Números Irracionales 1 y 2

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NÚMEROS 
IRRACIONALES
Objetivo: Resolver operaciones que involucran números reales aplicando 
propiedades de las raíces en contextos cotidianos y matemáticos.
Conjuntos Numéricos 
Q*
z
ℝ
Ԛ
Los elementos del conjunto ℤ = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} se 
denominan “Números Enteros
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b 
números 
enteros y b distinto de cero.
El conjunto de los números racionales se representa por la letra Ԛ. Y entre ellos 
tenemos los decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semi-periódicos.
. 
¿ Que números pertenecen al conjunto Q*
(irracionales)?
¿Y que pasa con los decimales infinitos no periódicos? 
Números irracionales
• Estos decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales.
• Algunos de estos números son el numero pi: 3,14159 26535...||
• El número de oro: 1,61803398…
• Número de Euler : 2,71828…..
¿Qué historia habrá tras estos números ?
Raíces 
• La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números 
racionales no negativos, son: 
• Si 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏2 = 𝑎
• Partes de una raíz :
• Ejemplo: 9 = 3 ↔ 32 = 9
• Actividad : Completar
• a) = 11 ↔
2
=
• b) 169 = ↔
2
= 169
• C) 196 =
ACTIDAD COMPLEMENTARIA : Calcular las 
siguientes raíces cuadradas:
a) 36 =
b) 49 =
c) 4 =
d) 28 =
e) 2 =
¿Qué pasa con 28 y 2?
Son raíces inexactas y a continuación 
trabajaremos con ellas 
La raíz n-ésima
• La raíz cuadrada de a es 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2 = |𝑎|
• La raíz cúbica de a es 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 = 3 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 =
3
𝑎3 = 𝑎
• raíz n-ésima de a
•
𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑛−1 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 =
𝑛
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑎𝑛
• Ejemplo : calcular las siguiente raíces 
• A) 
3
27 =
• B) 
3
−27 =
• C) 
5
32=
• D) 
5
−32 =
Descomposición de raíces
• Para operar con este tipo de números existen estrategias como la descomposición de raíces para 
escribirlas con una cantidad sub radical distinta, por ejemplo:
• Ejemplo 20 = 4 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 2 ∙ 5 = 2 5
• Una técnica mediante la cual podemos descomponer cantidades sub radicales( radicando) es la 
descomposición de números primos .
• Ejemplo: 28 =
• Paso 1: escribimos nuestro radicando y buscamos
divisores de el que sean números primos ( ej: 2,3,5,7,11,….).
En este caso el primer divisor seria 2, realizando la división 
28:2= 14 , el resultado se va anotando bajo nuestro radicando
Como se muestra a la derecha , hasta que esa cantidad sea 1.
Entonces 28 = 2 ∙ 2 ∙ 7 = 4 ∙ 7
28 2
14 2
7
1
7
Así 28=2 ∙ 2 ∙ 7
O 28 = 4 ∙ 7
Descomposición de raíces
• Actividad : Descomponer las siguientes raíces
a) 60 =
b) 18 =
c) 72 =
d) 75 =
e)
3
108 =
f)
4
32 =
Desafío 
personal
Suma de raíces 
• Suma de raíces
• Podemos sumar o restar dos raíces si tienen la misma cantidad subradical ( 
radicando) e igual índice, de la siguiente forma:
• 𝑝𝑛 𝑎 ± 𝑞𝑛 𝑎 = 𝑝 ± 𝑞 𝑛 𝑎 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ+ ∪ 0 , 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ
• Es decir, se suman sus factores enteros aplicando la propiedad distributiva de los 
números reales.
• Ejemplo : 4
3
2 + 5
3
2 = 4 + 5
3
2 = 9 
3
2
• Ejemplo : 7
5
2 − 15
5
2 = 7 − 15
5
2 = -8 
5
2
• Ejercicios 
• A) 6 5 − 4 5 − 8 5 =
• B) : 7
5
2 − 15
5
2 + 6
3
2 + 5
3
2 =
Propiedades de raíces 
• Propiedad 1; Multiplicación de raíces de igual índice 𝑛 𝑎 ∙
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎 ∙ 𝑏
• Propiedad 2: División de raíces de igual índice
𝑛
𝑏
𝑛 𝑐
=
𝑛 𝑏
𝑐
• Propiedad 3 :Raíz de una raíz
𝑛 𝑚
𝑏 =
𝑛∙𝑚
𝑏 =
𝑛𝑚
𝑏
Ejemplo : 
3
5 ∙
3
3 =
3
5 ∙ 3 =
3
15, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos 
3
15 = 
3
5 ∙ 3= 
3
5 ∙
3
3
Ejemplo : 
4
9
4
18
=
4 9
18
= 
4 1
2
, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos 
4 9
18
= 
4
9
4
18
Ejemplo : 
3 2
7 =
3∙2
7 =
6
7 , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos 
6
7 = 
3∙2
7= 
3 2
7
Resolver 
• Resolver aplicando las propiedades 1, 2 y 3 , mencionando cual de ellas utilizo 
para desarrollar el ejercicio .
• Ejemplo : 
6
8 ∙
6
8 =
6
8 ∙ 8 =
6
23 ∙ 23 =
6
26 = 2 propiedad 1
• Ejercicio
• A) 
6
4 ∙
6
8 ∙
6
2 =
• B) 
3
2048
3
4
=
• C) 
3 3 4
6 =
• D) 
6
27
3 2
4
=
Desafío 
personal
Propiedades de raíces 
• Propiedad 4: Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice 
𝑛
𝑏𝑛 = |𝑏|
• Propiedad 5: Propiedad de amplificación
𝑛
𝑏𝑥 =
𝑛∙𝑚
𝑏𝑥∙𝑚
=
𝑛𝑚
𝑏𝑥𝑚
• Propiedad 6: Ingreso de un factor dentro de una raíz 𝑎
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑏 ∙ 𝑎𝑛
Ejemplo : 
3
33 = |3| , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos |3| = 
3
33
Ejemplo : 
5
82 =
5∙3
82∙3 =
15
86 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos 
15
86 =
5∙3
82∙3 = 
5
82
Observación : Esta propiedad es muy útil para igualar índices de raíces
Ejemplo 
3
3 ∙
4
3 =
3∙4
34 ∙
4∙3
33 =
12
34 ∙ 33 =
12
37
Ejemplo : 3
4
2 =
4
2 ∙ 34 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos 
4
2 ∙ 34 = 3
4
2
Ejercicios propuestos 
• Identifica si cada número pertenece o no pertenece al conjunto dado.
935144493

Desafío 
personal
Ejercicios propuestos 
• Ejercicios: Seguir la estructura presentada en el esquema para descomponer las 
siguientes raíces cuadradas
• 𝑎) 72 b) 108 c) 250 d) 100000
• e) 
75
16
f) 
48
50
g) 
162
45
h) 0,27
• 𝑖) 4,5 j) 0,64
Desafío 
personal
Ejercicios propuestos 
• Ejercicios: Resuelve las siguientes expresiones descomponiendo raíces sumando y 
restando
• 6 𝑥 − 4 𝑥 − 8 𝑥 =
• 28 − 63 + 112 − 17 7
• 7 5𝑥 − 4 20𝑥 + 3 125𝑥 =
• 216 + 81 − 7 121 =
• 5 24 − 4 600+ 10 54 =
• 2 108 − 5 162 + 3 242 =
Desafío 
personal
Ejercicios propuestos 
• Suma y resta de radicales. No olvidar de descomponer los radicales dados si es posible y 
luego efectúe la adición o sustracción.
Ejercicios propuestos 
• Resolver los siguientes ejercicios y mencionar si perteneces al conjunto de los números racionales 
o irracionales 
• Ejemplo : 
3
4
∙ 5= 0,75 ∙ 2,236067977… es un numero irracional 
• A) 
1
4
∙ 6 =
• B) 
3
4
+ 5 =
• C) 7 + 8 =
• D) 2 3 + 8 =
• E) 1 + 3 1 − 3 =
Recordar :Producto de binomios
𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑
Desafío 
personal