Secciones Canonicas

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Secciones cónicas
Las secciones cónicas ha sido un tema que se ha estu-
diado desde la antigua Grecia, fueron descubiertas por 
el matemático griego Menecmo hacia el año 350 a.C. 
aproximadamente. Este trabajo fue retomado y amplia-
do por el matemático turco Apolonio de Perge, quién 
clasificó las cónicas según el tipo de corte que se hace 
en el cono de doble hoja, y cuyo aporte más importante 
se encuentra en el descubrimiento de las propiedades 
reflectivas que tienen; a partir de lo cual la física reto-
ma estos aportes para el diseño de sólidos geométricos 
cuyas propiedades se aplican en óptica, diseño de rada-
res, antenas, sistemas de navegación, señales, etc.
Por otra parte, la aplicación de las secciones cóni-
cas resultó mucho más interesante conforme el es-
tudio del universo retomó auge, hasta el punto en 
que el astrónomo alemán Johannes Kepler, descu-
bre que la trayectoria de los planetas en el sistema 
solar describe una curva elíptica y cuyo resultado 
fue generalizado por el matemático y físico inglés 
Isaac Newton, quien demostró que la trayectoria 
de un cuerpo celeste (cometa, planeta, estrella, 
etc.) alrededor de una fuerza gravitatoria es una 
curva cónica.
En la unidad se abordan los contenidos de parábola, circunferencia, elipse e hipérbola, 
vistos desde la geometría analítica. Además se incluyen las clases sobre aplicaciones de 
las secciones cónicas, en las cuales se utilizan las propiedades reflectivas de estas en la 
elaboración de instrumentos científicos y tecnológicos. Posteriormente se trabajan algu-
nas prácticas en GeoGebra para consolidar los contenidos abordados.
El telescopio Maksutov - Cassegrain tiene 
como principio el uso de lentes con forma 
parabólica e hiperbólica.
Las trayectorias de cuerpos celestes pueden 
describir elipses (como el sistema solar), 
parábolas o hipérbolas (como los cometas).
50
1.1 Lugar geométrico de una ecuación
y x y x
-
y
x
0 3
3
4
0
3
4
-
y x
-
y x
x
y
lugar geométrico
y x y x y x
a)
0 3
3
4
0
3
4
3 xx
y y
roblemas
U
ni
da
d 
3
1.2 Ecuación de un lugar geométrico*
0 3
3
4
3
x y
x y 
d d
x y x y
x y y x x y
x y 
x
y
x y)
x
x
x y
d d
|y x y
y x y y
x y
y x
x y
4
y
y
x y
03 3
3
4
x
y
roblemas
x y)
x
Materiales
Preguntas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
parábola
503 503
5353
U
ni
da
d 
3
1.4 La parábola*
y p
p
x y
y
d d
y ax a 
y p d |y p
x y p)|y p
y yp p x y yp p
4yp x
|y p| x y p)
y x4p 
0
p x
y)
y
x
4p 
E p y x y x
y x
y
 
 
1
2
y x
p4p 
4 
4 
y
una parábola
p parámetro
p el foco y p
la directriz
eje
y x4p 
p -
x p -
x y4p 
x
y
V
y y xy y 
y x y x x yy x y x4
roblemas
p
x p)y p
54
1.5 Desplazamientos paralelos
-
y x
y x
y x
p y x
f x h k -
f x h 
k
p4p 4
0 3
3
4
y
x
V
h x x h
k y y k
h ky x4p 
y k x h)4p 
n general
y xy x
4
4
3
4y y
4
5
4
y k x h)4p 
h k) h p k) y p k
h k
y x h k y x h k 
y x h k y x h k y x h k 
y x h k 
y x y x y x y x 
y x 
y x -
0
x
y
34
3
4
5
V
y x
y x y x 
x x y y 
roblemas
5555
U
ni
da
d 
3
1.6 Procedimiento para completar cuadrados perfectos
x x a x h) k
x 4x 4 4
x x 
x
x x
x x x
-
completar cuadrados perfectos
x x x x 
x x 
x x x x 
x x 
x
x x x x 
x x
x x
x x
x
x
x x x x
x x 
x x x x
x x 
x x x x x x x x x x 
x x x x x x x x x x 
x
x
a
a
roblemas
x a) x ax a
a
x
a a
1.7 Ecuación general de la parábola
x x y
y x x 
y x x 
y x
y x
y x
y x
y x x 
y x
0 3 4 5
V
y
x
3
4
5
y k x h)4p 
ax bx cy d y k x h)4p 
ax bx cy d ecuación general de la parábola
x x y 
y x
y x x 
y x x
y x x 
y x
y x
y x
0
x
y
34
3
4
V
p p4p 
x x y x x y 
x x y x x y x x y x x y 
x x y x x y 
roblemas
y x
y
y x
y
U
ni
da
d 
3
1.8 Líneas rectas y parábolas
y x y x
y x
x y
x y
y x
y x
x x
x x
x x
x x
a)
y x
y x 
y x
y x
y x 
y
y x 
y x 
y x 
y x 
y x
y x
y x
y x
y x x
y x
roblemas
0
3
4
x
y
5
3 3
1.9 Determinación de parámetros
m y x m y x
x x m 
x x m 
m y x m
y x m 
-
Forma 1 Forma 2
y x m
x x m
x x m 
m 
m 
b ac
m
m
m 
y x
4
x ax b
x a) x ax a
a b
ax bx c b ac
0
3
4
3
x
y
parámetro
-
p -
a)
y x p
y x
y x p y x p y x p
y x x y x x y x x 
y x p
y x
y x p y px y px 
y x x y x y x
roblemas
U
ni
da
d 
3
p -
y y
y x
y x y x 
y x x x y 
x x y 
h k
y x h k y x h k 
x x x x x x 
-
y x 
y x xa)
y x x
y x y x
a)
y x p y x p y px 
y x x y x x y x
a)
0 3 4 5
V
y
x
3
4
5
0 3 4 5
V
y
x
3
4
5
1.11 Aplicaciones de la parábola*
-
x
y
p
y x
p
4p 
y x4p 
4p 
 
-
-
roblemas
U
ni
da
d 
3
-
-
-
-
-
2.1 La circunferencia
x y
d
x y
x y
x y
03 3
3
4
3
P
3
y
x
r centro
circunferencia
r x y r
x y x y
1
2
x y
x y x y -
0 x
y
a) r r r r r
a) x y x y x y x y
3
4
5
roblemas
U
ni
da
d 
3
2.2. Desplazamientos paralelos de la circunferencia*
1
2
x y
d
x y
x y
1
2
03 3
3
4
3
x y
-
x y
-
x y
-
x y
C
x
y
h k r 
x h) y k) r
x y x y 
x y 
x y x y 
0 x
y
C
r
r r
3
r r
x y x y x y x y 4
roblemas
2.3 Ecuación general de la circunferencia
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y 
x y
x y
x y
x h) y k) r
x y x y
x h) y k) r
x y cx dy e
x y x h) y k) r
x y cx dy e ecuación general de la circunferencia.
0 x
y
x y x y
4x y x y
x x y y
x y
x y
4
x y 4
4
-
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y y
x y x y
x y x
roblemas
03
3
C
x
y
U
ni
da
d 
3
2.4 Recta tangente a una circunferencia*
x y r x y
x x y y r
x x y y r
x y r y r y r y r 
y y r
x y x y r
x y
m 
x y r x y
y
y
x x y y r
y y x x )
x
ym 
x
y
y
x
x x y y x y r
x
r
r
r
r
y
x y )
x
r
r
r y r
x r
y r
x r
r
y
x y x y r
x y
x y x y
x y 
x y x y
x y
m
l x y x y
x y x y
x y x y
x
y
P
C
x y
x y x yx y
x yx y
x y x y x y 
roblemas
x x y y r
l
m
2.5 Rectas secantes a una circunferencia
x y 3x y
3x y
y x
x y
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x y 
x y 
y
x y x
x y x x y x
03 3
3
4
3
x
y
S
y
x y x y 
x y x y x y x y
x y x y x y x y 
x y x y 
roblemas
U
ni
da
d 
3
a) r r
a) x y x y 4
r
r 3r
x y x y 4
x y x y x y x y
a) x y
x y
x y x h) y k) r
x h x h y k y k r
x y
x y x y x y x y 
x y 
2.7 Aplicaciones de la circunferencia*
-
-
x y
x y
<
-
-
-
P
x
y
roblemas
U
ni
da
d 
3
Materiales
Preguntas
-
-
-
-
elipse
50
3
x
y
P
3.2 La elipse*
c
c
a < c < a
una elipse
x y
< c< a a c > b b a c
b >
a b
x c) yx c) y a
x c) yx c) y a
x c) ya a cx
a4 a cx c xa x c) y
a a ca c )x a y
b x a y a b
d d a
x c) yx c) y aa x c) y
x
a
y
b
una elipse
a
 focos
a b a b
x
a
y
b
x c a b
a
x
5
y
4
x y
a c b b
a a a
a) x5
y
3
x
4
y x y
3
a b
roblemas
U
ni
da
d 
3
3.3 Elementos y propiedades de la elipse
x
a
y
b
y
x
y
x y
a a b b
y
x
x a
x ±a
y ±b
x
a
0
b
x
a
y
x
y
a
c
b
x y
a a b b
centro
eje mayor
a
eje menor
b
y
x
y
x y
a b c a b c 5
0345 3
3
3
x
y
4 5
a) x5
y
4
x y
4
x y
4 y
x
4
roblemas
3.4 Desplazamientos paralelos de la elipse
x y 
4
x y 
4
x y
4
x y
4
3 3 4 5
3
x
y
4
5
h k
x h)
a
y k)
b
-
h k 
x x h
y y k
x y
x x y y x y 
1
2
x y 
x y
a b a b
x y
0345 3
3
3
4
5
x
y
C
h k
-
 h k h k h k x y x y
4
x y
a) x y 4
x y 
4
x y 
4
roblemas
x y 
U
ni
da
d 
3
3.5 Ecuación general de la elipse
x y x y
x y 
x y x y
x x y y
x y
x y
x y 
034 3
3
x
y
4
4
5
5
C
x h)
a
y k)
b
-
dx ey fx gy h x y
x h)
a
y k)
b dx ey fx gy h ecuación general de 
la elipse.
4x y x y
0345 3 x
y
C
x y 
4
4x y x y
x y
x y 
x y
4
-
a b a b
x y
4
x y x y
x y x y
x y x y
x y y
x y x y
x y x
roblemas
x h)
a
y k)
b
3
x y 
4
a
a) x3
y yx4
x y
a) x y x y4
h k
 h k x y h k x y
a) x y x y 
4
x y x y x y x
0345 3
3
3
x
y
4 5
0345
3
x
y
C
a)
U
ni
dad 
3
3.7 Aplicaciones de la elipse*
-
-
-
a c
b
b
a
x y
5
-
-
-
roblemas
V
x
y
VV
-
-
x
-
-
-
-
-
-
-
3.8 Aplicaciones de la elipse
las tres leyes del 
-
U
ni
da
d 
3
-
Materiales
Preguntas
-
-
-
-
-
hipérbola
50
3
c c a
< a < c
una hipérbola
< a< c c a > b b c a
b >
a b
x c) yx c) y ± a
x c) yx c) y ± a
x c) y±a a cx
a b
a4 a cx c xa x c) y
a c a )c a )x a y
b x a y
d d ± a
d d a
d d a
x c) yx c) y ± aa x c) y
x
a
y
b
x y
a
 focos
a b a b
x
a
y
b
a
x
3
y
4
x y
a a a
a) x4
y
3
x
5
y
4
x y
x
y
PP
4.2 La hipérbola*
roblemas
x c a b
c a b b
U
ni
da
d 
3
4.3 Elementos y propiedades de la hipérbola
b b
x
a
y
b
a)
l a b
x
y
a a
x a
x ±a
y xba
y xba
x
a
0
b
x
a
m a b
y xb
a
y xba
c
x
y
a a
centro
asíntotas
b b eje 
conjugado
y xba y x
b
a
x
y
x y
a b c a b c 3
y x43 y x
4
3
0345 3
3
4
3
4
x
y
4 5
a) x4
y
3
x
4
y x y
4 x y
roblemas
x
y
lm
4.4 Desplazamientos paralelos de la hipérbola
x y 
4
x y
4
x y
4
h
k x h)a
y k)
b
h 
k 
x x h
y y k
x x y y
x y
x y 
1
2
x y 
x y
x y
0345 3
3
3
4
5
x
y
y x43 y x
4
3
3y x
4
3
4
3y x
y x43
5
3
4
3y x
C
h k
 h k h k x
4
y x
4
y
5
 h k x y
4
a) x y 
4
y x 4 x y
roblemas
03
3
45 3
3
4
4 x
y
Cx y 
4
x y 
U
ni
da
d 
3
4.5 Ecuación general de la hipérbola
x y x y
x y 
x y x y
x x y y
x y
x y
x 
4
y 
y x3 y x
33y x3y x
034 3
3
x
y
4 5
C
x h)
a
y k)
b
dx ey fx gy h x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y -
y x y xy x y x
x yx y
3 3 4 5
3
x
y
4
5
C
x y x y
x y x y
x y x y
x y y
x y x y
x y x
roblemas
x h)
a
y k)
b
a
a) x y3
x
5
y
4
x y
4
a) x4
y y
4
h k
 h k x y h k x y
a) x y y 
x y x y x y y
a)
0345 3
3
3
x
y
4 5
x
x 
0 3
3
x
y
4
4
5
5
U
ni
da
d 
3
4.7 Aplicaciones de la hipérbola*
-
x
a
y
b
-
a -
c
x y
x
|d d a a 
c c 
b c a
x )
x
3
y
4
x
3
4
4
x
-
-
-
-
-
-
-
roblemas
0345 3
3
4
5
3
x4 5
y
-
-
-
-
5
y x
x y
x
y
-
-
-
hiperboloide de 2 hojas
eje conjugado hiper-
boloide de 1 hoja
Hiperboloide de 2 hojas Hiperboloide de 1 hoja
y
x
U
ni
da
d 
3
x y x y x y x y
a) x y3
x y x y x 
4
y 
a) y x3
y x y x 
4
x y 4
x h)
a
y k)
b
x
a
y
b
x
a
y
b
a bx h)a
y k)
b
a bx
a
y
b
x
a
y
b
x h) y k) r
x y r
x y r
y x4p 
y x
4p 
y k x h)4p a)
x y x
x y x y
x y y
x y x y
x y y
x x y
x y x
y x y
y x y
x y x
x y x y
x y x y
cónicas
-
ecuaciones canónicas
Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola
n resumenE
4.9 Problemas de la unidad
x y
y
x y
y x y
3
4
4
4
3
a
b
-
-
3
a
b)
4
4
-
4
4.10 Problemas de la unidad
n resumenE
x
x
x
x
y
y
y
y
U
ni
da
d 
3
p h k
p
h k
p h k
a c h k
a c h k
a c h k 
h k r
a c h k
U
ni
da
d 
3
-
-
4
x y x y
-
-
0
x y x x y y y x y
x y x y x x y x y x
x y y x y x x y x y
x y x y y x y x y x y
U
ni
da
d 
3
-
-
p
-
-
-
-
y -
y
-
y
-
U
ni
da
d 
3
-
-
y x y -
y
x y
y
x
y
-
x
4 x
4
problemas sobre el lugar geométrico de las cónicas
y
x y -
y
x y
x y -
y 34
-
x y