T. Halle la m¿ATB. 
A) 135 
B) 75* 
C) 90 
D) 105* 
E) 150" 
 
Unidad 2 - El triángulo 65 
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2.37 Enun triángulo POR, lam Q =22*. Si la mediatriz de la bisectriz interior del ángulo P corta a 
la prolongación del lado QR en S, calcule el la medida del ángulo SPR. 
A) 35% 
B) 20* 
C) 33" 
D) 11? 
E) 27 
2.38 En un triángulo ABC se traza la bisectriz BF (F sobre AC) y la mediatriz de BF que corta a la 
prolongación del lado CA. en el punto R. Si Mes punto medio de BF y mZA -m2ZC = 32, 
calcule m.¿MRF. 
A) 32 
B) 12 
C) 240 
D) 18 
E) 16* 
2.39 Enun triángulo acutángulo ABC se trazan la bisectriz BD (D en AC) y la mediatriz de AB, las 
cuales se cortan en F, Si m<¿BDA = 80" y BF=AD, calcule la m¿BCA. 
A) 40* 
B) 50" 
CO) 30 
D) 37 
E) 53 
2.40 Las medidas de los lados de un triángulo escaleno, en metros, son números enteros. Si el 
perímetro es menor que 13m, ¿cuántos triángulos existen? 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) La
 
SS 
a
 
b
d
 
Á
 
 
Unidad 2 - El triángulo 66 
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2.41 En un triángulo ABC, mZA = 2mC. Si la altura relativa a AC y la bisectriz del ZABC 
forman un ángulo de 10”, halle m.<C, 
A) 30" 
B)