FORMULARIO SEGUNDO PARCIAL MAT 103

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA 
 
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 
1 
 
ESPACIO VECTORIAL 
 
Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores 
sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, 
siendo su Estructura   ,,V 
¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL? 
Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de 
vectores 







n
uuuuuV ,.......,,,
4321
el otro de escalares  
n
kkkkK ,.......,,,
321

 
5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES 
Axioma (1). Clausura Para La Suma: Vuu 

21
 
Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma: 


1221
uuuu 
Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: 






 




 
321321
uuuuuu 
Axioma (4). Existencia Del Neutro “

 ” Aditivo: 


11
uu  
Axioma (5). Existencia Del Inverso “

1u ” Aditivo: 



 1
1
uu
 
5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR 
Axioma (6). Clausura Para El Producto: Vuk 

1
 
Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De 
Vectores: 






 
2121
ukukuuk 
Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De 
Escalares:  


1211121
ukukukk 
Axioma (9). Asociatividad Del Producto:   






121121
ukkukk 
Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “ *k ”: 1*
11
* 

kuuk 
 
SUB ESPACIOS VECTORIALES 
 
Es un conjunto “S” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre 
los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo 
su Estructura   ,,V
 
 
UN SUB ESPACIO VECTORIAL ES SUB CONJUNTO DE UN 
ESPACIOVECTORIAL VS  
 ¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL? 
Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de 
vectores 







n
uuuuuS ,.......,,,
4321
el otro de escalares  
n
kkkkK ,.......,,,
321
 
1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES 
Axioma (1). Clausura Para La Suma: Suu 

21
 
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR 
Axioma (2). Clausura Para El Producto: Suk 

1 
Una segunda forma de caracterizarlos a los 2 axiomas se concreta en la 
condición equivalente a la anterior “S” es un subespacio vectorial de V si y 
sólo si se verifica que: 
WukukSuuRkk 

22112121
;,,, 
SUB ESPACIO VECTORIAL “S” (CONDICION ) 
En los problemas veremos que es necesario expresar al sub espacio como 
conjunto con restricción de esta manera siempre reconoceremos las condiciones 
del conjunto para fines prácticos lo veremos de esta forma general 
 CONDICIONVECTORIALESPACIOS / 
COMBINACIÓN LINEAL 
COMBINACIÓN LINEAL ES LA FORMA DE ESCRIBIR UN VECTOR 
COMO RESULTANTE (SUMA DE VECTORES) 
Sea un conjunto ““V””







n
uuuuuV ,.......,,,
4321
 ,

w que pertenece al espacio 
vectorial “V” y un conjunto de escalares  
n
kkkkK ,.......,,,
321
 , si puede escribir: 
“Todo vector se puede escribir como la suma de un 
 espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector” 


nn
ukuukukukw .......
4332211 
Para que exista una combinación lineal los valores 
n
kkkk ,.......,,,
321
deben existir 
para cada vector de 







n
uuuuuV ,.......,,,
4321
 del espacio “V” 
 
NOTA: La combinación lineal en el ámbito de ingeniería tenemos que verla como 
una forma más de escribir un sistema lineal (OBJETIVO DE LA MATERIA) 
A X B  FORMA MATRICIAL 
 
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA 
 
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 
2 
 











































































mmn
n
n
n
mmm
b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
xAX

2
1
2
1
3
23
13
3
2
22
12
2
1
21
11
1
.....
 
INDEPENDENCIA LINEAL 
Sea un conjunto ““V””







n
uuuuuV ,.......,,,
4321
 ,

w que pertenece al espacio 
vectorial “V” y un conjunto de escalares  
n
kkkkK ,.......,,,
321
 , todos los 
escalares son cero : 
“Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio 
vectorial multiplicado por un escalar a cada vector” 


nn
ukuukukuk .......0
4332211 
SISTEMA HOMOGÉNEO:     0KA
 
FORMA MATRICIAL 
LINEALMENTE INDEPENDIENTE: 0A
 
LINEALMENTE DEPENDIENTE: 0A 
NOTA: SI UN CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE 
ES BASE (GENERADOR) 
TEOREMA 
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente 
dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro 
 
CONJUNTO GENERADOR (CALCULO DEL SUB ESPACIO) 
Si los vectores 







n
uuuuuV ,.......,,,
4321
en un espacio vectorial “V” GENERAN 
“V” si todo vector en “V” se puede escribir como una combinación lineal de ellos. 
Es decir, para todo Vv

, existen escalares 
n
 ,.......,,,
321
tales que: 


nn
uuuuv  .......
332211
 
BASE DE UN SUB ESPACIO: Es un conjunto del espacio vectorial V si se cumplen las 
siguientes condiciones: 
 Forman un sistema linealmente independiente 
 Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los 
elementos de la base B 
 
¿CALCULO DE LA BASE W ? 
Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en 
el término general del espacio vectorial de esta manera: 
 CONDICIONVECTORIALESPACIOW / 
DIMENSIÓN DE LA BASE “Dim()” 
Es el número de vectores no nulos que tiene una base 







n
uuuuuBASE ,.......,,,
4321
   nBASEDim  
       TWDimTDimWDimTWDim 
     TDimWDimTWDim  
TEOREMA: 
 Sea V un espacio vectorial sobre k de dimensión finita, si W es un 
subespacio propio de V, entonces:    WDimVDim
W
V
Dim 





 
 
OPERACIONES ENTRE SUB ESPACIOS VECTORIALES 
Sean 21 ,WW , subespacios vectoriales de un espacio vectorial “V”, se definen las 
siguientes operaciones entre subespacios: 
 
INTERSECCIÓN Sean 
21
,WW , dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial 
“V”. La intersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente 
forma:  
2121
/ WxWxVxWW  
UNIÓN Sean 21 ,WW ,dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial 
(V,+,.R). La unión de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente 
forma:  
2121
/ WxWxVxWW 
 
La UNIÓN de subespacios vectoriales no siempre es un subespacio 
vectorial 
SUMA Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un 
subespacio vectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en 
cierta forma la idea de JUNTAR o AÑADIR propia de la unión, que mantenga la 
estructura de subespacio vectorial 
Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS: 
Sean 
21
,WW , dos subespacios vectoriales de “V”, se define la suma de estos 
subespacios como:  
2121
,/ WyWxyxzVzWW  
 
AX Es una combinación lineal de las columnas de A
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal
JOSE PAYE CHIPANACODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA 
 
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 
3 
 
SUMA DIRECTA Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya 
intersección es el elemento neutro del espacio vectorial, y efectuamos la 
operación suma de subespacios, el subespacio resultante se obtiene añadiendo 
"totalmente" los vectores de uno con los de otro, es decir se realiza una SUMA 
DIRECTA de subespacios. 
Sea “V” un espacio vectorial y sean 
21
,WW dos subespacios vectoriales de “V”, 
se define la SUMA DIRECTA de estos subespacios al 
subespacio WWW 
21
 si y sólo si WWW 
21
y además  0
21
WW 
   0,/
212121
 WWyWyWxyxzVzWW 
TEOREMA 
Sea “V” un espacio vectorial y
21
,WW , 2 subespacios vectoriales de V. 
Entonces
21
WW  y 
21
WW  también son subespacios vectoriales de V 
 
PRODUCTO INTERNO 
 Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores 
sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, 
siendo su Estructura   ,,V 
¿CUANDO ES UN ESPACIO CON PRODUCTO INTERIOR? 
Debe cumplir con 4 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de 
vectores el otro de escalares 
Axioma (1). Conmutatividad: 

 uvvu ;; 
Axioma (2). Distributividad: 

 wuvuwvu ;;; 
Axioma (3). Homogeneidad: 

 vuvu ;;  
Axioma (4). Positividad: 0; 

uu
 
 
 PROYECCIÓN DE UN VECTOR 

u SOBRE OTRO VECTOR

v :




 v
v
vu
uoy
v
2
;
Pr
 
PROYECCIÓN DE UN VECTOR 

u SOBRE UNA BASE ORTONORMAL 







n
vvvvvB ,.......,,,
4321
:
 


nnB
vvuvvuvvuvvuuoy ;...;;;Pr
332211
 
ANGULO ENTRE DOS VECTORES 

u , 

v :
 



vu
vu;
cos
 
MODULO DE UN VECTOR:
 

 uuu ;
 
 
DISTANCIA ENTRE VECTORES:
 

 vuvuvud ;
 
ORTOGONALIDAD ENTRE VECTORES 
 
0; 

vu
 
PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN DE BASES GRAHAM SCHMIDT 
Sea una base 








nuuuuuB ,.......,,, 4321 y la base ortonormalizada será 








',.......',',','' 4321 nuuuuuB 



1
1
1 '
u
u
u
 
'';
'';
'
1122
1122
2 





uuuu
uuuu
u
 
'';'';
'';'';
'
1132233
1132233
3 





uuuuuuu
uuuuuuu
u
 
'';'';.......'';'';
'';'';.......'';'';
'
11222211
11222211






















uuuuuuuuuuuuu
uuuuuuuuuuuuu
u
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
n