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Clase 2
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo I
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 2
Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Clase 2:
-Propiedades de las Operaciones con Matrices
-Producto de Matrices
-Transpuesta de una Matriz
-Traza de un Matriz
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 2
Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Propiedades de las
Operaciones con Matrices
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Clase 2
Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
TEOREMA (Propiedades de la suma matricial y la multiplicación por escalar)
Sean A,B,C ∈ Mm×n(R) y α, β ∈ R cualesquiera. Entonces
1 A+ B = B + A.
2 (A+ B) + C = A+ (B + C).
3 A+ 0/m×n = A = 0/m×n +A.
4 Existe una matriz D ∈ Mm×n(R) tal que A+D = 0/m×n = D + A.
5 α(A+ B) = αA+ αB.
6 (α+ β)A = αA+ βA.
7 α(βA) = (αβ)A = β(αA).
8 1 · A = A.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Las propiedades 3 y 4, en el teorema anterior, garantizan la existencia de elementos neutro y
opuesto, respectivamente, para la suma matricial, el teorema a continuación garantiza la unicidad
de tales elementos.
TEOREMA (Unicidad del neutro y opuesto aditivos)
1 La matriz nula 0/m×n es la única matriz en Mm×n(R) tal que para cada A ∈ Mm×n(R) se
cumple que A+ 0/m×n = A = 0/m×n +A.
2 Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), existe una única matriz D ∈ Mm×n(R) tal que A+D =
0/m×n = D + A, tal matriz D es llamada matriz opuesta de A y se denota por −A.
TEOREMA (Ley de cancelación)
Sean A,B,C ∈ Mm×n(R) tales que A+ B = A+ C. Entonces B = C.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
TEOREMA (Otras propiedades de la suma matricial y la multiplicación por escalar)
Sean A ∈ Mm×n(R) y α ∈ R cualesquiera. Entonces
1 0 · A = 0/m×n.
2 α 0/m×n = 0/m×n.
3 (−1)A = −A.
4 Si αA = 0/m×n, entonces α = 0 o A = 0/m×n.
DEFINICIÓN (Resta de matrices)
Sean A,B ∈ Mm×n(R). Definiremos A− B = A+ (−B).
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Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
EJEMPLO (Resta de matrices)
Si A =

4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1
 y B =

5 −10 −6
6 −1 11
4 0 5
−2 −6 −1
, entonces
A− B = A+ (−B) =

4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1
+
−

5 −10 −6
6 −1 11
4 0 5
−2 −6 −1


=

4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1
+

−5 10 6
−6 1 −11
−4 0 −5
2 6 1
 =

−1 −2 6
−12 6 −14
2 −1 −3
9 6 2

�
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Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Producto de Matrices
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
A diferencia de las operaciones de suma matricial y multiplicación por escalar, el producto de
matrices no se define de manera tan “natural”, es por ello que, antes de definir el concepto de
producto de matrices, vamos a considerar el siguiente problema que nos permitirá comprender un
poco el concepto en cuestión.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Supongamos que tres empresas, E1, E2 y E3, que compiten entre śı, fabrican cinco tipos de
productos, digamos P1, P2, P3, P4 y P5. El siguiente cuadro refleja la producción mensual de
cada una de las empresas.
Cantidad de unidades producidas de:
P1 P2 P3 P4 P5
Producido por:
E1 1250 800 200 1100 750
E2 1500 650 940 980 500
E3 400 1150 1000 850 1200
¿Cómo interpretar los datos en ésta tabla? Si queremos saber, por ejemplo, cuál es la producción
mensual de la empresa E2, basta mirar, en la tabla, la fila correspondiente a dicha empresa, de lo
cual resulta que la produción mensual de ésta es 1500 unidades del producto P1, 650 unidades
del producto P2, 940 unidades del producto P3, 980 unidades del producto P4 y 500 unidades del
producto P5. ¿Cómo podŕıan interpretarse las columnas de esta tabla?
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Además, para la fabricación de cada uno de los cinco productos, se necesitan cuatro materias
primas distintas, M1, M2, M3 y M4. La tabla siguiente permite saber las cantidades de materia
prima necesarias para producir una unidad de cada uno de estos productos.
Cantidad de unidades de:
M1 M2 M3 M4
Producto final:
P1 2 3,5 1 3,5
P2 3 1,5 3 2,5
P3 1,5 2 2,5 4
P4 0,5 1,5 5 3
P5 4 3 1,5 1,5
En este caso, si queremos producir una unidad del producto P3, por ejemplo, la tabla, más
espećıficamente la fila 3 de dicha tabla, nos dice que vamos a necesitar 1, 5 unidades de la materia
prima M1, 2 unidades de la materia prima M2, 2, 5 unidades de la materia prima M3 y 4 unidades
de la materia prima M4. En este caso ¿cuál seŕıa el significado de las columnas de esta tabla?
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
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Ahora bien, si una empresa, digamos la empresa E3, quiere saber cuál es cantidad ḿınima men-
sual necesaria de alguna de las materias primas, digamos la materia prima M2, para mantener su
producción según la tabla de producción nensual, entonces es necesario hacer el siguiente cálculo
400 · 3, 5 + 1150 · 1, 5 + 1000 · 2 + 850 · 1, 5 + 1200 · 3
El significado de este cálculo es el siguiente, dado que mensualmente la empresa E3 produce 400
unidades del producto P1, según la tabla de producción, y a su vez, según la tabla de materias primas,
cada unidad del producto P1 necesita 3, 5 unidades de la materia prima M2, entonces 400 · 3, 5
representa la cantidad de unidades mensuales de materia prima M2 que se necesita la empresa E3
para la produción mensual de las 400 unidades del producto P1.
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Producto de Matrices
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Continuando de esta manera tenemos que 1150·1, 5 representa la cantidad de unidades mensuales
de M2 necesarias para producir 1150 unidades deo P2 (cantidad mensual de P2 que fabrica la
empresa E3), 1000 · 2 representa la cantidad de unidades mensuales de M2 necesarias para producir
1000 unidades de P3 (cantidad mensual de P3 que fabrica la empresa E3), 850 · 1, 5 representa
la cantidad de unidades mensuales de M2 necesarias para producir 850 unidades de P4 (cantidad
mensual deP4 que fabrica la empresa E3) y 1200·3 representa la cantidad de unidades mensuales de
M2 necesarias para producir 1200 unidades de P5 (cantidad mensual de P5 que fabrica la empresa
E3).
Aśı que 400 · 3, 5 + 1150 · 1, 5 + 1000 · 2 + 850 · 1, 5 + 1200 · 3 representa la cantidad
(ḿınima) mensual de unidades de la materia prima M2 necesarias para que la empresa E3 mantenga
la produccción mensual dada por la tabla de producción mensual, es decir, la empresa E3 necesita
un ḿınimo mensual de 10000 unidades de la materia prima M2 si quiere mantener su producción
mensual acorde a la tabla.
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Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Nótese que para el cálculo anterior fue necesario conocer la producción mensual de la empresa
E3, información que encontramos en la fila 3 de la tabla de producción mensual, fila correspondiente
a tal empresa, y la cantidad de materia prima M2 necesaria para producir una unidad de cada uno
de los productos que fabrica dicha empresa, tal información la obtuvimos de la columna 2 en la tabla
de materias primas, columna correspondiente a M2. Al aplicar este procedimiento a cada una de las
empresas y a cada una de las materias primas, entonces obtenemos la siguiente tabla.
Cantidad de unidades de:
M1 M2 M3 M4
Necesidad de:
E1 8750 9875 10775 11600
E2 8850 11075 11450 14325
E3 10975 10000 12400 12625
A partir de esta tabla anterior, se deduce que la empresa E1 necesita un ḿınimo mensual de 8750
unidades de M1, 9875 unidades de M2, 10775 unidades de M3 y 11600 unidades de M4 para poder
mantener su producción mensual como el dado en la tabla de producción mensual.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Si definimos las matrices
A =

1250 800 200 1100 750
1500 650 940 980 500
400 1150 1000 850 1200
 y B =

2 3,5 1 3,5
3 1,5 3 2,5
1,5 2 2,5 4
0,5 1,5 5 3
4 3 1,5 1,5

entonces estas matrices representan, respectivamente, las tablas de producción mensual de las em-
presas y la de materias prima por producto, es decir, la matriz A representa la producción mensual
de las empresas y la matriz B representa la cantidad de materias prima necesarias para la elaboración
de una unidad de cada producto. Nótese que la matriz A tiene tantas columnas como filas tiene la
matriz B, esto se debe a que las columnas en la matriz A, representan los productos elaborados por
las empresas, que es lo mismo que representan las filas en la matriz B.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Ahora bien, si definimos la matriz
C =

8750 9875 10775 11600
8850 11075 11450 14325
10975 10000 12400 12625

entonces C representa las necesidades mensuales de materias primas para cada una de las empresas.
Es necesario hacer notar que la cantidad de filas de C es la misma cantidad de filas de A y la
cantidad de columnas de C es la misma cantidad de columnas de B, esto se debe a que las filas de
A y C representan las empresas y las columnas de B y C representan las materias primas.
Cabe la siguiente pregunta, en términos matemáticos ¿es posible darle un significado a la ma-
triz C? la respuesta es śı, esta matriz es el producto de las matrices A y B, como veremos a
continuación.
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Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
DEFINICIÓN (Producto de matrices)
Sean A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R) y B = (bjk)n×p ∈ Mn×p(R). Definiremos el producto
matricial de A por B como la matriz C = (cik)m×p ∈ Mm×p(R), denotada por AB o A · B,
tal que para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada k ∈ {1, . . . , p} se tiene que
cik =
n∑
j=1
aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk
OBSERVACIÓN
Al igual que lo observado en los comentarios hechos anteriormente, en referencia al problema previo,
es de hacer notar que, para poder definir el producto AB, la cantidad de columnas de A debe
coincidir con la cantidad de filas de B, además, la matriz resultante AB, tiene tantas filas como
filas tiene la matriz A y tantas columnas como columnas tiene B.
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EJEMPLO (Producto de matrices)
Sean A =
 2 −1 0
0 3 1
 y B =

3 1 0
2 −1 −2
−4 −2 3
. Entonces
AB = A · B =
 6− 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 0
0 + 6− 4 0− 3− 2 0− 6 + 3
 =
 4 3 2
2 −5 −3

�
OBSERVACIÓN
Nótese que, en este caso, el producto BA no está definido, aśı que el producto de matrices no es
conmutativo, más aún, en caso de que ambos productos estén definidos, no necesariamente son del
mismo orden, además, siendo ambos del mismo orden, en cuyo caso A y B deben ser cuadradas y
del mismo orden, las matrices AB y BA no tienen por que ser iguales, cuando esto ocurre, es decir,
cuando AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
TEOREMA (Propiedades del producto de matrices)
Sean A ∈ Mm×n(R); B,C ∈ Mn×p(R); D ∈ Mp×q(R) y α ∈ R. Entonces
1 (AB)D = A(BD)
2 A(B + C) = AB + AC
3 (B + C)D = BD + CD
4 α(AB) = (αA)B = A(αB)
5 ImA = A = AIn
6 B 0/p×q = 0/n×q y 0/m×n B = 0/m×p.
Leer en la gúıa los ejercicios propuestos para esta parte que versan acerca del desarrollo por filas
y columnas del producto de matrices y en los que también se define la potencia de una matriz
cuadrada y se pide demostrar algunas propiedades de ésta.
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
Transposición o
Trasposición de Matrices
Traza de una Matriz
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
DEFINICIÓN (Transpuesta de una matriz)
Sea A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R). Definiremos la transpuesta o traspuesta de A como la matriz
AT = B = (bji)n×m ∈ Mn×m(R) tal que
bji = aij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}
EJEMPLO (Transpuesta)
Sea
A =

−2 5 0 7
3 0 1 −6
−5 12 −2 9

Entonces
A
T
=

−2 3 −5
5 0 12
0 1 −2
7 −6 9

�
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
OBSERVACIÓN
Nótese que las filas de A “pasan” a ser las columnas de AT y las columnas de A “pasan” a ser
las filas de AT , más propiamente, para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}(
A(i)
)T
=
(
A
T
)(i)
y
(
A
(j)
)T
=
(
A
T
)
(j)
TEOREMA (Propiedades de la transpuesta)
Sean A,B ∈ Mm×n(R), C ∈ Mn×p(R) y α ∈ R. Entonces
1
(
AT
)T
= A
2 (A+ B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (AC)T = CTAT
5 (In)
T = In y (0/m×n)T = 0/n×m
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Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
DEFINICIÓN(Matriz simétrica y antisimétrica)
Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que
1 A es simétrica si AT = A.
2 A es antisimétrica si AT = −A.
EJEMPLO (Matrices simétricas y antisimétricas)
1 In es simétrica para todo n ∈ Z+. �
2 0/n es simétrica y antisimétrica para todo n ∈ Z+ ¿existe alguna otra matriz que sea simétrica
y antisimétrica simultáneamente? �
3 Toda matriz diagonal es una matriz simétrica. �
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EJEMPLO (Matriz antisimétrica)
La matriz
A =

0 5 7 −6
−5 0 −4 8
−7 4 0 12
6 −8 −12 0

es antisimétrica pues
A
T
=

0 −5 −7 6
5 0 4 −8
7 −4 0 −12
−6 8 12 0
 = −A
�
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EJEMPLO (Matriz simétrica)
La matriz
A =

5 −9 3 0
−9 2 −1 13
3 −1 0 7
0 13 7 −3

es simétrica ya que
A
T
=

5 −9 3 0
−9 2 −1 13
3 −1 0 7
0 13 7 −3
 = A
�
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Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
TEOREMA (Simetŕıa y antisimetŕıa)
Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces
1 A es simétrica si y sólo si aij = aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.
2 A es antisimétrica si y sólo si aij = −aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.
3 Si A es antisimétrica, entonces aii = 0 para cualquiera i ∈ {1, . . . , n}.
Demostración.
¡Ejercicio!
DEFINICIÓN (Traza de un matriz)
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R), se define la traza de A como el número real tr(A) =
n∑
i=1
aii.
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Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
EJEMPLO (Traza de una matriz)
Dada la matriz
A =

12 −6 1 11
−7 −3 4 1
2 0 −10 17
15 −4 9 8

Entonces
tr(A) = 12 + (−3) + (−10) + 8 = 7
�
OBSERVACIÓN
En virtud del teorema previo a la definición de traza, se tiene que si A ∈ Mn×n(R) es un matriz
antisimétrica, entonces tr(A) = 0 ¿será cierto que si tr(A) = 0, entonces A es antisimétrica?
(¿Por qué?).
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Propiedades de las Operaciones con Matrices
Producto de Matrices
Transposición o Trasposición de Matrices. Traza de una Matriz
TEOREMA (Propiedades de la traza)
Sean A,B ∈ Mn×n(R), C ∈ Mm×n(R) y D ∈ Mn×m(R). Entonces
1 tr(A+ B) = tr(A) + tr(B) para cualesquiera A,B ∈ Mn×n(R).
2 tr(αA) = α tr(A) para cualesquiera α ∈ R y A ∈ Mn×n(R).
3 tr(CD) =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbji = tr(DC).
4 tr
(
AT
)
= tr(A).
Demostración.
¡Ejercicio!
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