ClasesVirtualesAlgebraLinealClase8

Vista previa del material en texto

Clase 8
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo II
Determinantes y Regla de Cramer
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
Clase 8:
Determinates de Matrices Triangulares por Bloques
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
Determinantes de
Matrices Triangulares por
Bloques
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
En esta última sección estamos interesados en estudiar un poco las matrices expresadas por
bloques, no haremos un estudio muy extenso, sólo algunos resultados sencillos para aśı definir las
matrices triangulares por bloques y poder calcular determinates de estas últimas.
DEFINICIÓN (Matrices expresadas por bloques)
Seanm1,m2, . . . ,mr, n1, n2, . . . , ns ∈ Z+,m = m1+m2+· · ·+mr y n = n1+n2+· · ·+ns.
Para cada i ∈ {1, . . . , r} y cada j ∈ {1, . . . , s} consideremos una matriz Aij ∈ Mmi×nj (R).
La matriz A ∈ Mm×n(R) dada por
A =

A1,1 A1,2 · · · A1s
A2,1 A2,2 · · · A2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ar1 Ar2 · · · Ars

se dice que está expresada por bloques y para cada i ∈ {1, . . . , r} y cada j ∈ {1, . . . , s}, la
matriz Aij es llamada submatriz o matriz bloque de A.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Matriz expresada por bloques)
Si definimos
A1,1 =

2 −1 0
4 2 1
6 7 −2
 ; A1,2 =

3 5
−5 2
9 −1
 ; A2,1 =
 3 −1 3
7 −1 2

y A2,2 =
 0 4
1 3
 ,
entonces
A =
 A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
 =

2 −1 0 3 5
4 2 1 −5 2
6 7 −2 9 −1
3 −1 3 0 4
7 −1 2 1 3

�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
Sean A,B ∈ Mm×n(R). Si m1,m2, . . . ,mr, n1, n2, . . . , ns ∈ Z+ son como en la definición
de matrices expresadas por bloques y si para cada i ∈ {1, . . . , r} y cada j ∈ {1, . . . , s} definimos
Aij , Bij ∈ Mmi×nj (R) de tal manera que
A =

A1,1 A1,2 · · · A1s
A2,1 A2,2 · · · A2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ar1 Ar2 · · · Ars

y B =

B1,1 B1,2 · · · B1s
B2,1 B2,2 · · · B2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Br1 Br2 · · · Brs

entonces es claro que
1 αA =

αA1,1 αA1,2 · · · αA1s
αA2,1 αA2,2 · · · αA2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
αAr1 αAr2 · · · αArs

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
2 A+ B =

A1,1 + B1,1 A1,2 + B1,2 · · · A1s + B1s
A2,1 + B2,1 A2,2 + B2,2 · · · A2s + B2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ar1 + Br1 Ar2 + Br2 · · · Ars + Brs

3 AT =

AT1,1 A
T
2,1 · · · A
T
r1
AT1,2 A
T
2,2 · · · A
T
r2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
AT1s A
T
2s · · · A
T
rs

Otro resultado no tan obvio como los anteriores, pero no por ello muy complicado, es el siguiente.
Sean A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mn×p(R). Si m1,m2, . . . ,mr, n1, n2, . . . , ns ∈ Z+ son como
antes y p1, p2, . . . , pt ∈ Z+ son tales que p = p1 + p2 + · · ·+ pt y si para cada i ∈ {1, . . . , r},
cada j ∈ {1, . . . , s} y cada k ∈ {1, . . . , t} definimos Aij ∈ Mmi×nj (R), Bjk ∈ Mnj×pk (R)
de tal manera que
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
A =

A1,1 A1,2 · · · A1s
A2,1 A2,2 · · · A2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ar1 Ar2 · · · Ars

y B =

B1,1 B1,2 · · · B1t
B2,1 B2,2 · · · B2t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bs1 Bs2 · · · Bst

entonces
AB =

C1,1 C1,2 · · · C1t
C2,1 C2,2 · · · C2t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cr1 Cr2 · · · Crt

donde para cada i ∈ {1, . . . , r} y cada k ∈ {1, . . . , t} se tiene que Cik ∈ Mmi×pk (R) está
dada por
Cik = Ai1B1k + Ai2B2k + · · ·+ AisBsk =
s∑
j=1
AijBjk.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
A continuación daremos el resultado en el cual estamos más interesados.
TEOREMA (Determinante de una matriz triangular por bloques)
Sean B ∈ Mm×m(R), C ∈ Mm×n(R) y D ∈ Mn×n(R) tales que
A =
 B C
0/n×m D

Entonces det(A) = det(B) det(D).
EJEMPLO (Determinante de una matriz triangular por bloques)
La matriz
A =

2 −1 3 10 1
−1 0 4 2 12
−4 1 2 4 6
0 0 0 3 5
0 0 0 1 2

puede expresarse por bloques como sigue
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Determinante de una matriz triangular por bloques (continuación))
A =

2 −1 3 10 1
−1 0 4 2 12
−4 1 2 4 6
0 0 0 3 5
0 0 0 1 2

Aśı que al usar el teorema anterior tenemos que
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 3
−1 0 4
−4 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ 3 51 2
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 1 = 3
�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
COROLARIO (Determinante de una matriz triangular por bloques)
Sean n1, n2, . . . , ns ∈ Z+, A ∈ Mn×n(R) y Aij ∈ Mni×nj (R) para
i, j ∈ {1, . . . , s} con i ≤ j tales que n1 + n2 + · · ·+ ns = n y
A =

A1,1 A1,2 · · · A1s
0/n2×n1 A2,2 · · · A2s
.
.
.
. . .
. . .
.
.
.
0/ns×n1 · · · 0/ns×ns−1 Ass

Entonces det(A) = det(A1,1) det(A2,2) · · · det(Ass).
Demostración.
¡Ejercicio!
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
OBSERVACIÓN
1 Las matrices dadas en el teorema anterior, y en el corolario de éste, se conocen con el nombre
de matrices triangulares superior por bloques, de manera análoga se definen las matrices
triangulares inferior por bloques.
2 Es claro que la transpuesta de una matriz triangular superior por bloques es una matriz trian-
gular inferior por bloques (y viceversa), en consecuencia, el teorema anterior, y su corolario,
siguen siendo válidos para matrices triangulares inferior por bloques.
3 Una matriz que sea triangular superior e inferior por bloques, simultáneamente, es llamada
matriz diagonal por bloques.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Determinante de una matriz expresada por bloques)
Dada la matriz
A =

4 5 −3 0 −1 0 0 0 0
2 3 −1 1 2 0 0 0 0
0 0 3 1 4 0 0 0 0
0 0 1 2 −1 0 0 0 0
0 0 2 4 −1 0 0 0 0
1 5 −3 4 1 7 −2 4 1
0 −2 8 6 −5 1 0 5 7
4 9 5 12 3 0 0 −3 6
1 −2 3 8 −6 0 0 2 −5

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Determinante de una matriz expresada por bloques (continuación))
Entonces
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 −3 0 −1 0 0 0 0
2 3 −1 1 2 0 0 0 0
0 0 3 1 4 0 0 0 0
0 0 1 2 −1 0 0 0 0
0 0 2 4 −1 0 0 0 0
1 5 −3 4 1 7 −2 4 1
0 −2 8 6 −5 1 0 5 7
4 9 5 12 3 0 0 −3 6
1 −2 3 8 −6 0 0 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Determinante de una matriz expresada por bloques (continuación))
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 −3 0 −1 0 0 0 0
2 3 −1 1 2 0 0 0 0
0 0 3 1 4 0 0 0 0
0 0 1 2 −1 0 0 0 0
0 0 2 4 −1 0 0 0 0
1 5 −3 4 1 7 −2 4 1
0 −2 8 6 −5 1 0 5 7
4 9 5 12 3 0 0 −3 6
1 −2 3 8 −6 0 0 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 −3 0 −1
2 3 −1 1 2
0 0 3 1 4
0 0 1 2 −1
0 0 2 4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7 −2 4 1
1 0 5 7
0 0 −3 6
0 0 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantesy Regla de Cramer
Clase 8 Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques
EJEMPLO (Determinante de una matriz expresada por bloques (continuación))
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 −3 0 −1
2 3 −1 1 2
0 0 3 1 4
0 0 1 2 −1
0 0 2 4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7 −2 4 1
1 0 5 7
0 0 −3 6
0 0 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣ 4 52 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 4
1 2 −1
2 4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ 7 −21 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ −3 62 −5
∣∣∣∣∣∣
= (12− 10)(−6 + 16− 2− 16 + 12 + 1)(0 + 2)(15− 12)
= 2 · 5 · 2 · 3 = 60
�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
	Clase 8
	Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques