Formulario 2do Parcial MAT 103 ESP VECTORIALES

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ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103. 
© 21.09.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 5. 
Formulario 2 MAT 103 
 
Álgebra Lineal 
 
Contenido: 
1. Espacios Vectoriales. 
2. Operaciones Subespacios 
3. Producto Interior. 
4. Ortogonalización. 
 
 
12 p. por: J. Jaime Apaza M. 
 
1. Espacios Vectoriales 
1. Notación y Operación de Vectores. 
Vector n–dimensional: 
�⃑� = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛) 
�⃑⃑� = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑛) 
La suma de �⃑� + �⃑⃑� se define como: 
�⃑� + �⃑⃑� = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) 
El múltiplo escalar se define como: 
𝑘�⃑� = (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2 , 𝑘𝑎3 , … , 𝑘𝑎𝑛) 
El vector cero se define como: 
0⃑⃑ = (0 , 0 , 0 , … , 0) 
Producto Escalar: 
Sean: �⃗� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y �⃑⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) 
�⃗� ∘ �⃑⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 = ‖�⃗�‖‖�⃑⃗�‖𝑐𝑜𝑠𝜃 
Producto Vectorial: 
Sean: 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y �⃑⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) 
𝐴 × �⃑⃗� = [(𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2), −(𝑎1𝑏3
− 𝑎3𝑏1), (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)] 
2. Introducción a Espacios Vectoriales. 
Sea el sistema: 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3 
⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 
 
Este sistema puede ser escrito de la forma: 
𝑥1(
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
) +⋯+ 𝑥𝑛 (
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) … 𝛼 
Donde: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 son escalares y 
(
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
) ,(
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
)…(
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
) ,(
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) son vectores 
La estructura 𝛼 tiene las dos operaciones: 
✓ Suma de vectores. 
✓ Producto de un escalar por vector. 
 
Un espacio vectorial es una estructura de la 
forma 𝛼 . 
✓ Es un conjunto de vectores. 
✓ Suma de vectores. 
✓ Producto de un escalar por vector. 
 
3. Concepto de Espacio Vectorial. 
Un espacio vectorial es una terna de la forma 
( 𝑉, + , ∙ ) formada por un conjunto ( 𝑉 ) y 
dos operaciones ( + , ∙ ) . 
Es un conjunto V no vacio que tiene dos 
operaciones una es la suma y la otra de una 
multiplicación de un escalar. Es un espacio 
vectorial si satisface las siguientes 
propiedades: 
4. Propiedades Espacios Vectoriales. 
Para que 𝑉 sea un espacio vectorial se debe 
cumplir las siguientes 10 axiomas o 
propiedades: Consideremos: ∀ �⃑⃑�, �⃑�, �⃑⃑⃑� ∈ 𝑉𝑛 
(vectores) y ∀ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ∈ IR (constantes) 
 
Suma: + ∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 �⃑� , �⃑⃑� → �⃑� + �⃑⃑� 
1. Clausura. 
∀ �⃑� , �⃑⃑� ∈ 𝑉 �⃑� + �⃑⃑� ∈ 𝑉 
2. Asociativa. 
∀�⃑�, �⃑⃑�, 𝑐 ∈ 𝑉 �⃑� + (�⃑⃑� + 𝑐) = (�⃑� + �⃑⃑�) + 𝑐 
3. Elemento Neutro. 
∀ �⃑� ∈ 𝑉𝑛 ∃0⃑⃑ ∈ 𝑉 �⃑� + 0⃑⃑ = �⃑� 
4. Elemento Opuesto. 
∀�⃑� ∈ 𝑉𝑛 ∃(−�⃑�) ∈ 𝑉 �⃑� + (−�⃑�) = 0⃑⃑ 
5. Conmutativa. 
∀ �⃑� , �⃑⃑� ∈ 𝑉 �⃑� + �⃑⃑� = �⃑⃑� + �⃑� 
 
Producto: ∙ ∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 �⃑� , �⃑⃑� → �⃑� ∙ �⃑⃑� 
1. Clausura. 
∀ �⃑� ∈ 𝑉 ˄ 𝑘 ∈ 𝕂 𝑘 ∙ �⃑� ∈ 𝑉 
2. Asociativa. 
∀�⃑� ∈ 𝑉 ˄ ℎ, 𝑘 ∈ 𝕂 (ℎ 𝑘)�⃑� = ℎ(𝑘 �⃑�) 
3. Elemento Neutro. 
∀ �⃑� ∈ 𝑉 ∃1 ∈ 𝑣 1 ∙ �⃑� = �⃑� 
4. Distributiva de la suma de escalares por 
un vector 
∀ �⃑� ∈ 𝑉 ˄ ℎ, 𝑘 ∈ 𝕂 
 (ℎ + 𝑘)�⃑� = ℎ�⃑� + 𝑘�⃑� 
5. Distributiva de la suma de vectores por 
un escalar 
∀ �⃑�, �⃑⃑� ∈ 𝑉 ˄ 𝑘 ∈ 𝕂 
 𝑘(�⃑� + �⃑⃑�) = 𝑘�⃑� + 𝑘�⃑⃑� 
Nota 1: No entra conmutatividad para el 
producto por que siempre se maneja 𝑘�⃑�. 
�⃑⃑��⃑� ≠ �⃑��⃑⃑� 
Nota 2: No hay elemento Inverso para el 
producto por que no existe división entre 
vectores. 
Nota 3: Cada elemento tiene que tener las 
características del espacio vectorial dado. 
 
5. Subespacios Vectoriales. 
Si V es un espacio vectorial, un subconjunto 
𝑆 ⊂ 𝑉 no vacio, S es subespacio vectorial de 
V, siendo (𝑆, +, ∙). Para lo cual debe cumplir 
2 propiedades: 
1. Clausura para la suma. 
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 → 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑺 
2. Clausura para el producto (o multiplica. 
de un escalar por un vector). 
𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 → 𝒌𝒙 ∈ 𝑺 
Nota: �⃑⃑⃑� ∈ 𝒙 si no pasa por el “0” no es 
subespacio. Ejm.: 𝑆 = {(
𝑥1
1
) ∈ 𝑅2: 𝑥1 ∈ 𝑅} 
𝑥 + 𝑦 = (
𝑥1
1
) + (
𝑦1
1
) = (
𝑥1 + 𝑦1
2
) ∉ 𝑆 no es S 
Doble clausura: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ; 𝑈, 𝑉 ∈ 𝑆 
𝒂𝑼 + 𝒃𝑽 ∈ 𝑺 
Ejm.: 𝑆2 = {𝐴 ∈ 𝑀
2×2: 𝐴𝑇 = −𝐴} es subesp. 
Todo Subespacio es un espacio vectorial, 
porque este Subespacio 𝑆 hereda el resto de 
las condiciones del espacio vectorial V. 
6. Combinación Lineal. 
Un vector �⃑⃑� se dice que es Combinación 
Lineal de un conjunto de vectores: 
𝐶 = { �⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑�𝑛} 
Si el sistema: 
�⃑⃑� = 𝛼1�⃑⃑�1 + 𝛼2�⃑⃑�2 + 𝛼3�⃑⃑�3 +⋯+ 𝛼𝑛�⃑�𝑛 
Tiene una Única Solución y existen los 
escalares 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , … , 𝛼𝑛 ∈ 𝑅. Entonces 
�⃑⃑� es Combinación Lineal del conjunto de 
vectores 𝐶 = { �⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑�𝑛}. 
 
Ejemplo 1: 
Sea el conjunto de vectores: 
𝐶 = { (1,3,5), (0,1,0) }, decir si �⃑⃑� = (1,5,5) 
es combinación lineal de 𝐶. 
Sol.: (1,5,5) = 𝛼1(1,3,5) + 𝛼2(0,1,0) 
{ 
1 = 𝛼1 
5 = 3𝛼1 + 𝛼2
5 = 5𝛼1 
 → { 
𝛼1 = 1
𝛼2 = 2
 
Tiene una única solución y existen los 
escalares 𝛼1 , 𝛼2 por lo tanto es C.L. 
Ejemplo 2: 
Sea el conjunto de vectores: 
𝐶 = { (1,3,5), (0,1,0) }, decir si �⃑⃑� = (1,2,3) 
es combinación lineal de 𝐶. 
Sol.: (1,2,3) = 𝛼1(1,3,5) + 𝛼2(0,1,0) 
{ 
1 = 𝛼1 
2 = 3𝛼1 + 𝛼2
3 = 5𝛼1 
 → {
 
𝛼1 = 1
𝛼2 = 2
𝛼1 =
3
5
 
No tiene una Única Solución 𝛼1, por lo tanto 
No es C.L. 
Ejemplo 3. 
El vector (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) ∈ 𝑅3 es Combinación 
Lineal de los vectores unitarios: 
𝑖 = (1 , 0 , 0) , 𝑗 = (0 , 1 , 0) , �⃑⃑� = (0 , 0 , 1) 
(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃑⃑� 
 
7. Dependencia Lineal. 
Se dice que un conjunto de vectores: 
𝐶 = { �⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑�𝑛} 
Son Linealmente Dependientes si el sistema: 
𝛼1�⃑⃑�1 + 𝛼2�⃑⃑�2 + 𝛼3�⃑⃑�3 +⋯+ 𝛼𝑛�⃑�𝑛 = 0⃑⃑ 
tiene una solución de la forma: 
 𝜶𝟏 ≠ 𝟎, 𝜶𝟐 ≠ 𝟎,⋯ , 𝜶𝒏 ≠ 𝟎 
Es decir existen los escalares: 
𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , … , 𝛼𝑛 NO todos nulos (cero). 
Entonces se dice que el conjunto 𝐶 es 
Linealmente Dependiente o que forman un 
sistema ligados. 
Vectores Linealmente Dependientes: 
Sean los vectores: �⃑⃑� y �⃑�. 
 
También: |𝐴| = 0. 
Ejemplo 1: 
Los vectores �⃑⃑� = (4,−4,2) , �⃑� = (2,−2,1) 
son Linealmente Dependientes, porque: 
�⃑⃑� − 2�⃑� = 𝜃 → (4,−4,2) − 2(2,−2,1) = 𝜃 
Por lo tanto 𝐶 es L.D. 
 
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8. Independencia Lineal. 
Se dice que un conjunto de vectores: 
𝐶 = { �⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑�𝑛} 
Son Linealmente Independientes si el sistema: 
𝛼1�⃑⃑�1 + 𝛼2�⃑⃑�2 + 𝛼3�⃑⃑�3 +⋯+ 𝛼𝑛�⃑�𝑛 = 0⃑⃑ 
tiene una solución de la forma: 
 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = 𝜶𝟑 = ⋯ = 𝜶𝒏 = 𝟎 
(solución trivial). Entonces se dice que el 
conjunto 𝐶 es Linealmente Independiente o 
que forman un sistema libre. 
 
Los vectores son Linealmente Independe. Si: 
 𝜌(𝐴) = 𝑛° de vectores. 
Por lo tanto, los vectores son Lin. Indep. 
 
Vectores Linealmente Independientes: 
Sean los vectores: �⃑⃑� y �⃑�. 
 
 
 
También: 
|𝐴| ≠ 0. 
 
Ejemplo 1: Decir si el conjunto de vectores: 
𝐶 = { (1,1,0), (0,1,0) } 
Son Linealmente Independientes. 
Sol.: 𝛼1(1,1,0) + 𝛼2(0,1,0) = 0⃑⃑ 
{ 
 𝛼1 = 0
𝛼1 + 𝛼2 = 0
 0 = 0
 → { 
𝛼1 = 0
𝛼2 = 0
 ∴ 𝐶 es 𝐿. 𝐼. 
9. Wronskiano. 
El Wronskiano de 𝑆 = { 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛} 
𝑊 =
|
|
 𝑓1 𝑓2 𝑓3 
𝑓1
′ 𝑓2
′𝑓3
′
𝑓1
′′ 𝑓2
′′ 𝑓3
′′
⋯
𝑓𝑛
𝑓𝑛
′
𝑓𝑛
′′
⋮ ⋱ ⋮
𝑓1
(𝑛−1)
𝑓2
(𝑛−1)
𝑓3
(𝑛−1) ⋯ 𝑓𝑛
(𝑛−1)
|
|
 
Si: |𝐴| = 0 𝑊 = 0 → 𝐿. 𝐷. 
Si: |𝐴| ≠ 0 𝑊 ≠ 0 → 𝐿. 𝐼. 
Ejemplo 1: 𝑆 = { 1 , sin 𝑡 , cos 𝑡} 
𝑊 = |
1 sin 𝑡 cos 𝑡
0 cos 𝑡 − sin 𝑡
0 − sin 𝑡 − cos 𝑡
| 
Aplicando Chio: 
𝑊 = 1 ∙ (−1)1+1 |
cos 𝑡 − sin 𝑡
− sin 𝑡 − cos 𝑡
| 
𝑊 = −1 → 𝑊 ≠ 0 → 𝐿. 𝐼. 
 
10. Conjunto Generador. 
𝐶 = {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛} es un Conjunto 
Generador de un Subespacio 𝑆 si cualquier 
vector �⃑⃑⃑� ∈ 𝑆, se puede representar como 
Combinación Lineal de 𝐶. 
 �⃑⃑⃑� = 𝒌𝟏�⃑⃑⃑�𝟏 + 𝒌𝟐 �⃑⃑⃑�𝟐+ , … ,+𝒌𝒏�⃑⃑⃑�𝒏 
Ejemplo 1: 
El conjunto 𝐶 = { 𝑖, 𝑗 } = {(1,0), (0,1)} es 
un conjunto generador de 𝑅2 con 𝑖 = (1,0) 
y 𝑗 = (0,1). 
Se puede representar como Comb. Lineal: 
 (𝛼, 𝛽) = 𝛼(1,0) + 𝛽(0,1) 
Ejemplo 2: Hallar un conjunto generador 
para 𝑆0(2) = {𝐴 ∈ 𝑀2×2: 𝐴
𝑇 = −𝐴} Antisim. 
Sol (
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
) = −(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) igualo componentes 
(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = 𝑐 (
0 −1
1 0
) idem a 2𝑘 = pares. 
11. Base. 
Base: Sea 𝐶 = {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛} 
Se dice que 𝐶 es una base del espacio 
vectorial �⃑⃑� si cumple: 
✓ Sus elementos son L.I. 
✓ Es un conjunto Generador. 
Ejemplo 1: 
Una base de 𝑅2 es ( 𝑖, 𝑗 ) donde 𝑖 = (1,0) 
y 𝑗 = (0,1). 
Ejemplo 2: 
Demostrar que {(1,2,1), (1,2,3), (3,2,1)} es 
una base. Solución: (
1 2 1
1 2 3
3 2 1
) escalonando. 
Si el 𝜌(𝐴) = 3 (L.I.) es una base. 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝛼(1,2,1) + 𝛽(1,2,3) + 𝛾(3,2,1) 
Ejemplo 3: 
Demostrar que {1 + 𝑥, 𝑥2 + 𝑥3, 1 + 4𝑥3, 𝑥3} 
es una base. Sol. 𝜌(𝐴) = 4 (L.I.) y Comb. Lin 
Ejemplo 4: 
Si: 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4: 𝑧 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑦} 
Hallar una base para 𝑊. 
Solución: 𝑧 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑦 → 𝑤 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 
Sea un vector cualquiera: 
�⃑� = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 reemplazando 𝑤. 
�⃑� = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 
�⃑� = (𝑥, 0,0, 𝑥) + (0, 𝑦, 0, 𝑦) + (0,0, 𝑧, −𝑧) 
�⃑� = 𝑥(1,0,0,1) + 𝑦(0,1,0,1) + 𝑧(0,0,1,−1) 
Luego el conjunto de vectores: 
𝐵 = {(1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,−1)} 
Es una base de 𝑊. 
12. Bases Canónicas y Dimensiones. 
1. Espacio Vectorial: 𝑹𝟐 
Base canónica: {(
1
0
) , (
0
1
)} {(1,0), (0,1)} 
Dim 𝑅2 = 2 
2. Espacio Vectorial: 𝑹𝟑 
Base canónica: { (
1
0
0
) , (
0
1
0
) , (
0
0
1
) } 
{(1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1)} Dim 𝑅3 = 3 
3. Espacio Vectorial: 𝑷𝟏 
Base canónica: { 𝑡 , 1} Dim𝑃1 = 2 
4. Espacio Vectorial: 𝑷𝟐 
Base canónica: { 𝑡2, 𝑡 , 1} Dim𝑃2 = 3 
5. Espacio Vectorial: 𝑷𝟑 
Base canónica: { 𝑡3, 𝑡2, 𝑡 , 1} Dim𝑃3 = 4 
 
6. Espacio Vectorial: 𝑴𝟐×𝟐 
Base canónica: 
{ [
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
] } 
Dim 𝑀2×2 = 4 
7. Espacio Vectorial: 𝑴𝟑×𝟑 
Base canónica: 
{ [
1 0 0
0 0 0
0 0 0
] , [
0 1 0
0 0 0
0 0 0
] , [
0 0 1
0 0 0
0 0 0
] … } 
Dim 𝑀3×3 = 9 
 
13. Teorema de la Dimensión. 
La dimensión de �⃑⃑� esta dada por el # de 
vectores NO nulos de la base. 
Formula de GRASMAN: 
Dim(𝐴 + 𝐵) = Dim𝐴 + Dim𝐵 − Dim(𝐴 ∩ 𝐵) 
Relación en Ecuaciones Implícitas: 
 𝑛°Ec.Impli. = dim(𝐸𝑠𝑝) − dim(𝑆𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝) 
2. Operaciones Subespacios 
1. Operaciones con Subespacios. 
Sea �⃑⃑⃑� y �⃑⃑⃑⃑� subespacios del espacio 
vectorial �⃑⃑�. Se definen las siguientes 
operaciones entre Subespacios U y W: 
1. Unión. No siempre es espacio vectorial 
�⃑⃑⃑� ∪ �⃑⃑⃑⃑� = {𝑥 ∈ 𝑉/𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑥 ∈ 𝑉} 
2. Intersección. 
�⃑⃑⃑� ∩ �⃑⃑⃑⃑� = {𝑥 ∈ 𝑉/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊} 
�⃑⃑⃑� ∩ �⃑⃑⃑⃑� siempre es espacio vectorial. 
Se halla la condición de U y W luego se 
intersectan todas las Condiciones. 
𝑈 = {(2𝑥 + 1), (3𝑥 − 1)} → (
2 3
1 −1
|
𝑎
𝑏
) 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝛼 (2𝑥 + 1)⏟ 
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
+ 𝛽 (3𝑥 − 1)⏟ 
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
 
𝐵𝑈∩𝑊 = {𝑥 − 1 , 2𝑥 + 1} 𝐷𝑖𝑚𝐵𝑈∩𝑊 = 2 
3. Suma. 
�⃑⃑⃑� + �⃑⃑⃑⃑� = {x=x1+x2∈V/ x1∈U ∧ x2∈W} 
2(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎𝑥 + 𝑏)⏟ 
Reempl cond 1
+ (𝑎𝑥 + 𝑏)⏟ 
Reempl cond 2
 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎(2𝑥 + 1) + 𝑏(3𝑥 − 1) 
𝐵𝑈+𝑊 = {2𝑥 + 1 , 3𝑥 − 1} 𝐷𝑖𝑚𝐵𝑈+𝑊 = 2 
4. Suma directa. 
�⃑⃑⃑� ⊕ �⃑⃑⃑⃑� = {𝑥=x1+x2∈V/ x1∈U ∧ x2∈W} 
𝐵𝑈⊕𝑊 = {𝐵𝑈 , 𝐵𝑊} �⃑⃑⃑� ∩ �⃑⃑⃑⃑� = { 0⃑⃑ } 
 𝐷𝑖𝑚𝐵𝑈⊕𝑊 = 𝐷𝑖𝑚𝑈 + 𝐷𝑖𝑚𝑊 
Dim(
𝑈 +𝑊
𝑈 ∩𝑊
) = Dim(𝑈 +𝑊) − Dim(𝑈 ∩𝑊) 
Ejemplo 1: Hallar: 𝐵1 + 𝐵2 = ? 𝐵1 ∩ 𝐵2 = ? 
Si: 𝐵1 = {(0,1,0), (1,0,0)} 
𝐵2 = {(2,0,0), (0,1,1)} 
Sol.: por Gauss: hacer 0 debajo de la Diago 
 [
0 1 0
1 0 0
2
0
0
1
0
1
] → [
1 0 0
0 1 0
0
0
0
0
0
1
] → [
1 0 0
0 1 0
0
0
0
0
1
0
] 
𝐵𝐵1+𝐵2 = {(0,1,0), (1,0,0), (0,1,1)} 
𝐵𝐵1∩𝐵2 = {(2,0,0)} es la fila q se anula. 
Ejemplo 2: Hallar: 𝑆1 ∩ 𝑆2 = ? 
Si: 𝑆1 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅
3: 
𝑥1 − 𝑥3 = 0
 𝑥2 = 0
} 
𝑆2 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅
3: 𝑥2 + 𝑥3 = 0} 
Sol: 𝑛°Ec.Impli = dim(Esp) − dim (Subesp) 
Para 𝑆1: 2 = 3 − 1 dim(𝑆1) = 1 
Para 𝑆2: 1 = 3 − 2 dim(𝑆2) = 2 
[
1 0 −1
0 1 0
0 1 1
|
0
0
0
] → [
1 0 −1
0 1 0
0 0 1
|
0
0
0
]
sistema
compati
determi
 
𝜌(𝐴) = 𝜌(𝐴|𝐵) = 𝑛°Incog. 𝐵𝑆1∩𝑆2 = { 0⃑⃑ } 
dim(𝐴 + 𝐵) = dim𝐴 + dim𝐵 − dim(𝐴 ∩ 𝐵) 
3 = 1 + 2 − 0 𝑆1⊕𝑆2 es suma directa 
2. Cambio de Base. 
Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del 
polinomo 𝑃(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥2 respecto la base 
𝐵2 = {1 + 𝑥 , 1 + 𝑥 − 𝑥
2 , −1 + 2𝑥 − 𝑥2} 
Sol.: Sea: [1 − 𝑥 + 𝑥2]𝐵2 = ( 
𝑟
𝑠
𝑡
 )
𝐵2
 
1 − 𝑥 + 𝑥2 = 𝑟(1 + 𝑥) + 𝑠(1 + 𝑥 − 𝑥2) + 
+𝑡(−1 + 2𝑥 − 𝑥2) 
Igualando compon.: 𝑟 =
2
3
; 𝑠 = −
1
3
; 𝑡 = −
2
3
 
[1 − 𝑥 + 𝑥2]𝐵2 = ( 
2 3⁄
−1 3⁄
−2 3⁄
 )
𝐵2
 
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Ejemplo 2: 
Si: 𝐵′ = {(1,1), (0,2)} y 𝑉 = (2,3)𝐵′ 
Hallar: 𝐵′ → 𝐵𝐶 = ? 
Sol.: 𝐵′ ⏟
dato
→ 𝐵𝐶⏟
incógnit
 
(2,3)𝐵′ = 2(1,1) + 3(0,2) = (2,2) + (0,6) 
∴ (2,3)𝐵′ = (2,8)𝐵𝐶 
Es decir: (2,8)𝐵𝐶 = 2(1,0) + 8(0,1) 
Ejemplo 3: 
Si: 𝐵′ = {(1,1), (0,2)} y 𝑉 = (1,3) 
Hallar: 𝐵𝐶 → 𝐵
′ = ? 
Sol.: es implícito: (1,3)𝐵𝐶 
(1,3)𝐵𝐶 = 𝛼(1,1) + 𝛽(0,2) 
{ 
1 = 𝛼 + 0𝛽
3 = 𝛼 + 2𝛽
 → { 
𝛼 = 1
𝛽 = 1
 → (1,1) 
∴ (1,3)𝐵𝐶 = (1,1)𝐵′ 
3. Matriz Cambio de Base. 𝑦 = 2𝑥 
[𝑣]𝐵2 = 𝑃𝐵1→𝐵2[𝑣]𝐵1 [𝑣]𝐵1 = 𝑃𝐵2→𝐵1
−1 [𝑣]𝐵2 
 𝑃𝐵1→𝐵2 = 𝑃𝐵2→𝐵1
−1 
Ejemplo 1: 
Dados las bases: 𝐵1 = {1, 𝑥, 𝑥
2} = 𝐵𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 
𝐵2 = {1 + 𝑥, 1 + 𝑥 − 𝑥
2, −1 + 2𝑥 − 𝑥2} 
Hallar: [1 − 𝑥 + 𝑥2]𝐵1 Solucion: 
[𝑣]𝐵1 = 𝑃𝐵2→𝐵1[𝑣]𝐵2 [1-x+x
2]B2 = ( 
2 3⁄
-1 3⁄
-2 3⁄
 )
B2
 
(
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1⏟ 
𝐵1
|
|
1 1 −1
1 1 2
0 −1 −1⏟ 
𝐵2 )
 
 
 → 𝑃𝐵2→𝐵1 = 𝐵2 
[1-x+x2]B1 = (
1 1 -1
1 1 2
0 -1 -1
)( 
2 3⁄
-1 3⁄
-2 3⁄
 ) = (
1
-1
1
) 
Ejemplo 2: Dados: 𝐵𝐶 = {(1,0), (0,1)} 
𝐵′ = {(1,1), (0,1)} Sea �⃑⃑�1 = (1,2). Calcular 
las coordenadas del vector �⃑⃑�1 en 𝐵
′ . 
Sol.: Nos preguntan: 𝑋𝐵′ = ? 
1er paso: calculando la matriz más fácil de 
calcular: 𝑀𝐵′→𝐵𝐶 poniendo en columnas: 
𝐵′ = {(1,1), (0,1)} → 𝑀𝐵′→𝐵𝐶 = [
1 0
1 1
] 
2do paso: 𝑀𝐵𝐶→𝐵′ = 𝑀𝐵′→𝐵𝐶
−1 = [
1 0
−1 1
] 
3er paso: 𝑋𝐵′ = 𝑀𝐵𝐶→𝐵′ ∙ 𝑋𝐵𝐶 
𝑋𝐵′ = [
1 0
−1 1
] [
1
2
] → 𝑋𝐵′ = [
1
1
]
𝐵′
 
 
3. Producto Interior. 
1. Producto Escalar. 
El Producto Interior análogamente es 
conocido como Producto Escalar. Sean: 
�⃑⃑� = (
𝑢1
𝑢2
⋮
𝑢𝑛
) �⃑� = (
𝑣1
𝑣2
⋮
𝑣𝑛
) �⃑⃑�𝑡 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) 
 �⃑⃑�𝑡 ∘ �⃑� = ( 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … , 𝑢𝑛) ∘ (
𝑣1
𝑣2
⋮
𝑣𝑛
) 
 �⃑⃑�𝑡 ∘ �⃑� = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 
 〈 �⃑⃑�𝑡 , �⃑� 〉 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 
 �⃑⃑�𝑡 ∘ �⃑� = �⃑⃑⃑� ∘ �⃑� 
 
2. Producto Interior. 
(ó Producto Interno de Vectores) Sea �⃑⃑� , �⃑�vectores del espacio vectorial 𝑉. 
Un Producto Interior es una función 〈 , 〉: 𝑉 ×
𝑉 → 𝑅 que asigna a toda pareja de vectores 
�⃑⃑� , �⃑� de 𝑉 un número 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 ∈ 𝑅 de tal 
manera que cumpla las siguientes 
propiedades: 
1. Simetría: 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉 
2. Aditividad: 
 〈 �⃑⃑� + �⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 = 〈 �⃑⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 + 〈 �⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 
3. Homogeneidad: 〈 𝑘�⃑⃑� , �⃑� 〉 = 𝑘〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉 
4. Positividad: 〈 �⃑⃑� , �⃑⃑� 〉 ≥ 0 
Ejemplo 1: Verificar si 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 3𝑢1𝑣1 +
6𝑢2𝑣2 es producto interior de 𝑅
2. 
Sol.: debe cumplir los 4 axiomas: 
Si: �⃑⃑� = (𝑢1, 𝑢2), �⃑� = (𝑣1, 𝑣2), �⃑⃑⃑� = (𝑤1, 𝑤2) 
1. Simetría: 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 3𝑢1𝑣1 + 6𝑢2𝑣2 = 
= 3𝑣1𝑢1 + 6𝑣2𝑢2 = 〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉 
2. Aditividad: 〈 �⃑⃑� + �⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 = 
3(𝑢1 + 𝑣1)𝑤1 + 6(𝑢2 + 𝑣2)𝑤2 
(3𝑢1𝑤1 + 6𝑢2𝑤2) + (3𝑣1𝑤1 + 6𝑣2𝑤2) 
= 〈 �⃑⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 + 〈 �⃑� , �⃑⃑⃑� 〉 
3. Homogeneidad: 
〈 𝑘�⃑⃑� , �⃑� 〉 = 2(𝑘𝑢1)𝑣1 + 6(𝑘𝑢2)𝑣2 = 
𝑘(3𝑢1𝑣1 + 6𝑢2𝑣2) = 𝑘〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉 
4. Positividad: 
〈 �⃑⃑� , �⃑⃑� 〉 ≥ 0 〈 �⃑⃑� , �⃑⃑� 〉 = 3𝑢1
2 + 6𝑢2
2 ≥ 0 
Ejemplo 2: 
Verificar si 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 2𝑢1𝑣1 − 3𝑢2𝑣2 es 
producto interior de 𝑅2. Resp.- no es P.I. 
*** Un Producto Interior es la forma 
generalizada de un Producto Escalar. 
Donde la forma Canónica de 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 es: 
〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 
 
3. Producto Interno Euclidiano (canónico) 
Es el desarrollo del Producto Interior, también 
se lo denomina Producto Euclidiano ó 
Producto Canónico. A este desarrollo en 
particular se le llama Producto Escalar al 
caso general se le denomina Producto Interior. 
Sea: 𝑉 = 𝑅𝑛 y �⃑⃑� = ( 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) ∈ 𝑅
𝑛 
 �⃑� = ( 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛) ∈ 𝑅
𝑛 
Así definimos el Producto Interior Canónico: 
〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 =∑𝑢𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Si es un PI debe satisfacer las 4 propiedades 
4. Espacio Vectorial Euclidiano. 
Un espacio vectorial Real con PI y dimensión 
finita es un Espacio Euclidiano. Un espacio 
vectorial real sobre el que se ha definido un 
producto interior se dice que es un espacio 
vectorial euclidiano y se representa por el par 
(𝑉, 〈 �⃑⃑� , �⃑⃑�〉). 
1. Norma de un Vector o Módulo. 
 �⃑⃑� ∘ �⃑⃑� = ‖ �⃑⃑�‖2 ‖ �⃑⃑�‖ = √〈 �⃑⃑� , �⃑⃑�〉 
‖�⃑⃑�‖ = √𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + 𝑎3𝑎3 + 𝑎4𝑎4 
2. Ángulo entre Vectores. 
 cos𝜃 =
〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉
‖ �⃑⃑�‖‖ �⃑�‖
 
3. Distancia entre Dos Vectores. 
 𝑑(�⃑⃑� , �⃑�) = ‖�⃑⃑� − �⃑�‖ 
5. Proyección de un Vector. 
El vector: Proy�⃑⃑⃑� �⃑� =
〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉
‖�⃑⃑�‖2
�⃑⃑� es la 
proyección del vector �⃑� sobre el vector �⃑⃑� y 
en la dirección �⃑⃑�. 
 
El componente ortogonal de �⃑� a �⃑⃑� es �⃑⃑⃑�. 
 �⃑⃑⃑� = �⃑� −
〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉
‖�⃑⃑�‖2
�⃑⃑� 
6. Producto Interior en Matriz. 
1. Producto Interior Canónico de Matriz 
Producto interior mediante la Traza: 
Sea A, B dos matrices de orden 𝑚× 𝑛 el 
producto interno o Producto Punto de A y B 
se define como: 
𝐴 = �⃑⃑� = [
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] 𝐵 = �⃑� = [
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
] 
 〈 𝐴, 𝐵 〉 = 𝑡𝑟(𝐴𝑡𝐵) 
 〈 𝐴, 𝐵 〉 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 + 𝑎4𝑏4 
Si esta última es un producto interior debe 
satisfacer las 4 propiedades. 
2. Norma de una Matriz. 
𝐴 = �⃑⃑� = [
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] 𝐵 = �⃑� = [
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
] 
 ‖𝐴‖ = √〈 𝐴 , 𝐴〉 ‖𝐴‖ = √𝑡𝑟(𝐴𝑡𝐴) 
‖𝐴‖ = √𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + 𝑎3𝑎3 + 𝑎4𝑎4 
Propiedades: 
1. ‖𝐴‖ ≥ 0 ; ‖𝐴‖ = 0 ↔ 𝐴 = 0 
2. ‖−𝐴‖ = ‖𝐴‖ 
3. ‖𝛼𝐴‖ = |𝛼|‖𝐴‖ 
3. Ángulo entre Matrices A y B. 
[
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] [
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
] cos 𝜃 =
〈 𝐴, 𝐵 〉
‖ 𝐴‖‖ 𝐵‖
 
〈 𝐴, 𝐵 〉 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 + 𝑎4𝑏4 
‖𝐴‖ = √〈 �⃑⃑� , �⃑⃑� 〉 
‖𝐴‖ = √𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + 𝑎3𝑎3 + 𝑎4𝑎4 
4. Distancia entre Matrices. 
 𝑑(𝐴 , 𝐵) = ‖𝐴 − 𝐵‖ = √𝐴 − 𝐵, 𝐴 − 𝐵 
Variantes: 
�⃑⃑� − �⃑� = [
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] − [
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
] = [
𝑐1 𝑐2
𝑐3 𝑐4
] 
‖�⃑⃑� − �⃑�‖ = √𝑐1𝑐1 + 𝑐2𝑐2 + 𝑐3𝑐3 + 𝑐4𝑐4 
Si las matrices no son cuadradas: 
𝑑(𝐴 , 𝐵) = ‖𝐴 − 𝐵‖ = √(𝐴 − 𝐵)𝑡, (𝐴 − 𝐵) 
 
7. Producto Interior en Polinomios. 
1. Producto Interior en Polinomios 𝑷𝟐. 
Sean dos vectores 𝑝 = 𝑝 y �⃑� = 𝑞 cualesquiera 
en 𝑃2 las cuales: 
𝑝 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 
𝑞 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥
2 
La siguiente formula define un P.I. en 𝑃2. 
 〈𝑝, 𝑞〉 = 𝑎0𝑏0 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 
 
2. Norma de polinomio 𝒑. 
‖𝑝‖ = 〈𝑝, 𝑝〉1/2 = √𝑎0𝑎0 + 𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 
 
ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103. 
© 21.09.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 8. 
8. Producto Interior en Funciones. 
1. Formula en producto interior en funciones: 
Entonces la siguiente formula define un 
producto interior en funciones: 
 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
2. Norma de un función: 
 ‖𝑓‖ = 〈𝑓, 𝑓〉1/2 = √∫ 𝑓(𝑥)
2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
4. Ortogonalización. 
1. Vectores Ortogonales. 
Se dice que �⃑⃑� , �⃑� ∈ 𝑉 son ortogonales 
respecto el producto interior 〈 , 〉 si �⃑⃑� y �⃑� 
forman un ángulo recto (ortogonal), es decir: 
 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = 0 〈 �⃑⃑� , �⃑� 〉 = ‖ �⃑⃑�‖‖ �⃑�‖ cos 𝜃 
 
Conjuntos Ortogonales de Vectores 
Un conjunto de vectores {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 ,⋯ , �⃑�𝑘} 
en 𝑅𝑛 se llama Conjunto Ortogonal si todos 
los pares de vectores distintos en el conjunto 
son ortogonales; esto es, si: 
 �⃑�𝑖 ∘ �⃑�𝑗 = 0 si: 𝑖 ≠ 𝑗. Para 𝑖, 𝑗 = 1,2, . . , 𝑘 
Entonces dichos vectores son Linealmente 
Independientes. 
Base Ortogonal. 
Una base ortogonal para un subespacio W de 
𝑅𝑛 es una base de W que es un conjunto 
ortogonal. 
 
2. Vectores Ortonormales. 
Se dice que �⃑⃑� ∈ 𝑉 es ortonormal si su 
norma es la unidad: ‖�⃑⃑�‖ = 1 
Normalización de Vectores. 
Se denomina normalización de un vector al 
procedimiento por el cual se logra que la 
norma sea uno de dicho vector. Para la 
normalización hacemos: �⃑� =
�⃑⃑⃑�
‖�⃑⃑⃑�‖
 �⃑⃑� ≠ 0⃑⃑ 
Conjuntos Ortonormales de Vectores. 
Un conjunto de vectores en 𝑅𝑛 es un conjunto 
ortonormal si es un conjunto ortogonal de 
vectores unitarios. 
Bases Ortonormales. 
Una base ortonormal para un subespacio W de 
𝑅𝑛 es una base de W que es un conjunto 
ortonormal. 
Sea �⃑⃑� = {�⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑⃑�𝑛} 
Una base cualquiera de un subespacio 
vectorial �⃑⃑⃑⃑�. Entonces existe una Base 
Ortonormal: 
�⃑⃑�′ = {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛 } 
Que puede ser calculada a partir de �⃑⃑� y este 
calculo de �⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛 es el proceso 
de Gram – Schmit. 
 
3. Proyección Ortogonal de �⃑⃑⃑� sobre �⃑⃑⃑�. 
El vector: Proy�⃑⃑⃑� �⃑� =
〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉
‖�⃑⃑�‖2
�⃑⃑� es la 
proyección del vector �⃑� sobre el vector �⃑⃑� y 
en la dirección �⃑⃑�. 
 
El componente ortogonal de �⃑� a �⃑⃑� es �⃑⃑⃑�. 
 �⃑⃑⃑� = �⃑� −
〈 �⃑� , �⃑⃑� 〉
‖�⃑⃑�‖2
�⃑⃑� 
4. Bases Ortogonales: 
Ortogonalización de GRAM– SCHMIDT 
Aplicar el proceso de Gram-Schmidt para 
transformar los vectores básicos: 
{�⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑⃑�𝑛} en una Base Ortogonal 
{�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛}. 
Para realizar este proceso se sigue: 
1. Se establece: 
 �⃑�1 = �⃑⃑�1 𝑉1 = 𝑔𝑒𝑛(�⃑⃑�1) 
2. Obtenemos �⃑�2 que sea Ortogonal a �⃑�1: 
 �⃑�2 = �⃑⃑�2 −
〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉
‖ 𝑣1‖
2 �⃑�1 𝑉2 = 𝑔𝑒𝑛(�⃑⃑�1, �⃑⃑�2) 
3. Obtenemos �⃑�3 que sea Ortogonal a �⃑�1 y �⃑�2: 
 �⃑�3 = �⃑⃑�3 −
〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉
‖ �⃑�1‖
2 �⃑�1 −
〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉
‖ �⃑�2‖
2 �⃑�2 
⋮ 𝑉2 = 𝑔𝑒𝑛(�⃑⃑�1, �⃑⃑�2, �⃑⃑�3) 
4. Obtener �⃑�𝑛 que sea Ortogonal a �⃑�1, �⃑�2… �⃑�𝑛−1 
 �⃑�𝑛 = �⃑⃑�𝑛 −
〈 �⃑⃑�𝑛 , �⃑�1〉
‖ �⃑�1‖
2
�⃑�1…−
〈 �⃑⃑�𝑛 , �⃑�𝑛−1〉
‖ �⃑�𝑛−1‖
2
�⃑�𝑛−1 
𝑉𝑛 = 𝑔𝑒𝑛(�⃑⃑�1, �⃑⃑�2, … , �⃑⃑�𝑛) 
Recuerde que debe CUMPLIRSE: 
〈 �⃑�1 ,�⃑�2 〉 = 0 ; 〈 �⃑�1 , �⃑�3 〉 = 0 ; 〈 �⃑�2 , �⃑�3 〉 = 0 
Ejemplo 5: 
Sea: 𝐵𝑊 = {�⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3} 
𝐵𝑊 = {(1,0,1), (1,0,−1), (0,3,4)} 
Construya una base Ortogonal para 𝐵𝑊. Con 
el producto interior canonico. 
Solución: 
Hallar la base ortogonal: 𝐵𝑊
⊥ = {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3} 
1. Se establece: 
 �⃑�1 = �⃑⃑�1 �⃑�1 = �⃑⃑�1 = (1,0,1) 
2. Obtenemos �⃑�2 que sea Ortogonal a �⃑�1: 
 �⃑�2 = �⃑⃑�2 −
〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉
‖ 𝑣1‖
2 �⃑�1 
�⃑�2 = (1,0,−1) −
(1,0,−1)(1,0,1)
‖(1,0,1)‖2
(1,0,1) 
�⃑�2 = (1,0,−1) 
3. Obtenemos �⃑�3 que sea Ortogonal a �⃑�1 y �⃑�2: 
 �⃑�3 = �⃑⃑�3 −
〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉
‖ �⃑�1‖
2 �⃑�1 −
〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉
‖ �⃑�2‖
2 �⃑�2 
�⃑�3 = (0,3,0) 
Finalmente: 𝐵𝑊
⊥ = {�⃑�1, �⃑�2, �⃑�3} base ortogonal 
Recuerde que debe CUMPLIRSE: 
〈 �⃑�1 , �⃑�2 〉 = 0 ; 〈 �⃑�1 , �⃑�3 〉 = 0 ; 〈 �⃑�2 , �⃑�3 〉 = 0 
 
5. Bases Ortonormales: 
Ortonormalización de GRAM-SCHMIDT 
Teorema: todo subespacio vectorial con 
〈 , 〉 ≠ 0 tiene una Base Ortonormal. 
Cálculo de una Base Ortonormal a �⃑⃑⃑�: 
Ejemplo 6: 
Dado: �⃑⃑� = {�⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 , … , �⃑⃑�𝑛} Hallar la 
Base Ortonormal �⃑⃑�′ = {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3 , … , �⃑�𝑛}. 
Sol.: Recuerde que debe CUMPLIRSE: 
〈 �⃑�1 , �⃑�2 〉 = 0 ∧ ‖�⃑�1‖ = 1 
〈 �⃑�1 , �⃑�3 〉 = 0 ∧ ‖�⃑�2‖ = 1 
〈 �⃑�2 , �⃑�3 〉 = 0 ∧ ‖�⃑�3‖ = 1… 
1. Primero se obtiene el Vector Normalizado: 
 �⃑�1 =
�⃑⃑�1
‖ �⃑⃑�1‖
 
2. Se obtiene el vector �⃑�2 ortonormal a �⃑�1 y 
de norma uno. Como �⃑�1 ya esta normalizado, 
entonces ‖ �⃑�1‖ = 1 entonces ‖ �⃑�1‖
2 = 1. 
 �⃑�2 =
�⃑⃑�2 − 〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉�⃑�1
‖ �⃑⃑�2 − 〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉�⃑�1‖
 
3. Se obtiene el vector �⃑�3 ortonormal a �⃑�1 y �⃑�2. 
 �⃑�3 =
�⃑⃑�3 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉�⃑�1 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉�⃑�2
‖ �⃑⃑�3 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉�⃑�1 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉�⃑�2‖
 
Ejemplo 7: 
Sea 𝐵𝑊 = {�⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3} 
𝐵𝑊 = {(1,0,1), (1,0,−1), (0,3,4)} 
Construya una base Ortonormal para 𝐵𝑊 . 
Con el producto interior canonico. 
Solución: 
Primera forma: 
1. Primero se obtiene el Vector Normalizado: 
 �⃑�1 =
�⃑⃑�1
‖ �⃑⃑�1‖
 �⃑�1 = (
1
√2
, 0,
1
√2
) 
2. Se obtiene el vector �⃑�2 ortonormal a �⃑�1 y 
de norma uno. Como �⃑�1 ya esta normalizado, 
entonces ‖ �⃑�1‖ = 1 entonces ‖ �⃑�1‖
2 = 1. 
 �⃑�2 =
�⃑⃑�2 − 〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉�⃑�1
‖ �⃑⃑�2 − 〈 �⃑⃑�2 , �⃑�1〉�⃑�1‖
 
�⃑�2 = (
1
√2
, 0, −
1
√2
) 
3. Se obtiene el vector �⃑�3 ortonormal a �⃑�1 y �⃑�2. 
 �⃑�3 =
�⃑⃑�3 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉�⃑�1 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉�⃑�2
‖ �⃑⃑�3 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�1〉�⃑�1 − 〈 �⃑⃑�3 , �⃑�2〉�⃑�2‖
 
�⃑�3 = (0,
3
3
, 0) 
𝐵𝑊
∗ = {{�⃑�1 , 𝑣2 , �⃑�3}} Base Ortonormal. 
Entonces {�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3} es un conjunto 
ortogonal y ortonormal de vectores en 𝐵𝑊 . 
{�⃑�1 , �⃑�2 , �⃑�3} es un conjunto linealmente 
independiente y en consecuencia una base 
para 𝐵𝑊 pues 𝑑𝑖𝑚(𝐵𝑊) = 3. 
Segunda Forma de la Ortogonalización: 
Hallar base ortonormal: 𝐵𝑊
∗ = {�⃑⃑⃑�1 , �⃑⃑⃑�2 , �⃑⃑⃑�3} 
Donde del ejemplo 5, 𝑣1 ; �⃑�2 ; �⃑�3 son bases 
ortogonales a �⃑⃑�1 , �⃑⃑�2 , �⃑⃑�3 luego: 
 �⃑⃑⃑�1 =
�⃑�1
‖ �⃑�1‖
 �⃑⃑⃑�1 =
(1,0,1)
√2
 
 �⃑⃑⃑�2 =
�⃑�2
‖ �⃑�2‖
 �⃑⃑⃑�2 =
(1,0,−1)
√2
 
 �⃑⃑⃑�3 =
�⃑�3
‖ �⃑�3‖
 �⃑⃑⃑�3 =
(0,3,0)
3
 
6. Proyección de �⃑⃑⃑� sobre 𝑩�⃑⃑⃑� . 
Donde: �⃑⃑� = un vector cualquiera. 
𝐵�⃑⃑� = Base Ortonormal. 
 Proy𝑩�⃑⃑⃑� �⃑⃑⃑� = 〈�⃑⃑⃑�, �⃑⃑⃑�𝟏〉�⃑⃑⃑�𝟏 + 〈�⃑⃑⃑�, �⃑⃑⃑�𝟐〉�⃑⃑⃑�𝟐 +⋯〈�⃑⃑�, �⃑�𝑛〉�⃑�𝑛 
7. Matriz Ortogonal. 
 𝐴−1 = 𝐴𝑡 𝐴 = [
−4 5⁄ 0 3 5⁄
0 1 0
3 5⁄ 0 4 5⁄
]