Conceptos de matrices: adjunta, inversa y transpuesta

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AlGebRA LinEaL
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
-UACBI-
Ing.Química 
● Docente: Dra. Teresa de Jesús Ruiz Sánchez
 Chaires Fránquez Frida Nirvana 
Mora García José Fernando 
Madrigal Camacho Carlos Jesús
Martínez Galván Mariana Itzel 
Palomares de la Rosa Litzy Lisbeth
 
ConCEpTos DE maTrICes
adJUnTa, InVerSA y TraNsPUesTA
4.6
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ObJetIVo
Tema 4.6. El alumno conocerá y obtendrá las matrices adjuntas , 
inversas y transpuestas.
Matriz adjunta
Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j de A 
por ai,j , con esta notación, si la matriz A es de dimensión 2x2, tiene la forma:
La matriz adjunta de A, Adj(A), tiene la misma dimensión que A y si denotamos por adi,j 
al elemento de la fila i y columna j de Adj(A), entonces
donde Ai,j es la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y columna j de A.
En pocas palabras, Adj(A) es la matriz resultante de sustituir cada elemento de la 
matriz cuadrada A por su adjunto.
● Para obtener la adjunta, la matriz tiene que ser cuadrada.
Fuente : https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html
Ejemplo del cálculo de la matriz adjunta:
La matriz adjunta tendrá también dimensión 2x2, Calculamos sus cuatro elementos
ad1,1 = (-1)
1+1 • │A1,1│ ad1,2 = (-1)
1+2 • │A1,2│ ad2,1 = (-1)
2+1 • │A2,1│ ad2,2 = (-1)
2+2 • │A2,2│
ad1,1 = (-1)
2 • │3│ ad1,2 = (-1)
3 • │-2│ ad2,1 = (-1)
3 • │2│ ad2,2 = (-1)
4 • │1│
ad1,1 = 3 ad1,2 = 2 ad2,1 = -2 ad2,2 = 1
Por tanto, la matriz adjunta de A es: 
De una matriz :
Adjunta:Matriz adjunta
https://youtu.be/l51Epr3SY1Y 
Vídeo de apoyo
https://youtu.be/l51Epr3SY1Y
https://youtu.be/l51Epr3SY1Y
EJERCICIOS: Cálculo de la matriz adjunta (TAREA 11A)
A= 
2 1 2
1 1 1
2 1 2
B= 
0 1 0
1 5 1
0 1 0
C= 
 E= 
6 -3
-5 2
D= 
1 3
2 1
-3 2 4
1 -1 2
-2 1 3
Matriz transpuesta
Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el 
cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.
Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo 
indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz 
original. Si añadimos el superíndice T, deberemos tener presente que estamos 
trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente. 
Fuente : https://economipedia.com/definiciones/matriz-traspuesta.html
Propiedades de la matriz transpuesta
 ● (AT)T = A
● (A + B)T= AT + BT
● (AB)T = BT * AT
● (k · A)T = k · AT
Por otra parte:
Si AT = A → A se denomina Matriz Simétrica
Si AT = - A → A se denomina Matriz Antisimétrica
Fuente: https://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-traspuesta.htm
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = 
(cij)ij entonces por definición:
por trasposición queda:
que coincide con la definición de producto para BtAt 
Comprobación de la propiedad : (AB)T = BT * AT
 
Se multiplica la Matriz A por la matriz B:
A= B=
 
Al multiplicarlas, la matriz resultante es:
 C=
 
Y la transpuesta de esta matriz es:
 Ct=
 
Ejemplo: Comprobación de la propiedad
Se transponen las matrices A y B
 At= Bt=
 
Al multiplicar B*A, la matriz resultante es:
 C=
 
 Siendo esta igual a la matriz Ct es como 
 se comprueba esta propiedad.
 
Ejemplos:
A= At= 
2 -5 0
3 -1 3
-2 0 1
2 3 -2
-5 -1 0
0 3 1
Traspuesta: Matriz traspuesta
https://youtu.be/aTsgBk34zyY 
Vídeo de apoyo
https://youtu.be/aTsgBk34zyY
https://youtu.be/aTsgBk34zyY
Ejercicios del cálculo matriz transpuesta(Tarea 11B)
Desafío 3
A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
C = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B = 
D= 
-1 0 5
8 2 3
1 2 3
11 12 13
E = 
0 1 4
-2 8 3
15 -4 0
Matriz inversa
una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no 
degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada 
matriz inversa de A y denotada por A − 1 si A ⋅ A − 1 = A− 1 ⋅ A = In , donde In es 
la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de 
matrices usual.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una 
matriz dada. 
● La matriz tiene que ser una matriz cuadrada y el determinante 
distinto de cero.
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el 
método por cálculo de determinantes.
Fuente : https://economipedia.com/definiciones/matriz-inversa-de-orden-2.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_matrices
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_matrices
Las matrices con inversa se denominan regulares o invertibles. En caso 
contrario, se denominan singulares. 
Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo.
Propiedades de la matriz inversa
https://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_si
https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
Se invierten las matrices A y B
 A-1= B-1=
 
Al multiplicar B*A, la matriz resultante es:
 C=
 
 Siendo esta igual a la matriz Ct es como 
 se comprueba esta propiedad.
 
Ejemplo: Comprobación de (AB)-1 = B-1 * A-1
 Se multiplica la Matriz A por la matriz B:
A= B=
 
Al multiplicarlas, la matriz resultante es:
 C=
Y la inversa de esta matriz es:
 
 C-1=
 
El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente 
resultado, donde:
 A-1 = Matriz inversa 
 │A│= Determinante de la matriz
 A* = Matriz adjunta
 (A*)t= Matriz traspuesta a la adjunta
De manera textual, la matriz inversa se calcula con la multiplicación del 
inverso del determinante por la matriz adjunta traspuesta.
Cálculo por determinantes
Fuente: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/determinantes/matriz-inversa.html
Cálculo por determinantes, paso por paso
1. Calculamos el determinante de la matriz.
En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
2. Hallamos la matriz adjunta
Es aquella en la 
que cada elemento se 
sustituye por su adjunto.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/determinantes/matriz-inversa.html
 3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
 4. La matriz inversa es igual al inverso delvalor de 
su determinante por la matriz traspuesta de la 
adjunta.
Inversa: Matriz inversa | Ejemplo 1
https://youtu.be/ZDiZUrfG_MI 
Vídeo de apoyo
https://youtu.be/ZDiZUrfG_MI
https://youtu.be/ZDiZUrfG_MI
 A= 
2 3 1
1 -1 2
-1 1 2
B= 
0 0 4
0 3 0
2 0 0
C= 
4 -2 1
-2 2 -2
1 -2 4
D= 
1 5 1
3 2 -3
1 -6 4
E= 
5 0 0
0 0 -9
1 -5 10
Ejercicios matriz inversa por determinantes (Tarea 11C)
1. Escribimos una 
matriz doble que 
contiene a la matriz 
A en un lado y a la 
matriz identidad en 
el otro.
Cálculo por método de Gauss
2. Realizamos operaciones 
elementales fila para 
transformar la matriz A en la 
identidad. En el ejemplo, es 
suficiente restar la fila 2 a la 
fila 1:.
3. Al terminar, por 
lo que dijimos 
anteriormente, la 
matriz B del lado 
derecho es, 
precisamente, la 
inversa de A: 
B=A−1
Inversa: Matriz inversa método de Gauss
https://youtu.be/lrh5MKNZihQ 
Vídeo de apoyo
https://youtu.be/lrh5MKNZihQ
https://youtu.be/lrh5MKNZihQ
 A= 
-5 0 0
0 3 0
0 0 2
B= 
0 0 4
0 3 0
2 0 0
C= 
2 3 1
1 -1 2
0 1 2
Ejercicios matriz inversa por Gauss (Tarea 11D)
8 4
3 -5
D= 
E= 
10 20
15 10
soLUciÓN de Un SisTEma DE 
ecUaCIonES liNEalES 
siMUlTánEaS cON la AyuDA de LA 
maTrIZ inVErSa 
(y=A^1X)
4.7
ObJetIVo
Tema 4.7. El alumno conocerá y aplicará el método de solución de 
ecuaciones lineales usando la matriz inversa.
Introducción
Existen multitud de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 
Los más utilizados en el álgebra matricial son la eliminación de Gauss y de 
Gauss-Jordan y la regla de Cramer. En los dos primeros, tenemos que 
realizar operaciones elementales fila. En el tercero, tenemos que calcular 
algunos determinantes.
Otro método para resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado 
(con una única solución) es multiplicar la matriz de coeficientes por su 
inversa.
https://www.matesfacil.com/matrices/metodo-matriz-inversa-resolver-sistemas-ecuaciones-lineales-ejemplos.html
https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html
Supongamos que tenemos un sistema de n ecuaciones lineales con n 
incógnitas. Podemos representar el sistema de forma matricial como
Ax = b
Donde:
● La matriz A es de dimensión nxn y contiene en cada fila los coeficientes de 
las incógnitas de cada ecuación. 
● La matriz x es de dimensión nx1 (una columna) y contiene las n incógnitas 
del sistema. 
● La matriz b es de dimensión nx1 y contiene los términos independientes de 
las ecuaciones.
 
Si el sistema tiene una única solución (es compatible determinado), entonces la 
matriz A es regular (determinante distinto de 0) y, por tanto, existe su matriz inversa 
A−1 
Entonces, podemos multiplicar toda la ecuación por la inversa de A-1
Es decir, si la matriz A es regular, entonces la matriz columna resultante del 
producto matricial A−1⋅b contiene la solución del sistema Ax=b. 
Este método nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales calculando 
la matriz inversa y multiplicando por la matriz de términos independientes.
Observaciones... 
Que hay que hacer antes de aplicar este método:
● El método sólo puede aplicarse si se puede calcular la matriz inversa de la matriz 
de coeficientes. Una matriz es invertible si es cuadrada y su determinante es 
distinto de cero.
● El método de la matriz inversa resulta muy útil si tenemos que resolver varios 
sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma matriz de coeficientes 
pero distintos términos independientes. 
● Es posible resolver un sistema compatible determinado con más ecuaciones que 
incógnitas mediante este método. Para aplicarlo primero hay que identificar las 
ecuaciones que son linealmente dependientes de las demás. Si las eliminamos, 
nos quedamos con un sistema compatible con determinante no nulo.
Tipo de matrices: SOLUCIÓN SISTEMAS LINEALES POR MATRIZ 
INVERSA
https://youtu.be/wUqLmHNfwOw 
Vídeo de apoyo
https://youtu.be/wUqLmHNfwOw
https://youtu.be/wUqLmHNfwOw
https://youtu.be/wUqLmHNfwOw
Resolveremos el siguiente ejemplo: Primero, expresamos las ecuaciones de forma 
matricial
x + 2y + 3z =7 Ahora, calculamos su determinante. 
x - 3y + 2z = 5 =
 x + y + z = 3
 ¿Comó se resuelve esta ecuación? - Ejemplo
1 2 3
1 -3 2
1 1 1
= 1 * (-5) -2 (-1) + 3 * 4 = 9 , l A l = 9 
Como el determinante es distinto de cero y el rango de A es 3, que coincide con el de 
la matriz ampliada, por lo que el sistema es compatible. Estamos en las condiciones 
de aplicar el método de la matriz inversa.
 Ejemplo
 
Podemos calcular la matriz inversa mediante la 
fórmula (vista anteriormente):
Calculamos la adjunta de la matriz :
 
 
 adj (A) = 
1 2 3
1 -3 2
1 1 1
Ahora multiplicamos esta matriz por el inverso de su determinante, en este caso :
Por último, esta matriz inversa se multiplica por la matriz que forma los términos 
independientes de las ecuaciones originales
 
 x = 1, y = 0, z = 2
La matriz de coeficientes del sistema es:
Es una matriz regular porque su determinante es 7. Su matriz inversa es:
 
 Ejemplo 2 : Sistema de 2 ecuaciones 
 con 2 incógnitas (2x2)
Calculamos la solución del sistema multiplicando las 
matrices A−1 y b:
 
Por tanto, la solución del sistema es:
 
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa y método de 
Gauss:
A) B)
C)
D)
E)
Ejercicios (Tarea 11E)
¡GraCIas!
¿Tienes alguna duda?
Es momento de hacerla. 
Quedamos a tus ordenes en el grupo 
de whatsapp.