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M.I Francisco Barrera Del Rayo Transformaciones Lineales 3. M.I Francisco Barrera Del Rayo Transformación Sean ! y " dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo #. La función T: ! → " es la regla de correspondencia que asigna a cada vector ' ∈ ! , uno y sólo un vector de ", al que llamaremos imagen de ' y representaremos como T(' ) . A este tipo de funciones se le conoce como transformaciones. Esquemáticamente se tiene: ' T (' ) Dominio Codominio ! " + M.I Francisco Barrera Del Rayo Transformaciones Lineales Sean ! y " dos espacios vectoriales sobre un campo #. Una transformación $ : ! → " es lineal si, se cumple: 1. Superposición: $ ' + ) = $ ') + $() ; ∀ ', ) ∈ ! 2. Homogeneidad: $ ∝ ' =∝ $ ' ; ∀ ' ∈ ! 2 ∀ ∝ ∈ 3 M.I Francisco Barrera Del Rayo Dominio, Codominio Sea la transformación lineal !:# → % Dominio: Es el conjunto #, donde se encuentran los vectores sobre los cuales actúa la transformación. Codominio: Es el conjunto % , donde se encuentran las imágenes de los vectores del dominio. M.I Francisco Barrera Del Rayo Recorrido y Núcleo Sea la transformación lineal !:# → % Recorrido: Es el conjunto formado por todas las imágenes de los vectores del dominio, el cual se denota como !(#), esto es: ! # = { * | * = !(+ ) , donde + ∈ # } Núcleo: Es el conjunto formado por vectores del dominio cuya imagen es el vector cero de %, el cual se denota como . ! , esto es: . ! = {+ | ! + = 00 , donde + ∈ #} M.I Francisco Barrera Del Rayo Dominio, Codominio, Recorrido y Núcleo ! " #$ T($ ) Dominio Codominio ! " #$ 0& Núcleo '(#) Recorrido #(!) #: ! → " M.I Francisco Barrera Del Rayo Teoremas Si !: # →% es una transformacion lineal, entonces: 1. ! 0' = 0) 2. !(#) es un subespacio de % 3. ,(!) es un subespacio de # 4. Si - = {/0, /1 , /2 , … , /3} es una base de #, entonces el conjunto 5 = {! /0), !(/1 , !(/2) , … , !(/3)} es generador del recorrido de !. 5. Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que: 678 # = 678 !(#) + 678 ,(!) M.I Francisco Barrera Del Rayo Matriz asociada Sean ! y " dos espacios vectoriales de dimensión # y $ , respectivamente, y sean % = {(), (*, (+ ,…, (,} y . = {/), /*, /+,…, /0} bases de dichos espacios. Si 1: ! → " es una transformación lineal, entonces existe una matriz única 456(1) , de orden $×#, llamada matriz asociada de 1, talque: 456 1 (:; )6 = [ T(:; )] B ; ∀ ; ∈ ! Las # columnas de la matriz 456(1) , son los vectores de coordenadas en la base ., de las imágenes de los vectores de la base %, esto es: 456(1) = [[1 ( :()) ]5 [1 ( :(*) ]5 … [1( :(, )]5 ] M.I Francisco Barrera Del Rayo Matriz asociada La matriz asociada nos permite calcular la imagen de un vector cualquiera !" del dominio, mediante el siguiente procedimiento: 1) Determinar las coordenadas del vector !" en la base A del dominio 2) Multiplicar la matriz #$% & por el vector (!" )% 3) Obtener el vector &("̅) a partir de sus coordenadas en la base B del codominio !" &(!" ) (!" )% [&(!" )]B Cálculo del Vector de coordenadas Con los vectores de la base ) y los escalares de [&(!" )]B, obtener &(!" ) Multiplicar por #$% & Aplicando la Regla 1 2 3 M.I Francisco Barrera Del Rayo Matriz asociada Teorema En una transformación lineal !: # → % , la dimensión del recorrido es igual al rango de la matriz asociada a dicha transformación. &(()* ! ) = -./ !(#) M.I Francisco Barrera Del Rayo Álgebra de transformaciones lineales Dadas dos transformaciones lineales cuyo dominio y codominio es el mismo: ! ∶ # →% y & ∶ # →% Adición La suma de T y R es una transformación de V en W, que se define como: ! + & () = T () + &(() ) ; ∀ ) ∈ # 0(! + &) = 0(!) + 0(&) Multiplicación por un escalar El producto de un escalar ∀ ∝ ∈ 2 por la transformación T es una transformación de V en W, que se define como: (∝ !)( () ) = ∝ !(() ) ; ∀ ) ∈ # 0 ∝ ! = ∝ 0 ! M.I Francisco Barrera Del Rayo Álgebra de transformaciones lineales Dadas dos transformaciones lineales: ! ∶ # → % y & ∶ % → ' Composición Se define la transformación ( ∶ # → ' como el resultado de la composición entre las transformaciones ! y &, de la siguiente forma: ( )* = (& ∘ !)()* ) = &[ ! )* ] * ! ( * ) R[T(* )] %# '! & & ∘ ! &[ ! )* ] M.I Francisco Barrera Del Rayo Álgebra de transformaciones lineales Para que la operación composición pueda realizarse, debe existir intersección entre el recorrido de T y el dominio de R. Teorema Si ! ∶ # → % y & ∶ % → ' son transformaciones lineales y (, *, + son bases de #, %,' respectivamente, entonces: ,-. R ∘ T = ,-3 & ,3. ! Dado que el producto de matrices en general no es conmutativo, entonces se puede inferir que la operación composición, en general no es conmutativa, esto es: ,-. R ∘ T ≠ ,-. T ∘ R R ∘ T ≠ T ∘ R M.I Francisco Barrera Del Rayo Álgebra de transformaciones lineales Sean !, # y $ tres transformaciones lineales y sean ∝, & ∈ (, se tiene que: 1. ! + # = # + ! 2. ( ! + # ) + $ = ! + ( # + $) 3. ∝ (& !) = (∝ & )! 4. (∝ +&)T= ∝ T + & ! 5. ∝ ! + # = ∝ !+ ∝ # 6. (# ∘ !) ∘ $ = # ∘ (! ∘ $) 7. ∝ (# ∘ !) =(∝ #) ∘ ! = # ∘ (∝ !) 8. $ ∘ # + ! = ($ ∘ # ) + ($ ∘ !) M.I Francisco Barrera Del Rayo Transformaciones lineales Inyectivas y Suprayectivas Sea ! ∶ # → % una transformación lineal Transformación inyectiva Una transformación lineal es inyectiva, si y sólo si, el núcleo de dicha transformación es de dimensión cero. &'( )(!) = 0 Transformación suprayectiva Una transformación lineal es suprayectiva, si y sólo si, la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del núcleo es igual a cero, entonces la transformación será suprayectiva, si la dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio. 1. &'( !(#) = &'( % 2. &'( )(!) = 0 1 &'( # = &'( % M.I Francisco Barrera Del Rayo Transformaciones lineales Biyectivas Sea ! ∶ # → % una transformación lineal Transformación biyectiva Una transformación lineal es biyectiva, si y sólo si, es inyectiva y suprayectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero y la dimensión del recorrido es igual a la del codominio 1. ()* +(!) = 0 2. ()* !(#) = ()* % M.I Francisco Barrera Del Rayo Inversa de una transformación lineal Sea !: # → % una transformación lineal. Existe una transformación inversa !&':% → # , si y sólo si, la transformación T es biyectiva, o bien si ((!) es no singular, esto es, si la inversa de ((!) existe. V %! + T(+ ) !&' (,- ! &' = (-, !&' M.I Francisco Barrera Del Rayo Inversa de una transformación lineal Algunas propiedades de la transformación inversa son: 1. !"# es única 2. (!"#)"# = ! 3. (! ∘ ()"#= ("# ∘ !"# 4. (∝ !)"# = ∝"# !"# ; si ∝≠ 0 5. !"# ∘ ! = ,- 6. ! ∘ !"# = ,. Donde ,/ y ,. son transformaciones identidad de / y 0, respectivamente. M.I Francisco Barrera Del Rayo M.I Francisco Barrera Del Rayo Valores y vectores característicos A las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial al mismo espacio vectorial, esto es !: # → # , se les conoce como operadores lineales. Definición Sea # un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo % y sea !: # → # un operador lineal para el cual: T('̅) = ('̅ ; ∀ '̅ ∈ # ,-. ' ≠ 0 ∀ ( ∈ % ▶ Al escalar ( se le llama valor característico de ! ▶ Al vector '̅ diferente de 0 se le conoce como vector característico de ! correspondiente al valor ( M.I Francisco Barrera Del Rayo Espacios característicos Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a un valor característico !, al cual se le agrega el vector cero, se le llama espacio característico y se representa como E(!). Propiedades de los valores y vectores propios u Los vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente independientes. u Si # es un vector propio asociado a un valor propio !, entonces ∝ # es también un vector propio asociado a !, ∝ ∈ & c o n ∝≠ 0 u Si # y ) son dos vectores propios asociados a un valor propio !, y # ≠ -) entonces # + ) es unvector propio asociado a !. M.I Francisco Barrera Del Rayo Para obtener dichos elementos, se tiene: ! " = $" ...............(1) Considerando que: %(!) = ( Entonces podemos plantear que: !(" ) = (" ..............(2) De (1) y (2) se puede plantear: (" = $)" Donde ) es la matriz identidad De donde se tiene: (" − $)" = 0 (( − $))" = 0 u Al ,-.(( − $)) se le conoce como polinomio característico u Al ,-. ( − $) = 0 se le conoce como ecuación característica Polinomio característico y ecuación característica M.I Francisco Barrera Del Rayo Matrices similares Se tiene que dos matrices ! y " de orden #×# son similares, si existe una matriz no singular %, tal que: " = %'(!% Teorema: dos matrices representan al mismo operador lineal, si y sólo si, son similares. Propiedades: 1. SI ! y " son matrices similares, entonces )*+(!) = )*+(") 2. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos valores característicos M.I Francisco Barrera Del Rayo Diagonalización Teorema Si ! es un espacio vectorial de dimensión " y #: ! → ! es un operador lineal, entonces existe una matriz diagonal asociada a #, cuando se puede definir una base de ! formada por vectores característicos de #. La matriz asociada a # referida a esta base, es una matriz diagonal que llamaremos & cuyos elementos '(( son los valores característicos de #. Ejemplo: & = *+ 0 0 0 *- 0 0 0 *. M.I Francisco Barrera Del Rayo Diagonalización Sea ! una matriz de orden "×" asociada a un operador lineal $. La matriz ! será similar a una matriz diagonal %, si y sólo si, existe un conjunto linealmente independiente formado por " vectores característicos de $. Para este caso, existe una matriz no singular &, para la cual se cumple que % = &()!&, donde & tiene como columnas a los " vectores característicos de $ correspondientes a los valores característicos *++ que definen a la matriz diagonal %. & →Matriz Diagonalizadora % = &()!& % →Matriz diagonal ! →Matriz asociada al operador M.I Francisco Barrera Del Rayo Diagonalización Una operador es diagonalizable cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones: ▶ Que los valores propios sean distintos !" ≠ !$ ≠ !%. ▶ La suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a la del dominio. ▶ Si se puede formar una base del dominio con vectores propios. M.I Francisco Barrera Del Rayo Valores y vectores característicos Para cada valor de !, la expresión (A - !#)% = 0 es un sistema homogéneo indeterminado, cuyas soluciones no nulas son los vectores de coordenadas, en la base ' , de los vectores característicos buscados, donde ' es la base utilizada para obtener la matriz asociada a la transformación ()) T = +
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