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Clase 12
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 12
Espacio Generado
Conjunto Generador
Clase 12:
-Espacio Generado
-Conjunto Generador
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Espacio Generado
Conjunto Generador
Espacio Generado
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Espacio Generado
Conjunto Generador
Definición 5 (Espacio generado)
Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. El conjunto
span({v1, v2, . . . , vn}) =
{w ∈ V : w = α1v1+α2v2+· · ·+αnvn para algunos escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R}
es llamado el espacio generado por los vectores v1, v2, . . . , vn. Es decir, el conjunto
span({v1, v2, . . . , vn}) está formado por todas las combinaciones lineales de v1, v2, . . . , vn.
Ejemplo 7 (Espacio generado)
1 Según la parte 1 del ejemplo 4, se tiene que
Mm×n(R) = span({E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn})
y según las partes 2 y 3 del mismo ejemplo, tenemos que
Pn[x] = span({1, x, . . . , xn}) y Rn = span({e1, e2, . . . , en}).
�
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Espacio Generado
Conjunto Generador
Ejemplo 7 (Espacio generado (continuación))
2 El vector v = (9, 5, 6) pertenece al conjunto span({(3,−2, 6), (−1,−3, 2)}) (ver ejemplo
5). �
3 Del ejemplo 6, podemos garantizar que
−5− 4x+ 9x2 /∈ span({2− x+ 2x2, 2− 2x+ 6x2, x− 4x2}).
�
Ejemplo 8 (Espacio generado en P2[x])
Calcular span({2− x+ 2x2, 2− 2x+ 6x2, x− 4x2}).
Solución. Nótese primero que a + bx + cx2 ∈ span({2− x + 2x2, 2− 2x + 6x2, x− 4x2})
si y sólo si existen escalares α1, α2, α3 ∈ R tales que, para cada x ∈ R,
a+ bx+ cx
2
= α1(2− x+ 2x2) + α2(2− 2x+ 6x2) + α3(x− 4x2)
= (2α1 + 2α2) + (−α1 − 2α2 + α3)x+ (2α1 + 6α2 − 4α3)x2
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Espacio Generado
Conjunto Generador
Lo que equivale a decir que el sistema de ecuaciones
2α1 +2α2 = a
−α1 −2α2 +α3 = b
2α1 +6α2 −4α3 = c
tiene al menos una solución.
Resolvamos este sistema. La matriz ampliada del sistema es
2 2 0 a
−1 −2 1 b
2 6 −4 c

Calculemos la FERF de esta matriz
2 2 0 a
−1 −2 1 b
2 6 −4 c
F1 → F1 + F2→

1 0 1 a+ b
−1 −2 1 b
2 6 −4 c

F2 → F2 + F1→
F3 → F3 − 2F1

1 0 1 a+ b
0 −2 2 a+ 2b
0 6 −6 −2a− 2b+ c

F2 → − 12F2→

1 0 1 a+ b
0 1 −1 − 12a− b
0 6 −6 −2a− 2b+ c

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Espacio Generado
Conjunto Generador
F3 → F3 − 6F2→

1 0 1 a+ b
0 1 −1 − 12a− b
0 0 0 a+ 4b+ c

Sin necesidad de calcular la FERF de la matriz, pero sabiendo que la matriz a la izquierda es
escalonada, obtenemos que el sistema original tiene solución si y sólo si a+ 4b+ c = 0.
En consecuencia
span({2− x+ 2x2, 2− 2x+ 6x2, x− 4x2}) = {a+ bx+ cx2 ∈ P2[x] : a+ 4b+ c = 0}.
�
Es de hacer notar que el conjunto W, hallado en el ejemplo 8, es un subespacio de P2[x] (¡pruébe-
lo!). Este resultado no es casual, como veremos en el siguiente teorema.
Teorema 7 (Espacio generado como subespacio)
Sean V un espacio vectorial y vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V. Entonces
span({v1, v2, . . . , vn})
es un subespacio de V.
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Espacio Generado
Conjunto Generador
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Conjunto Generador
Definición 6 (Conjunto generador)
Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. Diremos que los vectores v1, v2, . . . , vn
generan a V o que el conjunto S = {v1, v2, . . . , vn} genera a V o que S es un conjunto
generador de V si V = span(S) = span({v1, v2, . . . , vn}).
Convención 1
Vamos a convenir en que el conjunto vaćıo ∅ es un conjunto generador del espacio nulo, es decir,
span(∅) = {0/V}.
Ejemplo 9 (Conjuntos generadores)
Por la parte 1 del ejemplo 7 podemos decir que:
1 Los vectores E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn generan
al espacio Mm×n(R). �
2 El conjunto {1, x, . . . , xn} genera a Pn[x]. �
3 {e1, e2, . . . , en} es un conjunto generador de Rn. �
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Conjunto Generador
Ejemplo 10 (Conjunto generador en P2[x])
Hallar un conjunto generador del subespacio W de P3[x] dado en el ejemplo 3.
Solución. Sabemos que
W = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3[x] : 2a− b+ 3c− d = 0; a+ b− 4c− 2d = 0}
Aśı que a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ W si y sólo si 2a −b +3c −d = 0a +b −4c −2d = 0
resolvamos este sistema homogéneo. La matriz del sistema es 2 −1 3 −1
1 1 −4 −2

La FERF de esta matriz es 1 0 − 13 −1
0 1 − 113 −1
 (¡verif́ıquelo!).
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Conjunto Generador
Por lo tanto, a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ W si y sólo si a − 13 c −d = 0b − 113 c −d = 0
o equivalentemente  a = 13 c+ db = 113 c+ d
Haciendo c = 3α y d = β, con α, β ∈ R, obtenemos
a+bx+cx
2
+dx
3
= (α+β)+(11α+β)x+3αx
2
+βx
3
= α(1+11x+3x
2
)+β(1+x+x
3
)
para cada x ∈ R.
De donde se obtiene que a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ W si y sólo si
a+ bx+ cx
2
+ dx
3 ∈ span({1 + 11x+ 3x2, 1 + x+ x3})
Luego
W = span({1 + 11x+ 3x2, 1 + x+ x3})
En consecuencia {1 + 11x+ 3x2, 1 + x+ x3} es un conjunto generador de W. �
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Conjunto Generador
Teorema 8 (Un conjunto generador más pequeño)
Sean V un espacio vectorial, v1, v2, . . . , vn ∈ V y u ∈ span({v1, v2, . . . , vn}). Entonces
span({v1, v2, . . . , vn, u}) = span({v1, v2, . . . , vn}).
Ejemplo 11 (Un conjunto generador más pequeño)
Consideremos el conjunto {A1, A2, A3} ⊂ M2×3(R), donde
A1 =
 1 0 −2
−2 5 −3
 , A2 =
 2 −3 −4
−1 1 0
 y A3 =
 −4 9 8
−1 7 −6

Mediante algunos cálculos podemos ver que (¡verif́ıquelo!)
A3 =
 −4 9 8
−1 7 −6
 = 2
 1 0 −2
−2 5 −3
− 3
 2 −3 −4
−1 1 0
 = 2A1 − 3A2
Por lo tanto, en virtud del teorema 8 podemos garantizar que
span({A1, A2, A3}) = span({A1, A2})
�
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