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Clase 5
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo I
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Clase 5:
-Matriz Inversa
-Propiedades de la Inversa de una Matriz
-Cálculo de la Inversa de una Matriz
-Resolución de sistemas del tipo AX = B
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Inversa de una Matriz
Cuadrada y sus
Propiedades
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
En la presente sección presentaremos un breve estudio sobre las matrices invertibles y sus aplica-
ciones en la resolución de los sistemas de ecuaciones, cabe destacar que se pueden definir inversas
laterales de matrices no cuadradas, sin embargo, sólo estudiaremos el caso de matrices cuadradas.
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Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
DEFINICIÓN (Inversa de una matriz)
Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que A es invertible o inversible si existe una matriz B ∈ Mn×n(R)
tal que
AB = In = BA
Cualquier matriz B que satisfaga las igualdades anteriores es llamada inversa de A.
EJEMPLO (Inversa de una matriz)
Si A =
 3 −2
6 −5
, entonces B =
 53 − 23
2 −1
 es una inversa de A ya que
AB =
 3 −2
6 −5
 53 − 23
2 −1
 =
 5− 4 −2 + 2
10− 10 −4 + 5
 =
 1 0
0 1
 = I2
BA =
 53 − 23
2 −1
 3 −2
6 −5
 =
 5− 4 − 103 + 103
6− 6 −4 + 5
 =
 1 0
0 1
 = I2
�
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Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
TEOREMA (Unicidad de la inversa)
Si A ∈ Mn×n(R) es invertible, entonces A tiene sólo una inversa, es decir, existe una única matriz
B ∈ Mn×n(R) tal que AB = In = BA, tal matriz inversa es denotada por A−1.
TEOREMA (Propiedades da la inversa)
Sean A,B ∈ Mn×n(R) dos matrices invertibles y α ∈ R con α 6= 0. Entonces
1 A−1 es invertible y
(
A−1
)−1
= A (propiedad involutiva de la inversa).
2 AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1 (inversa del producto matricial).
3 αA es invertible y (αA)−1 = α−1A−1 (inversa del múltiplo escalar).
4 AT es invertible y
(
AT
)−1
=
(
A−1
)T
(inversa de la transpuesta).
TEOREMA (Inversibilidad de las matrices elementales)
Toda matriz elemental es invertible y su inversa es también una matriz elemental del mismo tipo
que la original.
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
El siguiente teorema nos será muy útil a la hora de saber si una matriz es o no invertible.
TEOREMA (Algunas equivalencias a la inversibilidad de una matriz)
Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
1 A es invertible.
2 El sistema Ax = b tiene una única solución para cada b ∈ Mn×1(R).
3 El sistema homogéneo Ax = 0/n×1 tiene como única solución la trivial.
4 A es equivalente por filas a In.
5 Existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) tales que A = E1E2 · · ·Er.
TEOREMA
Sean A,B ∈ Mn×n(R). Si AB = In, entonces BA = In; y en consecuencia A−1 = B.
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Calculo de la Inversa de
una Matriz
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
EJEMPLO (Cálculo de la inversa)
En cada uno de los siguientes casos decidir si A es o no invertible, en caso afirmativo, calcular A−1.
1 A =
 3 −2
6 −5
 2 A =
 3 −2
6 −4

.
Solución.
1 Supongamos que A es invertible y sea
B =
 x y
z w

tal que AB = I2, aśı que
A
 x
z
 =
 1
0
 y A
 y
w
 =
 0
1

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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Como la matriz de ambos sistemas es la misma, a saber A, podemos resolverlos de manera
simultánea considerando la siguiente matriz (dos veces) ampliada
[A|I2] =
 3 −2 1 0
6 −5 0 1

Al calcular la FERF de esta matriz, las tercera y cuarta columnas nos darán, respectivamente, las
soluciones del primer y segundo sistema, si existen, que a su vez nos darán, respectivamente, las
primera y segunda columnas de B, si existe. Calculemos entonces la FERF de esta matriz.
[A|I2] =
 3 −2 1 0
6 −5 0 1
F1 → 13F1→
 1 − 23 13 0
6 −5 0 1

F2 → F2 − 6F1→
 1 − 23 13 0
0 −1 −2 1
F2 → −F2→
 1 − 23 13 0
0 1 2 −1

F1 → F1 + 23F2→
 1 0 53 − 23
0 1 2 −1

Por lo tanto
B =
 53 − 23
2 −1

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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
En consecuencia A es invertible y
A
−1
= B =
 2 1
3
2 1

Comparar este resultado con la matriz del ejemplo anterior.
2 Como en el caso anterior, supongamos que existe
B =
 x y
z w

tal que AB = I2, al igual que antes, hallemos la FERF de la matriz [A|I2].
[A|I2] =
 3 −2 1 0
6 −4 0 1
F1 → 13F1→
 1 − 23 13 0
6 −4 0 1

F2 → F2 − 6F1→
 1 − 23 13 0
0 0 −2 1

La última fila de esta última matriz equivale a las ecuaciones
0x+ 0z = −2 0y + 0w = 1
Por lo tanto, no existe matriz B tal que AB = I2, en consecuencia, A no es invertible.
�
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
El procedimiento en estos ejemplos puede ser generalizado y aśı obtener un método general para
decidir si una matriz es o no invertible y, en caso de serlo, nos proporciona la inversa. Veamos en
un ejemplo, no tan sencillo, el uso de este método.
EJEMPLO (Cálculo de la inversa)
Decidir si la matriz
A =

2 0 3 1
−1 1 1 3
1 −1 2 −2
0 1 −1 2

es invertible o no, en caso afirmativo, calcular A−1.
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Solución.
[A|I4] =

2 0 3 1 1 0 0 0
−1 1 1 3 0 1 0 0
1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 1 −1 2 0 0 0 1

F1 ↔ F3→

1 −1 2 −2 0 0 1 0
−1 1 1 3 0 1 0 0
2 0 3 1 1 0 0 0
0 1 −1 2 0 0 0 1

F2 → F2 + F1→
F3 → F3 − 2F1

1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 0 3 1 0 1 1 0
0 2 −1 5 1 0 −2 0
0 1 −1 2 0 0 0 1

F2 ↔ F4→

1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 1 −1 2 0 0 0 1
0 2 −1 5 1 0 −2 0
0 0 3 1 0 1 1 0

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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
F1 → F1 + F2→
F3 → F3 + 2F2

1 0 1 0 0 0 1 1
0 1 −12 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 3 1 0 1 1 0

F1 → F1 − F3→
F2 → F2 + F3
F4 → F4 − 3F3

1 0 0 −1 −1 0 3 3
0 1 0 3 1 0 −2 −1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 0 −2 −3 1 7 6

F4 → − 12F4→

1 0 0 −1 −1 0 3 3
0 1 0 3 1 0 −2 −1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 0 1 32 −
1
2 −
7
2 −3

F1 → F1 + F4→
F2 → F2 − 3F4
F3 → F3 − F4

1 0 0 0 12 −
1
2 −
1
2 0
0 1 0 0 − 72
3
2
17
2 8
0 0 1 0 − 12
1
2
3
2 1
0 0 0 1 32 −
1
2 −
7
2 −3

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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Luego A es invertible y
A
−1
=

1
2 −
1
2 −
1
2 0
− 72
3
2
17
2 8
− 12
1
2
3
2 1
3
2 −
1
2 −
7
2 −3
 =
1
2

1 −1 −1 0
−7 3 17 16
−1 1 3 2
3 −1 −7 −6

�
TEOREMA
Sean A,B ∈ Mn×n(R). Si AB es invertible, entonces A y B también son invertibles.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Resolución de Sistemas
del tipo AX = B
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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
El método usado para calcular la inversa de una matriz cuadrada, se puede usar para resolver un
problema más general. Supongamos que A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mm×p(R) ¿es posible hallar una
matriz X ∈ Mn×p(R) tal que AX = B? tal problema genera p sistemas de ecuaciones lineales con
m ecuaciones y n incógnitas, como los estudiados en la sección referente a los sistemas lineales, a
saber, AX(k) = B(k) con k ∈ {1, . . . , p}, los cuales tienen en común la matriz del sistema que es
A. Como sabemos, para poder decidir sobre la consistencia o no de cada uno de estos sistemas, basta
con calcular la FERF de cada una de las matrices
[
A|B(k)
]
para cada k ∈ {1, . . . , p}, por lo cual,
como hicimos nantes, basta con calcular la FERF de la matriz [A|B] y aśı estaŕıamos resolviendo,
de manera simultánea, los p sistemas o bien obtendŕıamos que la respuesta a la pregunta inicial es
no, es decir, al menos uno de los sistemas relacionados es inconsistente. Cuando el problema inicial
tiene solución, ésta podŕıa ser única o bien podŕıamos concluir que el problema tiene más de una
solución para X. Nótese que en el caso de que m = n = p y de que B = In, entonces estamos
en presencia del problema del cálculo de la inversa de la matriz A, el cual ya fue estudiado antes,
pero si m = n y A es invertible, entonces la única solución del problema es X = A−1B, es decir,
poddŕıamos calcular A−1B sin necesidad de calcular A−1.
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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Veamos un par de ejemplos que ilustran lo que hemos discutido previamente.
EJEMPLO (Solución de un sistema AX = B)
Dadas las matrices
A =

3 1 1 2
−3 −7 −2 0
2 2 1 1
 y B =

−2 0
1 3
4 −1

Decida si existe una matriz X ∈ M4×3(R) tal que AX = B, en caso afirmativo calcule X ¿es X
única?
Solución.
Según lo comentado antes del ejercicio, basta conseguir la FERF de la matriz
[A|B] =

3 1 1 2 −2 0
−3 −7 −2 0 1 3
2 2 1 1 4 −1

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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Al hacer algunos cálculos, obtenemos que la FERF de esta matriz es

1 0 0 12 −
27
2 1
0 1 0 − 12 −
15
2 0
0 0 1 1 46 −3

Como vemos, la solución existe pero no es única, si X = (xij)4×2, entonces
x1,1 = − 12x4,1 −
27
2
x2,1 =
1
2x4,1 −
15
2
x3,1 = −x4,1 +46
x4,1 ∈ R
y

x1,2 = − 12x4,2 +1
x2,2 =
1
2x4,2
x3,2 = −x4,2 −3
x4,2 ∈ R
De donde, si hacemos x4,1 = α y x4,2 = β, se tiene que
X =

x1,1 x1,2
x2,1 x2,2
x3,1 x3,2
x4,1 x4,2
 =

− 12α−
27
2 −
1
2β + 1
1
2α−
15
2
1
2β
−α+ 46 −β − 3
α β

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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
X = α

− 12 0
1
2 0
−1 0
1 0
+ β

0 − 12
0 12
0 −1
0 1
+

− 272 1
− 152 0
46 −3
0 0
 , con α, β ∈ R
�
En este ejemplo, puede comprobarse que las matrices
X1 =

− 12 0
1
2 0
−1 0
1 0
 y X2 =

0 − 12
0 12
0 −1
0 1

son soluciones de la ecuación matricial homogénea AX = 0/3×2, más aún, toda solución de la
ecuación homogénea AX = 0/3×2 es de la forma
XH = αX1 + βX2 = α

− 12 0
1
2 0
−1 0
1 0
+ β

0 − 12
0 12
0 −1
0 1

con α, β ∈ R.
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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Además, la matriz
XP =

− 272 1
− 152 0
46 −3
0 0

es solución (particular) de la ecuación matricial AX = B. Por lo tanto, la solución de la ecuación
matricial dada viene dada por XG = XH +XP .
En general, dadas matrices A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mm×p(R), al igual que en el caso de una
ecuación matricial Ax = b, donde x y b son matrices columna de órdenes adecuados, se puede
probar que si XP es una solución particular de la ecuación AX = B, entonces, para cualquier
solución XG de tal ecuación, existe una solución XH , de la ecuación matricial homogénea asociada
AX = 0/m×p, tal que XG = XH +XP .
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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
EJEMPLO (Solución de un sistema AX = B)
Idem para las matrices
A =

1 −1 −1 4
2 −1 −1 6
2 1 2 −3
−4 3 3 −13
 y B =

0 1 −2
1 −1 0
2 −1 −1
0 2 −1

Solución.
Al igual que en el ejercicio precedente, calculemos la FERF de la matriz
[A|B] =

1 −1 −1 4 0 1 −2
2 −1 −1 6 1 −1 0
2 1 2 −3 2 −1 −1
−4 3 3 −13 0 2 −1

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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
Hagamos los cálculos necesarios
[A|B] =

1 −1 −1 4 0 1 −2
2 −1 −1 6 1 −1 0
2 1 2 −3 2 −1 −1
−4 3 3 −13 0 2 −1

F2 → F2 − 2F1→
F3 → F3 − 2F1
F4 → F4 + 4F1

1 −1 −1 4 0 1 −2
0 1 1 −2 1 −3 4
0 3 4 −11 2 −3 3
0 −1 −1 3 0 6 −9

F1 → F1 + F2→
F3 → F3 − 3F2
F4 → F4 + F2

1 0 0 2 1 −2 2
0 1 1 −2 1 −3 4
0 0 1 −5 −1 6 −9
0 0 0 1 1 3 −5

F2 → F2 − F3→

1 0 0 2 1 −2 2
0 1 0 3 2 −9 13
0 0 1 −5 −1 6 −9
0 0 0 1 1 3 −5

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Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
F1 → F1 − 2F4→
F2 → F2 − 3F4
F3 → F3 + 5F4

1 0 0 0 −1 −8 12
0 1 0 0 −1 −18 28
0 0 1 0 4 21 −34
0 0 0 1 1 3 −5

Por lo tanto, śı existe X tal que AX = B y ésta es
X =

−1 −8 12
−1 −18 28
4 21 −34
1 3 −5

además, se concluye que A es invertible y que X = A−1B, es decir, el problema tiene solución
única.
�
En relación al ejemplo precedente, sean las matrices
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F2 → F2 − 2F1→

1 0 0 0
−2 1 0 0
0 0 1 0
00 0 1
 = E1
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Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F3 → F3 − 2F1→

1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
0 0 0 1
 = E2
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F4 → F4 + 4F1→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
4 0 0 1
 = E3
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F1 → F1 + F2→

1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 = E4
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F3 → F3 − 3F2→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 −3 1 0
0 0 0 1
 = E5
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F4 → F4 + F2→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
 = E6
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F2 → F2 − F3→

1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 = E7
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F1 → F1 − 2F4→

1 0 0 −2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 = E8
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F2 → F2 − 3F4→

1 0 0 0
0 1 0 −3
0 0 1 0
0 0 0 1
 = E9
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Clase 5
Inversa de una Matriz Cuadrada y sus Propiedades
Cálculo de la Inversa de una Matriz
Resolución de Sistemas del tipo AX = B
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F3 → F3 + 5F4→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 5
0 0 0 1
 = E10
Entonces I4 = E10E9E8E7E6E5E4E3E2E1A (¿por que?), de donde se obtiene que A
−1 =
E10E9E8E7E6E5E4E3E2E1 (¡verif́ıquelo!).
El lector puede notar que estas matrices (elementales) surgen de las OEF que le fueron aplicadas
a la matriz A para obtener I4, además, también puede verificar que E1, E2 y E3 conmutan entre
śı y surgen de las tres primeras OEF que le fueron aplicadas a A; E4, E5 y E6 conmutan entre śı
y surgen de las tres siguientes OEF que le fueron aplicadas a A; E7 surge de la siguiente OEF que
le fue aplicada a A y finalmente E8, E9 y E10 conmutan entre śı y surgen de las últimas tres OEF
que le fueron aplicadas a A. Este procedimiento nos da una alternativa para calcular la inversa de
una matriz. Aplique este procedimiento para obterner A−1 en el caso de la matriz A del ejemplo
previo de cálculo de la inversa.
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