2 Espacio Vectorial - Axel Sánchez Nazario (1)

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M.I Francisco Barrera Del Rayo
Espacio Vectorial
2.
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Espacio vectorial
1. Un conjunto V cuyos elementos llamaremos “vectores”
2. Un campo K cuyos elementos llamaremos “escalares”
3. Dos operaciones:
a) Adición de vectores ! 1 + ! 2 ; ∀ ! 1 , ! 2 ∈ $
b) MulGplicación de un vector por un escalar ∝ & ; ∀ & ∈ $ ( ∀ ∝, ∈ *
Sea $ un conjunto no vacío y sea * un campo, donde se definen las
operaciones de adición de vectores y la mulGplicación de un vector por un
escalar. Se dice que $ es un espacio vectorial sobre * si se saGsfacen los
siguientes 10 axiomas:
Se requiere de:
Definición:
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10.
Axiomas de espacio vectorial
∀ ", $, % ∈ ' ( ∀ ∝, * ∈ +
(" + $) ∈ '
(" + $) + % = " + ($ + % )
∃ 0 ∈ ' | 0 + " = " + 0 = "
∃ −" ∈ ' 4 " + −" = −" + " = 0
" + $ = $ + "
(∝ ") ∈ '
∝ " + $ =∝ " +∝ $
(∝ +*)" = 5" + *"
∝ * " = (5*)"
∃ ∝ ∈ + | ∝ " = "
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Otros ejemplos
▶ Espacio nulo ! = {0}
▶ ℝ ,ℝ( , ℝ) , … , ℝ* Son un espacio vectorial sobre ℝ
▶ ℂ , ℂ( , ℂ) , … , ℂ* Son un espacio vectorial sobre ℂ , ℝ
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Subespacio vectorial
Sea ! un subconjunto de un espacio vectorial ". Si ! es a su vez
un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y
mul8plicación definidas en ", se dice entonces que ! es un
subespacio de ".
Sea " un espacio vectorial sobre un campo # . Si ! es un
subconjunto no vacío de ", entonces ! será un subespacio de ",
si y sólo si, se cumplen las condiciones siguientes:
Teorema
1. ∀ %, ' ∈ !, (% + ') ∈ !
2. ∀ % ∈ ! , ∀ ∝ ∈ #, (∝ %) ∈ !
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Otros ejemplos
Si ℂ,+,$ es un espacio vectorial sobre ℝ
Entonces 
ℝ,+,$ es un subespacio de ℂ,+,$
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Combinación lineal
Un vector ! es una combinación lineal de los vectores "#,
"$ , "% , … , "& si puede ser expresado en la forma:
! = ∝# "# + ∝$ "$ + ∝%"% +⋯+ ∝&"&
Donde ∝# , ∝$ , ∝% ,…,∝& son escalares.
Entonces decimos que ! se obtuvo a par=r de una
combinación lineal de los vectores "#, "$ , "% , … , "&.
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Dependencia lineal
Sea el conjunto de vectores: V = { !", !# , !$ , … , !% }.
Se dice que V es linealmente independiente si la ecuación:
∝" !"+∝# !#+∝$ !$+ … +∝% !%= 0
sólo se sa>sface cuando ∝"=∝#=∝$=…=∝%= 0
En caso contrario, es decir, si existen escalares ∝" , ∝# , ∝$ ,…,∝% no
todos nulos, para los cuales se sa>sface dicha ecuación, entonces se dice
que el conjunto V es linealmente dependiente.
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Dependencia lineal
▶ Todo conjunto de vectores que con4ene al vector cero, es
linealmente dependeiente.
▶ Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente
independiente, es también linealmente independiente.
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! = ∝# $# + ∝& $& + ∝' $' + ⋯+ ∝)$)
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, y sea
G = { $#, $& , $' , … , $) }
un subconjunto de vectores de V. Se dice que G es generador del
espacio vectorial V, si para todo vector ! ∈ V , existen escalares
∝# , ∝& , ∝' , … , ∝) tales que:
Conjunto generador
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Base
Se define como base de un espacio vectorial ! , a cualquier
subconjunto " de vectores de ! , tal que:
1. Los elementos de " son linealmente independientes.
2. Cualquier vector de V puede expresarse como una
combinación lineal de los vectores de ".
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Base canónica para ℝ"
El concepto de base canónica lo aplicaremos solamente a los
espacios ℝ".
ℝ" = { ($% , $& ,…, $" )| $' ∈ ℝ}
Entonces la base canónica es el conjunto
) = 1,0, … , 0 , 0,1, … , 0 , … , 0,0, … , 1
Para ℝ& ) = 1,0 , 0,1
Para ℝ/ ) = 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
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Dimensión
La dimensión de un espacio vectorial V, se define como la can6dad
de elementos de cualquiera de sus bases y se denota como:
!"# $
Para el caso del espacio vectorial nulo % = {0} su dimensión es
cero.
Teorema:
Si V es un espacio vectorial de dimensión *, cualquier conjunto
linealmente independiente formado por * vectores de V es una base
de dicho espacio.
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Isomorfismo
Sean ! y " dos espacios vectoriales de dimensión finita, definidos
sobre un campo #.
Se dice que la función $: ! → " es un isomorfismo de ! a " , si f es
biyec:va y además cumple con las condiciones siguientes:
Los espacios vectoriales isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus
elementos, sus propiedades algebraicas son idén:cas.
1. $ ' + ) = $ ') + $ () ; ∀ ', ) ∈ !
2. $ ∝ ) =∝ $ ) ; ∀ ' ∈ ! 2 ∀ ∝ ∈ #
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Teoremas de Isomorfismo
▶ Si ! es un espacio vectorial real de dimensión ", entonces ! es 
isomorfo a ℝ$.
▶ Todo espacio vectorial ! es isomorfo a sí mismo.
▶ Si un espacio vectorial ! es isomorfo a otro espacio %, entonces %
es isomorfo a !.
▶ Si un espacio vectorial & es isomorfo a un espacio ! y ! es a su vez 
isomorfo a un espacio %, entonces & es isomorfo a %.
▶ Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.
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Vector de coordenadas
Sea ! = {$%, $& , $' , … , $(} una base del espacio vectorial * y sea $
un vector cualquiera de *, tal que:
$ =∝% $%+∝& $&+∝' $'+ … +∝( $(
A los escalares ∝% , ∝& , ∝' ,…,∝( se les llama coordenadas de $ en la
base ! y al arreglo:
($ )0= ( ∝% , ∝& , ∝' ,…, ∝( )
se le llama vector de coordenadas de $ en la base !.
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Matriz de transición
Sean ! = {$%, $& , $' , … , $(} y * = {+%, +& , +' , … , +(} dos base de un
espacio vectorial ,. La matriz de transición -./ ;ene por columnas los
vectores de coordenadas de los elementos de la base ! con respecto a la
base * , esto es:
-./ = [ ( 2$% ). ( 2$& ). ( 2$' ). … ( 2$( ). ]
Esta matriz -./ conocida también como matriz de cambio de base, es tal que,
si conocemos ( 26 )/ donde 26 ∈ , y deseamos obtener el vector de
coordenadas de 26 en la base B , esto es (26 ). , entonces es suficiente con
efectuar el producto:
-./ (26 )/ = (26 ).
Toda matriz de transicion ;ene inversa, esto es: (-./ )8% = -/.
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Espacio renglón y espacio columna
Dada una matriz A de orden mxn, se tiene que tanto sus renglones como sus
columnas pueden definir espacios vectoriales, los llamados “espacios
renglón” y “espacios columna”. Estos espacios vectoriales se forman através
de todas las combinaciones lineales de los renglones o las columnas de la
matriz, considerándolos como vectores de ℝ" o ℂ".
Para obtener una base y la dimensión de este tipo de espacios vectoriales, es
suficiente con llevar a la matriz dada a su forma escalonada y los renglones
distintos de cero, constituyen una base del espacio vectorial.
La notación usual para estos espacios vectoriales es:
Sea A una matriz de orden mxn.
L(AR) → espacio renglón 
L(AC) → espacio columna 
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Espacio renglón y espacio columna
A pesar de que los espacios renglón y columna generalmente
son espacios distintos, la relación que existe entre ellos, es que
su dimensión siempre es igual, cuando son generados a partir
de la misma matriz, esto es:
Dim L(AR) = Dim L(AC)
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Rango de una matriz
Se define como rango de una matriz A, y se denota como R(A),
al número de renglones dis:ntos de cero una vez terminado el
escalonamiento en dicha matriz.
R(A) = Dim L(AR) = Dim L(AC)
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Espacio vectorial de funciones
El análisis que se hará de las funciones será desde el punto de
vista algebraico y éste se limitará al caso de las funciones reales
de variable real. Este ;po de funciones cons;tuyen un espacio
vectorial para las operaciones de adición y mul;plicación por un
escalar:
Este espacio ;ene un especial interés por tratarse de un espacio
de dimensión infinita.
! + # (%) = ! %) + #(%
∝ ! (%) =∝ !(%) ∀ % ∈ +
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Wronskiano
Sea un conjunto de funciones reales de variable real
{"# $ , "& $ , …, "( $ } , donde cada una de ellas admite por lo menos
n-1 derivadas en el intervalo (a, b). Se define como Wronskiano al
determinante:
Se 9ene que las funciones "# $ , "& $ , … , "( $ son linealmente
independientes, si existe al menos un valor x0 ∈ (a, b), para el cual el
W(x0)≠ 0.
En caso de que el W(x)=0, entonces el criterio no decide y se 9ene que
recurrir a la ecuación de dependencia lineal.
W(x) = 
"# $ "& $
"#́ $
⋮
"#(.# $
"&́ $
⋮
"&(.# $
… "( $
… "(́ $
⋮
…
⋮
"((.# $