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Clase 7
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo II
Determinantes y Regla de Cramer
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 7
Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Clase 7:
-Propiedades de los Determinates
-Matriz Adjunta y Regla de Cramer
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 7
Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Propiedades de los
Determinantes
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 7
Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Los teoremas que enunciaremos a continuación, nos presentan las propiedades básicas del determi-
nante, estas propiedades nos permitirán calcular el determinante de una matriz sin hacer demasiados
cálculos. Los enunciados de estas propiedades se darán sólo para filas, sin embargo, en virtud del teo-
rema del determinante de la transpuesta, se pueden enunciar propiedades análogas para columnas.
Para una demostración de estas propiedades, remitirse a la gúıa de clases.
TEOREMA (Determinante de una matriz con una fila nula)
Sea A ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que A(s) = 0/1×n, entonces det(A) = 0, es
decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.
TEOREMA (Determinante del múltiplo escalar (este teorema esta relacionado con las
OEF1))
Sean A,B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que B(s) = αA(s) y B(i) = A(i)
para i 6= s, entonces det(B) = α det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A por un escalar α,
entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A multiplicado por α.
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Clase 7
Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
TEOREMA
Sean A,B,C ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que C(s) = A(s) + B(s) y C(i) =
B(i) = A(i) para i 6= s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si tenemos
tres matrices A,B,C cuyas filas son idénticas excepto la fila s, y que la fila s de C es igual a la
suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a la suma del
determinante de A con el determinante de B.
TEOREMA (Determinante de matrices con filas intercambiadas (este teorema está
relacionado con las OEF3))
Sean A,B ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t, B(s) = A(t), B(t) = A(s)
y B(i) = A(i) para i 6= s e i 6= t, entonces det(B) = − det(A), en otras palabras, si intercam-
biamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de
A multiplicado por −1.
Demostración.
La demostración escapa al obejtivo del curso, para una demostración puede remitirse al apéndice de
demostraciones de la gúıa de clases.
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
TEOREMA (Determinante de matrices con filas iguales)
Sea A ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y A(s) = A(t), entonces
det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.
TEOREMA (Determinante de una matriz con una fila múltiplo escalar de alguna otra)
Sean A ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y A(s) = αA(t),
entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, su
determinante es igual a cero.
TEOREMA (Este teorema esta relacionado con las OEF2)
Sean A,B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t, B(s) =
A(s) + αA(t) y B(i) = A(i) para i 6= s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si a
una fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la matriz
resultante es igual al determinante de A.
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
El siguiente ejemplo nos da un método para calcular el determinante de una matriz A haciendo
uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, más espećıficamente, usaremos los
teoremas realcionados con las OEF. Como veremos, el cálculo resulta mucho más sencillo que al
usar la definición. Además, como se dijo antes, usaremos tanto OEF como OEC para el cálculo, a
éstas últimas operaciones las indicaremos de manera análoga a las OEF, salvo que en lugar de usar
F usaremos C.
EJEMPLO
Calcular el determinante de la matriz
A =

6 −1 2 13 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 −2 4 1 −3

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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Solución.
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 −1 2 13 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 −2 4 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 −1 2 10 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 0 0
7 1 3 15 3
0 −2 4 −5 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
 C4 → C4 + 3C2
por teorema realcionado con las OEC2

= −3(−1)3+2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 2 10 2
−1 −1 −3 −1
7 3 15 3
0 4 −5 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
 desarrollando el determinante
mediante la tercera fila

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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
det(A) = 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −4 −8 −4
−1 −1 −3 −1
0 −4 −6 −4
0 4 −5 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F1 → F1 + 6F2
F3 → F3 + 7F2
por teorema relacionado con las OEF2

= 3(−1)(−1)2+1
∣∣∣∣∣∣∣∣
−4 −8 −4
−4 −6 −4
4 −5 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣
 desarrollando el determinante
mediante la primera columna

= 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −13 −7
0 −11 −7
4 −5 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣

F1 → F1 + F3
F2 → F2 + F3
por teorema relacionado con las OEF2

= 3 · 4(−1)3+1
∣∣∣∣∣∣ −13 −7−11 −7
∣∣∣∣∣∣
 desarrollando el determinante
mediante la primera columna

= 12(−13(−7)− (−7)(−11)) = 12 · 14 = 168
Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos métodos. �
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
TEOREMA
Sea A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R). Entonces para cualesquiera s, t ∈ {1, . . . , n} con s 6= t se
tiene que
n∑
k=1
askC
A
tk = 0 y
n∑
k=1
aksC
A
kt = 0
TEOREMA
Si E ∈ Mn×n(R) es una matriz elemental, entonces para cada A ∈ Mn×n(R) se tiene que
det(EA) = det(E) det(A). Además, det(E) 6= 0.
COROLARIO
Sean E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) matrices elementales. Entonces, para cada A ∈ Mn×n(R), se
tiene que
det(E1E2 · · ·ErA) = det(E1) det(E2) · · · det(Er) det(A).
Demostración.
¡Ejercicio!
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
TEOREMA
Si A ∈ Mn×n(R) es una matriz ERF, entonces det(A) 6= 0 si y sólo si A = In.
TEOREMA (Determinante e inversibilidad)
Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces A es invertible si y sólo si det(A) 6= 0.
TEOREMA (Determinante del producto)
Sean A,B ∈ Mn×n(R). Entonces det(AB) = det(A) det(B).
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Matriz Adjunta y Regla
de Cramer
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
DEFINICIÓN (Matriz adjunta)
Sea A ∈ Mn×n(R). Se define la matriz adjunta de A como la matriz adj(A) ∈
Mn×n(R) cuya ij-ésima componente es el ji-ésimo cofactor de A para cualesquiera i, j ∈
{1, . . . , n}, es decir, si adj(A) = (bij)n×n, entonces bij = CAji para cualesquiera
i, j ∈ {1, . . . , n}.
OBSERVACIÓN
Si C = (CAij)n×n, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya
ij-ésima componente es el ij-ésimo cofactor de A paracualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n},
entonces adj(A) = CT .
EJEMPLO (Matriz adjunta)
Calcular la adjunta de
A =

2 −1 3
1 0 2
4 −1 7

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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Solución. Necesitamos calcular cada uno de los cofactores de A. Veamos
C
A
1,1 = (−1)
1+1
∣∣∣∣∣∣ 0 2−1 7
∣∣∣∣∣∣ = 2; CA1,2 = (−1)1+2
∣∣∣∣∣∣ 1 24 7
∣∣∣∣∣∣ = 1;
C
A
1,3 = (−1)
1+3
∣∣∣∣∣∣ 1 04 −1
∣∣∣∣∣∣ = −1; CA2,1 = (−1)2+1
∣∣∣∣∣∣ −1 3−1 7
∣∣∣∣∣∣ = 4;
C
A
2,2 = (−1)
2+2
∣∣∣∣∣∣ 2 34 7
∣∣∣∣∣∣ = 2; CA2,3 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣∣ 2 −14 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2;
C
A
3,1 = (−1)
3+1
∣∣∣∣∣∣ −1 30 2
∣∣∣∣∣∣ = −2; CA3,2 = (−1)3+2
∣∣∣∣∣∣ 2 31 2
∣∣∣∣∣∣ = −1;
C
A
3,3 = (−1)
3+3
∣∣∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣∣∣ = 1;
Aśı que
adj(A) =

CA1,1 C
A
2,1 C
A
3,1
CA1,2 C
A
2,2 C
A
3,2
CA1,3 C
A
2,3 C
A
3,3
 =

2 4 −2
1 2 −1
−1 −2 1

�
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
TEOREMA (El producto de una matriz por su adjunta)
Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces A adj(A) = det(A)In = adj(A)A.
TEOREMA (Relación entre la adjunta de una matriz y su inversa)
Si A ∈ Mn×n(R) es invertible, entonces det(A−1) =
1
det(A)
y
A
−1
=
1
det(A)
adj(A).
Consideremos la ecuación matricial Ax = b, donde A ∈ Mn×n(R). Si A es invertible, entonces
la única solución de dicha ecuación está dada por x = A−1b, aśı que, una forma de hallar la solución
de la ecuación en cuestión, es calcular la inversa de A y multiplicarla por b, pero quizás esto es
mucho más complicado y costoso (en términos de cálculos) que calcular la FERF de la matriz [A|b].
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
En el siguiente teorema presentaremos una herramienta que permite resolver la ecuación ante-
rior usando determinantes, sin necesidad de calcular la inversa de A ni la FERF de [A|b], dicha
herramienta se conoce con el nombre de la regla de Cramer.
TEOREMA (Regla de Cramer)
Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible y b ∈ Mn×1(R). Si x =

x1
x2
.
.
.
xn
 es la solución de la
ecuación Ax = b, entonces, para cada j ∈ {1, . . . , n}, xj =
det
(
Abj
)
det(A)
, donde Abj es la matriz
que se obtiene de A al reemplazar A(j) (la columna j) por b, esto es,
A
b
j =
[
A(1) · · · A(j−1) b A(j+1) · · · A(n)
]
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
EJEMPLO (Regla de Cramer)
Verificar que la matriz del sistema
x +2z −w = 3
x +y +2z +w = 2
4x +2y +2z −3w = 1
2y +z +4w = 1
es invertible y usar la regla de Cramer para hallar la solución del sistema.
Solución. La matriz del sistema es
A =

1 0 2 −1
1 1 2 1
4 2 2 −3
0 2 1 4

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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Calculemos el determinante de esta matriz
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 −1
1 1 2 1
4 2 2 −3
0 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 −1
0 1 0 2
0 2 −6 1
0 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2
2 −6 1
2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
2 −6 −3
2 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ −6 −31 0
∣∣∣∣∣∣ = 3 6= 0
Por lo tanto la matriz del sistema es invertible, aśı que podemos aplicar la regla de Cramer para
resolverlo. En este caso la matriz de términos independientes es
b =

3
2
1
1

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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Luego
det
(
A
b
1
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 0 2 −1
2 1 2 1
1 2 2 −3
1 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −6 −1 −13
0 −3 0 −7
0 0 1 −7
1 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣
−6 −1 −13
−3 0 −7
0 1 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
−6 0 −20
−3 0 −7
0 1 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ −6 −20−3 −7
∣∣∣∣∣∣
= 42− 60 = −18
det
(
A
b
2
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2 −1
1 2 2 1
4 1 2 −3
0 1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2 −1
0 −1 0 2
0 −11 −6 1
0 1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 2
−11 −6 1
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 0
−11 −6 −21
1 1 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣ −6 −211 6
∣∣∣∣∣∣ = −(−36 + 21) = 15
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
det
(
A
b
3
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 3 −1
1 1 2 1
4 2 1 −3
0 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 −1
0 1 −1 2
0 2 −11 1
0 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
2 −11 1
2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
0 −9 −3
0 3 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ −9 −33 0
∣∣∣∣∣∣ = 9
det
(
A
b
4
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 3
1 1 2 2
4 2 2 1
0 2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 3
0 1 0 −1
0 2 −6 −11
0 2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −1
2 −6 −11
2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
2 −6 −9
2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ −6 −91 3
∣∣∣∣∣∣ = −18 + 9 = −9
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
En consecuencia x =
det
(
Ab1
)
det(A)
=
−18
3
= −6; y =
det
(
Ab2
)
det(A)
=
15
3
= 5; z =
det
(
Ab3
)
det(A)
=
9
3
= 3; w =
det
(
Ab4
)
det(A)
=
−9
3
= −3, es decir, la solución del sistema dado
es: 
x
y
z
w
 =

−6
5
3
−3

�
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
EJEMPLO (Regla de Cramer en un problema de aplicación)
Una fábrica produce tres tipos de productos, mezclando para ello tres materias primas. Se sabe
que para fabricar una unidad del producto 1, se necesitan, una unidad de la materia prima 1, tres
unidades de la materia prima 2 y dos unidades de la materia prima 3; para fabricar una unidad del
producto 2, se necesitan, una unidad de la materia prima 1 y tres de la materia prima 2; finalmente,
para fabricar una unidad del producto 3, se necesitan, tres unidades de la materia prima 1, tres de
la materia prima 2 y dos de la materia prima 3. Si este mes la fábrica cuenta con seis millones de
unidades de la materia prima 1, doce millones de unidades de la materia prima 2 y seis millones de
la materia prima 3 ¿cuántas unidades de cada producto puede producir la fábrica usando el total de
las materias primas?
Solución. Para cada i ∈ {1, 2, 3}, sea xi las unidades (en millones) del producto i que puede
producir la fábrica.
Por lo tanto, la cantidad de unidades (en millones) que se usarán es:
x1 + x2 + 3x3 de la materia 1
3x1 + 3x2 + 3x3 de la materia 2
2x1 + 2x3 de la materia 3
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Como se quiere usar el total de las materias primas, entonces
x1 +x2 +3x3 = 6
3x1 +3x2 +3x3 = 12
2x1 +2x3 = 6
En este caso, la matriz del sistema, la matriz de incógnitas y la matriz de términos independientes
son, respectivamente:
A =

1 1 3
3 3 3
2 0 2
 ; x =

x1
x2
x3
 y b =

6
12
6

Veamos si podemos aplicar la regla de Cramer. Para ello calculemos el determinante de la matriz
del sistema.
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
3 3 3
2 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
0 0 −6
2 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣ 0 −62 2
∣∣∣∣∣∣ = −12 6= 0.
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Propiedades de los Determinantes
Matriz Adjunta y Regla de Cramer
Como la matriz del sistema es invertible, podemos usar la regla de Cramer.
det
(
A
b
1
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
6 1 3
12 3 3
6 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
6 1 3
−6 0 −6
6 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣ −6 −66 2
∣∣∣∣∣∣ = −(−12+36) = −24.
det
(
A
b
2
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 6 3
3 12 3
2 6 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 6 3
0 −6 −6
0 −6 −4
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ −6 −6−6 −4
∣∣∣∣∣∣ = 24− 36 = −12.
det
(
A
b3
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 6
3 3 12
2 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 6
0 0 −6
2 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣ 0 −62 6
∣∣∣∣∣∣ = −12.
Por lo tanto x1 =
−24
−12
= 2; x2 =
−12
−12
= 1 y x3 =
−12
−12
= 1, es decir, usando el total de la
materia prima, se pueden fabricar dos millones de unidades del producto 1 y un millón de unidades
de cada uno de los productos 2 y 3. �
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	Clase 7
	Propiedades de los Determinantes
	Matriz Adjunta y Regla de Cramer