4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Definición y representación gráfica de la elástica de la viga

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Definición y representación gráfica de la elástica de la viga. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
 
26 de marzo de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
LA CURVA ELÁSTICA. 
Es frecuente que deba limitarse la deflexión de una viga o eje con el fin 
de proporcionar estabilidad y, para el caso de las vigas, evitar el 
agrietamiento de cualquier material frágil adjunto como el concreto o el 
yeso. Sin embargo, es importante determinar las pendientes y los 
desplazamientos a fin de encontrar las reacciones si la viga es 
estáticamente indeterminada. 
Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento, 
a menudo es útil trazar la forma flexionada de la viga, 
la cual se representa mediante su curva elástica. Esta 
curva pasa por el centroide de cada sección 
transversal de la viga, y para la mayoría de los casos 
puede esbozarse sin mucha dificultad. Al hacer esto, 
se debe recordar que los soportes que resisten una fuerza (como un 
pasador) restringen el desplazamiento, y aquellos que resisten un 
momento (como una pared fija) restringen la rotación o la pendiente, así 
como el desplazamiento. En la figura 12-1 se muestran dos ejemplos de 
las curvas elásticas para vigas cargadas. 
Si la curva elástica de una viga parece 
difícil de establecer, se sugiere dibujar 
primero el diagrama de momento para la 
viga. Usando la convención de signos 
para una viga (que se estableció en la sección 6.1), un momento interno 
positivo tiende a doblar la viga de manera cóncava hacia arriba (figura 
12-2a). Del mismo modo, un momento negativo tiende a doblar la viga 
de forma cóncava hacia abajo (figura 12-2b). 
Por lo tanto, si se conoce el diagrama de 
momento resultará fácil construir la curva elástica. 
Por ejemplo, la viga de la figura 12-3a se muestra 
en la figura 12-3b junto con su diagrama de 
momento asociado. 
Debido a los soportes de rodillo y pasador, el 
desplazamiento en B y D debe ser cero. Dentro 
de la región de momento negativo AC (figura 12-
3b), la curva elástica debe ser cóncava hacia 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
abajo y dentro de la región de momento positivo CD, la curva elástica 
debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente, debe haber un punto 
de inflexión en C donde la curva cambia de cóncava hacia arriba a 
cóncava hacia abajo, ya que éste es un punto de momento cero. 
También debe tenerse en cuenta que los desplazamientos ∆A y ∆E son 
especialmente críticos. 
En el punto E, la pendiente de la curva 
elástica es cero y la deflexión de la viga 
puede ser un máximo. El hecho de que ∆E 
sea en realidad mayor que ∆A, depende de 
las magnitudes relativas de P1 y P2 y de la 
ubicación del rodillo en B. 
Con base en estos mismos principios, 
observe cómo se construyó la curva elástica 
de la figura 12-4. Aquí, la viga está en 
voladizo con un soporte fijo en A y por lo tanto 
la curva elástica debe tener tanto 
desplazamiento como pendiente cero en este 
punto. Además, el mayor desplazamiento se 
producirá ya sea en D, donde la pendiente es cero, o en C. 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (pp. 577-579). 
México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
CURVATURA DE UNA VIGA. 
Cuando se aplican cargas a una viga, su eje longitudinal se deforma y 
adopta una forma curva, como se ilustró antes en la figura 5.1. Las 
deformaciones unitarias y los esfuerzos en la viga están directamente 
relacionados con la curvatura de la curva de 
deflexión. 
Para ilustrar el concepto de curvatura, considere 
de nuevo una viga en voladizo sometida a una 
carga P que actúa en el extremo libre (consulte la 
figura 5.5a). La curva de deflexión de esta viga se 
muestra en la figura 5.5b. Para fines de análisis, 
identificamos dos puntos m1 y m2 en la curva de 
deflexión. El punto m1 se selecciona a una 
distancia arbitraria x del eje y y el punto m2 está 
ubicado a una distancia pequeña ds más alejada 
a lo largo de la curva. En cada uno de estos 
puntos trazamos una línea normal a la tangente 
de la curva de deflexión, es decir, normal a la 
propia curva. Estas normales se intersecan en el 
punto O´, que es el centro de curvatura de la 
curva de deflexión. Como la mayoría de las vigas 
tienen deflexiones muy pequeñas y curvas de 
deflexión casi planas, es usual que el punto O´ se 
ubique mucho más alejado de la viga de lo que se 
indica en la figura. 
La distancia m1O´ desde la curva hasta el centro de curvatura se 
denomina radio de curvatura y se denota ρ (letra griega rho), y la 
curvatura se denota k (letra griega kappa) y se define como el recíproco 
del radio de curvatura. Por tanto, 
(5.1) 
La curvatura es una medida de qué tan agudamente está flexionada una 
viga. Si la carga sobre una viga es pequeña, la viga será casi recta, el 
radio de curvatura será muy grande y la curvatura será muy pequeña. 
 
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Si la carga se aumenta, la cantidad de flexión aumentará; el radio de 
curvatura será menor y la curvatura será mayor. De la geometría del 
triángulo O´m1m2 (figura 5.5b) obtenemos 
(a) 
en donde dθ (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las 
normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los 
puntos m1 y m2. Al combinar la ecuación (a) con la ecuación (5.1), 
obtenemos 
(5.2) 
Esta ecuación para la curvatura se deduce en libros de texto de cálculo 
y es válida para cualquier curva, sin importar la cantidad de curvatura; 
si ésta es constante en toda la longitud de una curva, el radio de 
curvatura también será constante y la curva será un arco de círculo. 
Las deflexiones de una viga suelen ser muy pequeñas comparadas con 
su longitud (considere, por ejemplo, las deflexiones del chasis 
estructural de un automóvil o las de una viga en un edificio). Deflexiones 
pequeñas significan que la curva de deflexión es casi plana. En 
consecuencia, la distancia ds a lo largo de la curva se puede igualar con 
su proyección horizontal dx (consulte la figura 5.5b). En estas 
condiciones especiales de deflexiones pequeñas, la ecuación para la 
curvatura se transforma en 
(5.3) 
La curvatura y el radio de curvatura son funciones de la distancia x 
medida a lo largo del eje x y de aquí se deriva que la posición O´ del 
centro de curvatura también depende de la distancia x. 
La curvatura en un punto particular en el eje x de una viga depende del 
momento flexionante en ese punto y de las propiedades de la viga 
(forma de la sección transversal y tipo de material). Por tanto, si la viga 
es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variará sólo con 
el momento flexionante. En consecuencia, una viga en flexión pura 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
tendrá una curvatura constante y una viga en flexión 
no uniforme tendrá una curvatura variable. 
La convención de signos para la curvatura depende 
de la orientación de los ejes coordenados. Si el eje x 
es positivo hacia la derecha y el eje y es positivo hacia 
arriba, como se muestra en la figura 5.6, entonces la 
curvatura es positiva cuando la viga se flexiona 
cóncava hacia arriba y el centro de curvatura está 
arriba de la viga. De manera inversa, la curvatura es 
negativa cuando la viga se flexiona convexa hacia 
abajo y el centro de curvatura está debajo de la viga. 
 
 
 
Gere, J., & Goodno, B. (2009). Esfuerzos en vigas (temas básicos). En Mecánica de 
Materiales (pp. 354-356). México: CengageLearning. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (pp. 577-579). México: Pearson Educación. 
2.- Gere, J., & Goodno, B. (2009). Esfuerzos en vigas (temas básicos). 
En Mecánica de Materiales (pp. 354-356). México: Cengage Learning.